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分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，这一类题的特点就是小题较多，且容易失分，常常会被同学们忽略，经常忘记分类讨论，而大题却经常是讨论不全，讨论全了结果还不一定对.而且，这类题往往陷阱比较多，一个不注意就会掉进出题陷阱中.究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想理解不够.
本文将主要对中考试题中涉及“分类讨论”的数学思想的试题进行梳理归纳，这对提高同学们全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的.
一、 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论
例1 代数式++的所有可能的值有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 无数个
解析 根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论.
（1） 当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3；
（2） 当a>0，b<0时，ab<0，原式等于-1；
（3） 当a<0，b>0时，ab<0，原式等于-1；
（4） 当a<0，b<0时，ab>0，原式等于-1.
因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A.
点拨 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离.所以我们复习时只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力.
二、 由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论
例2 求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.
解析 本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为二类：（1） 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为（-1，0） ；（2） 当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2，①Δ>0，即k≠2时，有两个交点（-l，0） 、（1/（1-k） ，0） ；②Δ=0，即k=2时，有一个交点（-1，0） ；③Δ<0，即（k-2）2<0，不存在k的取值.综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为（-1，0） ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1、0） 、（1/（1-k） ，0） ；k=2时，与x轴交点为（-1，0） .
例3 如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个.
解析 本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1） 绕点C旋转，有一解；（2） 绕点D旋转，有一解；（3） 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.
点拨 学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成.只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解.
三、 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论
例4 一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值是（ ）.
A. 14 B. -6
C. -4或21 D. -6或14
解析 应对参数k分两种情况讨论.当k>0时，线段两端点为（-3，1）和（1，9），则k=2，b=7，kb=14；当k<0时，线段两端点为（-3，9）和（1，1），则k=-2，b=3，kb=-6.故应选D.
点拨 解此类问题要能分析清楚参数的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，应把它们一一罗列出来，全面、系统地分类.含参数问题的分类讨论是中考常见题型.
四、 由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论
例5 已知一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形.
解析 本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1） PA=PB；（2） PA=AB；（3）PB=AB.先可以求出B点坐标（0，3），A点坐标（9，0）.设P点坐标为（x，0），利用勾股定理可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别（-9，0）、（3，0）、（9+6，0）、（9-6，0）.（不适合条件的解已舍去）
例6 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.
（1） 直接写出点E、F的坐标；
（2） 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3） 在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.
解析 ① 解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角.其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③ 解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决. （1） E（3，1）；F（1，2）.
（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴ EF===.
设点P的坐标为（0，n），其中n>0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2（a≠0）.
① 如图①，当EF=PF时，EF 2=PF 2，
∴ 12+（n-2）2=5.解得n=0（舍去）；n=4.
∴ P（0，4）. ∴ 4=a（0-1）2+2.解得a=2.
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2
② 如图②，当EP=FP时，EP 2=FP 2，
∴ （2-n）2+1=（1-n）2+9.解得n=-（舍去）.
③ 当EF=EP时，EP=<3，这种情况不存在.
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）2+2.
（3） 存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小.
如图③，作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点.
∴ E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′.
∴ BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.
又∵EF=，
∴ FN+NM+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是5+.
点拨 正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形.同时能根据各种情况训练自己的画图能力和空间想象能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，平时多操作、多思考，提高能力.
初中数学中的分类讨论问题梳理归纳主要是以上四种动因的分类讨论.抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率.
针对性训练
1.已知x2+2（m-3）x+49是完全平方式，则m的值是（ ）
A. -3 B. 10
C. -4 D. 10或-4
2. 已知直角三角形两边x、y的长满足x-4+，则第三边长为 .
3. 已知关于x的方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0
（1） 若方程有实数根，求k的取值范围
（2） 若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
4. 求函数y=（-k）x2+（k-3）x+的图象与x轴的交点？
5.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.
（1） 设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2） 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3） 联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长.
参考答案
1. D；2. 2或或；3 .（1） k？叟-，（2） 7，；4. k=或k=2时，与x轴只有一个交点（1，0）；当k≠且k≠2时，与x轴有两个不同交点（1，0），（，0）；.
5.（1） y=x+2（x>0），（2） ，（3） 8或2.
（责任编辑：殷大才）
本文将主要对中考试题中涉及“分类讨论”的数学思想的试题进行梳理归纳，这对提高同学们全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的.
一、 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论
例1 代数式++的所有可能的值有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 无数个
解析 根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论.
（1） 当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3；
（2） 当a>0，b<0时，ab<0，原式等于-1；
（3） 当a<0，b>0时，ab<0，原式等于-1；
（4） 当a<0，b<0时，ab>0，原式等于-1.
因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A.
点拨 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离.所以我们复习时只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力.
二、 由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论
例2 求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.
解析 本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为二类：（1） 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为（-1，0） ；（2） 当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2，①Δ>0，即k≠2时，有两个交点（-l，0） 、（1/（1-k） ，0） ；②Δ=0，即k=2时，有一个交点（-1，0） ；③Δ<0，即（k-2）2<0，不存在k的取值.综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为（-1，0） ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1、0） 、（1/（1-k） ，0） ；k=2时，与x轴交点为（-1，0） .
例3 如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个.
解析 本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1） 绕点C旋转，有一解；（2） 绕点D旋转，有一解；（3） 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.
点拨 学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成.只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解.
三、 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论
例4 一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值是（ ）.
A. 14 B. -6
C. -4或21 D. -6或14
解析 应对参数k分两种情况讨论.当k>0时，线段两端点为（-3，1）和（1，9），则k=2，b=7，kb=14；当k<0时，线段两端点为（-3，9）和（1，1），则k=-2，b=3，kb=-6.故应选D.
点拨 解此类问题要能分析清楚参数的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，应把它们一一罗列出来，全面、系统地分类.含参数问题的分类讨论是中考常见题型.
四、 由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论
例5 已知一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形.
解析 本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1） PA=PB；（2） PA=AB；（3）PB=AB.先可以求出B点坐标（0，3），A点坐标（9，0）.设P点坐标为（x，0），利用勾股定理可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别（-9，0）、（3，0）、（9+6，0）、（9-6，0）.（不适合条件的解已舍去）
例6 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.
（1） 直接写出点E、F的坐标；
（2） 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3） 在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.
解析 ① 解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角.其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③ 解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决. （1） E（3，1）；F（1，2）.
（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴ EF===.
设点P的坐标为（0，n），其中n>0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2（a≠0）.
① 如图①，当EF=PF时，EF 2=PF 2，
∴ 12+（n-2）2=5.解得n=0（舍去）；n=4.
∴ P（0，4）. ∴ 4=a（0-1）2+2.解得a=2.
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2
② 如图②，当EP=FP时，EP 2=FP 2，
∴ （2-n）2+1=（1-n）2+9.解得n=-（舍去）.
③ 当EF=EP时，EP=<3，这种情况不存在.
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）2+2.
（3） 存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小.
如图③，作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点.
∴ E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′.
∴ BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.
又∵EF=，
∴ FN+NM+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是5+.
点拨 正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形.同时能根据各种情况训练自己的画图能力和空间想象能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，平时多操作、多思考，提高能力.
初中数学中的分类讨论问题梳理归纳主要是以上四种动因的分类讨论.抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率.
针对性训练
1.已知x2+2（m-3）x+49是完全平方式，则m的值是（ ）
A. -3 B. 10
C. -4 D. 10或-4
2. 已知直角三角形两边x、y的长满足x-4+，则第三边长为 .
3. 已知关于x的方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0
（1） 若方程有实数根，求k的取值范围
（2） 若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
4. 求函数y=（-k）x2+（k-3）x+的图象与x轴的交点？
5.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.
（1） 设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2） 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3） 联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长.
参考答案
1. D；2. 2或或；3 .（1） k？叟-，（2） 7，；4. k=或k=2时，与x轴只有一个交点（1，0）；当k≠且k≠2时，与x轴有两个不同交点（1，0），（，0）；.
5.（1） y=x+2（x>0），（2） ，（3） 8或2.
（责任编辑：殷大才）