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定义型创新题是指以已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情景，并给出一个新的定义，通过阅读相关信息进行解答的一类新题型. 这类试题在高考数学中越来越流行，本文对2012年高考中定义型创新题加以归类解析，供同学们参考.
一、 函数中的新定义题
例1 （福建卷）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a>b.设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 .
分析 本题是已知新定义的一个分段函数，再考查函数与方程中根的个数.
解 由题可得f（x）=x（2x-1），x≤0，-x（x-1），x>0. 作出f（x）的图象如下：
由图可知，当00，且x2 x3=2×=1，则x2x.
由m∈（0，），x1<0，
令（2x-1）x=， x<0， 解得x=或x=（舍去）.
又 故填（，0）.
评注 本题主要是借助于数形结合法直观解决.
二、 数列中的新定义题
例2 （湖北卷）定义在（-∞，0）∪（0， ∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”. 现有定义在（-∞，0）∪（0， ∞）上的如下函数：
① f（x）=x2； ② f（x）=2x； ③ f（x）=； ④ f（x）=ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
分析 充分利用等比数列性质及函数的相关知识来解题.
解 由等比数列性质，知anan 2=a2 n 1，则
① f（an）f（an 2）=a2na2 n 2=（a2 n 1）2=f 2（an 1）；
② f（an）f（an 2）=2an2an 2=2an an 2≠（2an 1）2=f 2（an 1）；
③ f（an）f（an 2）===f 2（an 1）；
④ f（an）f（an 2）=ln|an|ln|an 2|≠（ln|an 1|）2=f 2（an 1）.
由保等比数列函数的定义知①③满足条件.
故选C.
评注 本题也可利用特殊化思想，选an=2n来判定.
三、 向量中的新定义题
例3 （广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α？莓β=.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈（0，），且a？莓b，b？莓a都在集合■|n∈Z中，则a？莓b=（ ）
A. B. 1 C. D.
分析 这是向量中的新定义问题，可借助向量数量积及整数的相关知识来解决.
解 设m，n∈Z，又θ∈（0，），由题意知
a？莓b=cosθ=>0，
b？莓a=cosθ=>0，
所以cos2θ=，且m≥n>0.
因为cos2θ∈（，1），所以<<1，得mn=3.
又m，n∈Z，|a|≥|b|>0，则有m=3，n=1，于是a？莓b=.
故选C.
评注 本题主要考查平面向量的数量积、整数性质以及三角函数的有界性.
四、 概率中的新定义题
例4 （江西卷）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）.
（1） 求V=0的概率；
（2） 求V的分布列及数学期望EV.
分析 本题新定义一个“立体”概念，来解决概率及数学期望问题.
解 （1） 从6个点中随机地选取3个点共有C36=20种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有C13C34=12种，因此V=0的概率P（V=0）=■=■.
（2） V的所有可能值为0，，，，，因此V的分布列为
由V的分布列可得：
EV=0× × × × ×=.
评注 本题是立体几何与概率交汇的新定义题，除了理解“立体”概念，还要理解“立体”的体积.
五、 解析几何中的新定义题
例5 （浙江卷）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离. 已知曲线C1：y=x2 a到直线l：y=x的距离等于C2：x2 （y 4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a= .
分析 利用新定义的距离，转化为课本中学过的点到直线的距离，利用公式d=即可解决.
解 C2：x2 （y 4）2=2，圆心（0，-4），半径r=.
则圆心到直线l：y=x的距离
d==2，
则曲线C2到直线l：y=x的距离为d′=d-r=2-=.
又曲线C1上的点（x0，y0）到直线l：y=x的距离也为d′，
则过点（x0，y0）的切线平行于直线y=x.
已知函数y=x2 a，则y′|x=x0=2x0=1，即x0=，y0= a.
点（x0，y0）到直线l：y=x的距离d′==.
由题意知=，解得a=-或a=.
当a=-时，直线l与曲线C1相交，不合题意，舍去.
故填.点评 求圆上的点到直线的最短距离，可借助于圆心及半径来解决；而抛物线上的点到直线的最短距离，通常借助于切线来解决.
（编辑 孙世奇）
一、 函数中的新定义题
例1 （福建卷）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a>b.设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 .
分析 本题是已知新定义的一个分段函数，再考查函数与方程中根的个数.
解 由题可得f（x）=x（2x-1），x≤0，-x（x-1），x>0. 作出f（x）的图象如下：
由图可知，当0
由m∈（0，），x1<0，
令（2x-1）x=， x<0， 解得x=或x=（舍去）.
又
评注 本题主要是借助于数形结合法直观解决.
二、 数列中的新定义题
例2 （湖北卷）定义在（-∞，0）∪（0， ∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”. 现有定义在（-∞，0）∪（0， ∞）上的如下函数：
① f（x）=x2； ② f（x）=2x； ③ f（x）=； ④ f（x）=ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
分析 充分利用等比数列性质及函数的相关知识来解题.
解 由等比数列性质，知anan 2=a2 n 1，则
① f（an）f（an 2）=a2na2 n 2=（a2 n 1）2=f 2（an 1）；
② f（an）f（an 2）=2an2an 2=2an an 2≠（2an 1）2=f 2（an 1）；
③ f（an）f（an 2）===f 2（an 1）；
④ f（an）f（an 2）=ln|an|ln|an 2|≠（ln|an 1|）2=f 2（an 1）.
由保等比数列函数的定义知①③满足条件.
故选C.
评注 本题也可利用特殊化思想，选an=2n来判定.
三、 向量中的新定义题
例3 （广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α？莓β=.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈（0，），且a？莓b，b？莓a都在集合■|n∈Z中，则a？莓b=（ ）
A. B. 1 C. D.
分析 这是向量中的新定义问题，可借助向量数量积及整数的相关知识来解决.
解 设m，n∈Z，又θ∈（0，），由题意知
a？莓b=cosθ=>0，
b？莓a=cosθ=>0，
所以cos2θ=，且m≥n>0.
因为cos2θ∈（，1），所以<<1，得mn=3.
又m，n∈Z，|a|≥|b|>0，则有m=3，n=1，于是a？莓b=.
故选C.
评注 本题主要考查平面向量的数量积、整数性质以及三角函数的有界性.
四、 概率中的新定义题
例4 （江西卷）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）.
（1） 求V=0的概率；
（2） 求V的分布列及数学期望EV.
分析 本题新定义一个“立体”概念，来解决概率及数学期望问题.
解 （1） 从6个点中随机地选取3个点共有C36=20种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有C13C34=12种，因此V=0的概率P（V=0）=■=■.
（2） V的所有可能值为0，，，，，因此V的分布列为
由V的分布列可得：
EV=0× × × × ×=.
评注 本题是立体几何与概率交汇的新定义题，除了理解“立体”概念，还要理解“立体”的体积.
五、 解析几何中的新定义题
例5 （浙江卷）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离. 已知曲线C1：y=x2 a到直线l：y=x的距离等于C2：x2 （y 4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a= .
分析 利用新定义的距离，转化为课本中学过的点到直线的距离，利用公式d=即可解决.
解 C2：x2 （y 4）2=2，圆心（0，-4），半径r=.
则圆心到直线l：y=x的距离
d==2，
则曲线C2到直线l：y=x的距离为d′=d-r=2-=.
又曲线C1上的点（x0，y0）到直线l：y=x的距离也为d′，
则过点（x0，y0）的切线平行于直线y=x.
已知函数y=x2 a，则y′|x=x0=2x0=1，即x0=，y0= a.
点（x0，y0）到直线l：y=x的距离d′==.
由题意知=，解得a=-或a=.
当a=-时，直线l与曲线C1相交，不合题意，舍去.
故填.点评 求圆上的点到直线的最短距离，可借助于圆心及半径来解决；而抛物线上的点到直线的最短距离，通常借助于切线来解决.
（编辑 孙世奇）