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当孩子向我们请教学习中的问题时，问题本身对家长或老师而言并不难，但是当我们给孩子讲解如何解决问题时发现孩子们却听不懂。其原因是家长在用孩子们未来的知识在解释现在的问题，而作为老师却明知不能这样做，可不知应该如何应用学生现有的知识去分析解决问题。如：小学五年级上学期学习小数除法时，有这样一道数学动脑筋的题。
一辆汽车共载客50人。一部分买A种票，每张0.8元；另一部分买B种票，每张0.3元。A种票比B种票多收入18元，买A种票的有多少人？
这道题如果用列方程解决问题的方法并不难做，设买A种票的有x人，那么买B种票的有（50-x）人。列方程为：0.8x-0.3×（50-x）=18，解方程得x=30；如果设买B种票有y人，则买A种票的有（50-y）人，列议程为（50-y）×0.8-0.3y=18，解方程得y=20，买A种票的50-y=50-20=30（人），由于学生没有学过列方程解决问题的方法，我们可从方程里推导出求买A种票人数的算术方法。
由0.8x-0.3x（50-x）=18 可推出：（0.3×50+18）÷（0.8+0.3）又从第二种方法中推导出：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）来求出买A种票的人数。
可是现在问题又出现了（50×0.3+18）和（50×0.8-18）求得什么？（0.8+0.3）是否是一张A种票与一张B种票的总价？（0.8+0.3）与（50×0.3+18）和（50×0.8-18）是一种什么样的关系，家长和许多老师都没有办法说清楚，而学生又没有学过列方程解决问题的方法，有些小学数学教师想到了用解决“鸡兔同笼”中的假设法来解释又好象说不清。
说到“鸡兔同笼”，学生是在四年级下学期学习的，教材中先用了“列表法”解决问题，再推导出“假设法”来解决问题，而列表法中有一种有趣的现象；先假定全部是一种动物，然后在逐一不断地互换到全部是另一种动物为止，它们的脚的总数也随着不断在增加或（减少）相同的数量。在这样的过程中就会出现题中所需的答案，而以上的两种方法与这种有趣的现象正好是用算术方法解决上面车票问题的最佳方法。
现在我们先回顾一下四年级里是如何解决“鸡兔同笼”的问题的。
“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只？
观察这张表很快可得出鸡有3只，兔有5只时，它们的脚的总数正好是26只。
方法二：假设法
再次观察列表法中的表，从左往右看，先假设全部是鸡，再把鸡逐一换成兔，每换一次腳的总数就增加2，（两种动物的脚的差），8只鸡有16只脚，而现在脚有26只，相差（26-16）只，所以鸡换成兔的只数应该是（26-2×8）÷（4-2）=5只，鸡有8-5=3只。
而从右往左面容，则先假设全部是兔，求出鸡的只数（即兔换成鸡的只数）为：（4×8-26）÷（4-2）=3只，兔有8-3=5只。
由上可看出，应用列表法解决学生思维难度较大的题时不仅是较直观，简单的一种方法，同时又能诱导出其他方法的好方法。是非常值得我们老师提倡，家长使用的好方法。那么有人会提出数据较小时是很方便，但数据较大时不是会很麻烦吗？确实存在这个问题，不过结合学生熟悉的估算思想就解决了。在列表前先估计一下脚的总只数与“全部设为鸡”和“全部设为兔”时，哪个更接近或是在两种之间，如果有较接近的就从接近的一边列表解决，如果在两种之间我们可以两种动物数量相等开始列表来解决。
现在我们就用以上观点，方法来解决两种车票的问题。
方法：用列表法。
从表中可以看出，各买25张时，A种票比B种票多收入12.5元，但比多收入18元还有一定的差距，不过从中我们不难看出买A种票的人一定比25人多，所以需要把买B种票的25人中要转换一部分为买A种票。
通过上面的列表法学生很好理解“买A种票30张比B种票20张多收入18元”。
再通过假设，列表、分析的方法我们又可以得出学生基本能理解的三种方法。
方法二，先假设两种车票张数相等，再列表分析解答。
分析，解答，①各卖25张时A种票比B种票多收入：25×0.8-25×0.3=12.5（元），②比多收入18元还少：18-12.5=5.5（元）。③把买B种票的1人转换成买A种票时，A种票的总收入比B种票又多出1.1元（0.8+0.3）。④买B种票的人中转换几人买A种票才能多收入5.5元？5.5÷1.1=5（人）。⑤买A种票的共有多少人？25+5=30（人）。
答：买A种票的有30人。
方法三：先假设50人都买A种票，再列表分析并解答。
设全部买A种票，则A种票比B种票多收入40元，而中信息告诉我们只能多收入18元，那么我们需要把多收40元中转化掉40-18=22元，由买A种票的1张转化成买B种票时总收入只减少了0.8+0.3=1.1元，那么22元中有几个1.1元，就需要把买A种票的几个人转换成买B种票，即22÷1.1=20（人）买B种票，所以买A种票的有50-20=30（人），列成综合算式为：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）=30（人）。
方法四：先假设50人都买B种票，再列表，分析并解答。
由A种票比B种票少收入15元转化到A种票比B种票反而多收入18元。就在总收入中需要一共转化掉15+18=33（元），而每次由买B种票的人转换成买A种票时，A种票比B种票多收入1.1元，所以由50人买B种票里要转换33÷1.1=30人买A种票才能达到“A种票比B种票多收入18元”的要求。列成综合算式为：（0.3×50+18）÷（0.8+0.1）=30（人）。
当我用以上方法给学生讲解完时，有一个学生拿着作业来问我：“李老师，1张A种票比1张B种票贵0.5元（0.8-0.3=0.5），而题中不是说A种票比B种票多收入18元，我用18÷0.5求出买A种票36人，50-36求出买B种票14人怎么就错了呢？”我说：“你先用36张A种票和14张B种票及单价检验一下总收入相差多少？”结果这个学生很快算出来了，0.8×36-0.3×14=28.5-4.2=24.6（元），这时我又问她：“你从这个结果想到了什么？”她说：“24.6元﹥18元，看来买A种票的36人多了，而买B种票的14人少了。”我接着说：“你能不能从36人买A种票，14人买B种票中用逐一转换的方法得到正确结果呢？试试！”结果她经过6人次的转换后得到了当30人买A种票，20人买B种票时A种票比B种票多收入18元。这个学生从她開始错误的理解中，经过检验、思考又找到了解决问题的另一途径。
以上是我对这一问题的理解和给学生讲解的思路和过程，如果对较用心的家长和老师能有所借鉴与启迪我就很欣慰了，如若发现哪些地方有问题和不足请批评指正。同时，我正在思考这样一问题，如果学生学会了列方程解决问题的方法后，再次让学生做一做这道题，并与自述方法的分析解答过程比一比，不知学生的心里会感悟到些什么？
（作者单位：云南省丽江市实验学校）
一辆汽车共载客50人。一部分买A种票，每张0.8元；另一部分买B种票，每张0.3元。A种票比B种票多收入18元，买A种票的有多少人？
这道题如果用列方程解决问题的方法并不难做，设买A种票的有x人，那么买B种票的有（50-x）人。列方程为：0.8x-0.3×（50-x）=18，解方程得x=30；如果设买B种票有y人，则买A种票的有（50-y）人，列议程为（50-y）×0.8-0.3y=18，解方程得y=20，买A种票的50-y=50-20=30（人），由于学生没有学过列方程解决问题的方法，我们可从方程里推导出求买A种票人数的算术方法。
由0.8x-0.3x（50-x）=18 可推出：（0.3×50+18）÷（0.8+0.3）又从第二种方法中推导出：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）来求出买A种票的人数。
可是现在问题又出现了（50×0.3+18）和（50×0.8-18）求得什么？（0.8+0.3）是否是一张A种票与一张B种票的总价？（0.8+0.3）与（50×0.3+18）和（50×0.8-18）是一种什么样的关系，家长和许多老师都没有办法说清楚，而学生又没有学过列方程解决问题的方法，有些小学数学教师想到了用解决“鸡兔同笼”中的假设法来解释又好象说不清。
说到“鸡兔同笼”，学生是在四年级下学期学习的，教材中先用了“列表法”解决问题，再推导出“假设法”来解决问题，而列表法中有一种有趣的现象；先假定全部是一种动物，然后在逐一不断地互换到全部是另一种动物为止，它们的脚的总数也随着不断在增加或（减少）相同的数量。在这样的过程中就会出现题中所需的答案，而以上的两种方法与这种有趣的现象正好是用算术方法解决上面车票问题的最佳方法。
现在我们先回顾一下四年级里是如何解决“鸡兔同笼”的问题的。
“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只？
观察这张表很快可得出鸡有3只，兔有5只时，它们的脚的总数正好是26只。
方法二：假设法
再次观察列表法中的表，从左往右看，先假设全部是鸡，再把鸡逐一换成兔，每换一次腳的总数就增加2，（两种动物的脚的差），8只鸡有16只脚，而现在脚有26只，相差（26-16）只，所以鸡换成兔的只数应该是（26-2×8）÷（4-2）=5只，鸡有8-5=3只。
而从右往左面容，则先假设全部是兔，求出鸡的只数（即兔换成鸡的只数）为：（4×8-26）÷（4-2）=3只，兔有8-3=5只。
由上可看出，应用列表法解决学生思维难度较大的题时不仅是较直观，简单的一种方法，同时又能诱导出其他方法的好方法。是非常值得我们老师提倡，家长使用的好方法。那么有人会提出数据较小时是很方便，但数据较大时不是会很麻烦吗？确实存在这个问题，不过结合学生熟悉的估算思想就解决了。在列表前先估计一下脚的总只数与“全部设为鸡”和“全部设为兔”时，哪个更接近或是在两种之间，如果有较接近的就从接近的一边列表解决，如果在两种之间我们可以两种动物数量相等开始列表来解决。
现在我们就用以上观点，方法来解决两种车票的问题。
方法：用列表法。
从表中可以看出，各买25张时，A种票比B种票多收入12.5元，但比多收入18元还有一定的差距，不过从中我们不难看出买A种票的人一定比25人多，所以需要把买B种票的25人中要转换一部分为买A种票。
通过上面的列表法学生很好理解“买A种票30张比B种票20张多收入18元”。
再通过假设，列表、分析的方法我们又可以得出学生基本能理解的三种方法。
方法二，先假设两种车票张数相等，再列表分析解答。
分析，解答，①各卖25张时A种票比B种票多收入：25×0.8-25×0.3=12.5（元），②比多收入18元还少：18-12.5=5.5（元）。③把买B种票的1人转换成买A种票时，A种票的总收入比B种票又多出1.1元（0.8+0.3）。④买B种票的人中转换几人买A种票才能多收入5.5元？5.5÷1.1=5（人）。⑤买A种票的共有多少人？25+5=30（人）。
答：买A种票的有30人。
方法三：先假设50人都买A种票，再列表分析并解答。
设全部买A种票，则A种票比B种票多收入40元，而中信息告诉我们只能多收入18元，那么我们需要把多收40元中转化掉40-18=22元，由买A种票的1张转化成买B种票时总收入只减少了0.8+0.3=1.1元，那么22元中有几个1.1元，就需要把买A种票的几个人转换成买B种票，即22÷1.1=20（人）买B种票，所以买A种票的有50-20=30（人），列成综合算式为：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）=30（人）。
方法四：先假设50人都买B种票，再列表，分析并解答。
由A种票比B种票少收入15元转化到A种票比B种票反而多收入18元。就在总收入中需要一共转化掉15+18=33（元），而每次由买B种票的人转换成买A种票时，A种票比B种票多收入1.1元，所以由50人买B种票里要转换33÷1.1=30人买A种票才能达到“A种票比B种票多收入18元”的要求。列成综合算式为：（0.3×50+18）÷（0.8+0.1）=30（人）。
当我用以上方法给学生讲解完时，有一个学生拿着作业来问我：“李老师，1张A种票比1张B种票贵0.5元（0.8-0.3=0.5），而题中不是说A种票比B种票多收入18元，我用18÷0.5求出买A种票36人，50-36求出买B种票14人怎么就错了呢？”我说：“你先用36张A种票和14张B种票及单价检验一下总收入相差多少？”结果这个学生很快算出来了，0.8×36-0.3×14=28.5-4.2=24.6（元），这时我又问她：“你从这个结果想到了什么？”她说：“24.6元﹥18元，看来买A种票的36人多了，而买B种票的14人少了。”我接着说：“你能不能从36人买A种票，14人买B种票中用逐一转换的方法得到正确结果呢？试试！”结果她经过6人次的转换后得到了当30人买A种票，20人买B种票时A种票比B种票多收入18元。这个学生从她開始错误的理解中，经过检验、思考又找到了解决问题的另一途径。
以上是我对这一问题的理解和给学生讲解的思路和过程，如果对较用心的家长和老师能有所借鉴与启迪我就很欣慰了，如若发现哪些地方有问题和不足请批评指正。同时，我正在思考这样一问题，如果学生学会了列方程解决问题的方法后，再次让学生做一做这道题，并与自述方法的分析解答过程比一比，不知学生的心里会感悟到些什么？
（作者单位：云南省丽江市实验学校）