摘 要：函数贯穿着中学数学课程的内容，函数的凸性是函数的一个重要性质，虽然此性质没有在中学数学中直接提出，但它隐含在高考、竞赛、自主招生的题目之中。这篇文章就函数的凸性及应用作了一个介绍，说明什么是函数的凸性，有关的定义、定理及其应用。
　　关键词：函数的凸性 有关定义定理 在解题中的应用
　　中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（c）-0106-02
　　我们已经知道函数和的图象，它们不同的特点的是：曲线上任意两点的弧段总在两点连线的下方，而曲线上任意两点的弧段总在两点连线的上方。我们把具有前一种特性的曲线成为凸的（或成为下凸的），相应的函数成为称为凸函数；具有后一种特性的曲线成为凹的（或成为上凸的），相应的函数成为称为凹函数。
　　定义：设为定义在区间（a，b）上的函数，若对于（a，b）内的任意两个实数和任意实数，总有
　　则称为（a，b）上的凹函数。
　　注：如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数成为严格凸函数和严格凹函数。
　　图1中的（1）、（2）分别为凸函数和凹函数的几何形状，其中
　　，，
　　一般地，如果为（a，b）上的凸函数，那么为（a，b）上的凹函数。因此，我们只需讨论凸函数的性质即可。
　　定理1：设为（a，b）上的凸函数，是（a，b）内的三个点，则有下边三个结论：
　　（1）≤。
　　（2）≤。
　　（3）≤。
　　证明：这是在几何直观上明显成立的事实，其证明十分简单，是凸函数定义的直接推论，则
　　整理可得≥所以结论（3）得证
　　由（3）证（1），设（a，b）上的两点，
　　，由（3）并利用
　　分别用、乘上面两式并相加可得
　　≥所以结论（1）得证
　　注意结论（3）的几何意义是曲线总是在它的任意一条切线的上方如图2。
　　对于凹函数同样有类似定理2的结论。
　　定理3：设为（a，b）上的二阶可导函数，则在（a，b）上为凸（凹）函数的充要条件是≥≤，
　　证明：必要性：由的凸性和定理2
　　可得取定则任意 ≥
　　由于在x点有二阶导数就有
　　由上两式分别乘以相加就得到
　　≥所以是（a，b）上的凸函数
　　例1：讨论函数的凸凹性区间
　　解：由于
　　当≤0时，≥0 当≥0时，≤0
　　所以，在上为凸函数；在上为凹函数
　　例2：求证：≤其中a，b，c均为正数
　　證明：设
　　因此，在x>0时为严格凸函数。
　　依据詹森不等式有（注：詹森（Jensen）不等式
　　≤
　　如果在[a，b]上是凸函数那么对于任意
　　从而≤
　　即≤，又≤
　　所以≤
　　注：取=1时，≥，是凸函数；
　　≥，是凹函数。
　　例3：已知函数f （x）=logax（a>0且a≠1），（x∈（0，+∞）），若x1，x2∈（0，+∞），判断[f （x1）+f （x2）]与f （）的大小，并加以证明.
　　分析：当a>1时，是凹的（或上凸的）所以[f （x1）+f （x2）]≤f （）
　　当0　　解：f （x1）+f （x2）=logax1+logax2=logax1x2，
　　∵x1，x2∈（0，+∞），x1x2≤（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号），
　　当a>1时，有logax1x2≤loga（）2，
　　∴logax1x2≤loga（），（logax1+logax2）≤loga，
　　即[f （x1）+f （x2）]≤f （）（当且仅当x1=x2时取“=”号）
　　当0　　∴（logax1+logax2）≥loga，即[f （x1）+f （x2）]≥f （）
　　（当且仅当x1=x2时取“=”号）。
　　例4：在四个函数中，当时，使成立的函数是（ ）。
　　A. B. C. D.
　　分析：就是判断时，的凸凹性
　　解：有图像可知，的图象是上凸的，所以选A
　　函数的凸性是函数的一个重要性质，有着广泛的应用，在中学数学教材中虽然此性质没有直接提出，但它隐含在高考、竞赛、自主招生的题目之中。在数学中，有些函数的题目，如果知道了并应用函数的凸性就有了解题的思路，问题就得到了解决。这篇文章是我在教学中所遇到问题初步探讨，仅供同仁教学参考，若有不当之处敬请斧正。