论文部分内容阅读
［教案设计］
在实行新课标的课堂下，教师充分放开课堂，不再一讲到底，这样课堂充满了活力，学生思维很活跃，同时合作探究的课堂模式从形式变成了现实，从而教学效率高，思维训练实，教学效果好.（该班是理化班）
例已知过点A（－1，0）的动直线l与圆C：x2＋（y－3）2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
（1） 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2） 当PQ＝23时，求直线l的方程；
探索AM•AN的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
师：先看题，请思考第（1）、（2）小题（过5分钟后）
师：第（1）（2）两小问题容易解决吗？
生A：对于第（1）小题，由l⊥m可以求出直线l，再证点C在直线l上即可.生B：直线l被圆所截弦长PQ＝23，则PQ=2R2-d2（R是圆半径，d是表示圆心C到直线l的距离），可以求出直线l的方程.
师：很好，请思考第（3）小题（思考5分钟）
师：很好，生C，说出你对第（3）小题的认识
生C：感觉AM•AN是个负值，可能是个定值，但运算量估算较大.
师：可以讨论
（一段时间讨论后）
生D：这是个探索性问题，可以先猜出这个定值.
师：如何猜出？
生E：先从特殊情况考虑，过点A作l与x轴垂直，知M（－1，3），N－1，－53
∴ AM•AN＝－5
师：很好，你已经掌握解决性探索性问题的基本方法，先从特殊情况猜出一般结论，然后再来求证猜想，那么你如何来证明呢？
大家动动脑动动笔，一会儿后，教师看到生F已做好，请他到黑板上板演.
过程如下：设直线l的斜率为k，设P（x1，y1），Q（x2，y2），点M坐标为（xm，ym），则l方程为y＝k（x＋1）
联立y=k（x+1）
x2+(y-3)2=4，得到（1+k2）x2+2k（k-3）x+k2-6k+5=0
∵点M为弦PQ的中点
∴ xm=x1+x22=k(3-k)1+k2，
又点M在直线l：y＝k（x＋1）上
知ym=3k2+k1+k2
∴ AM=3k+11+k2，3k2+k1+k2
又直线l与直线m的交点N为-6-3k1+3k，-5k1+3k
∴ AN=-51+3,-5k1+3k
∴ AM•AN=-5（3k+1）（1+3k）（1+k）+-5k（3k2+k）（1+3k）（1+k2）=-5
∴ 猜想成立
师：同学F计算能力很强，这一点很值得我们学习，所以尽量少用计算器.
生G：他写得不完善，要把斜率k不存在（即特殊性）时情形考虑上去.
同学们一片掌声.
此时看到学生D与H窃窃私语，旁边两同学也一起谈论.
师：你有什么意见？
生D：本题可以用直线参数方程来解决.
师让他写出过程.
过程如下：
设直线l的倾斜角为a，则t的参数方程为x=-1+tcosα
y=tsinα（t为参数）
把它代入圆方程x2＋（y－3）2＝4得：t2-2（cosα+3sinα）t+6=0，设AP=t1，AQ=t2
∴ AM=t1+t22=cosα+3sinα①
再把直线l参数方程化入直线的方程，(－1＋tsinα）+3tsinα+6=0
得t=-5cosα+3sinα，即AN=-5cosα+3sinα②
由①②知，AM•AN=（cosα+3sinα）•-5cosα+3sinα=-5
同学们一片掌声欢呼.
师：同学D充分掌握直线参数方程中参数“t”的几何意义，而且学会了用直线参数方程来解决问题，很好！下面我把我的想法介绍给大家.（教室已经安静，同学们全神贯注地听我讲解）
过程如下：
师：AM•AN这个运算比较繁琐，圆这个很美的图形，几何性质很丰富，能否利用圆的性质来简化其运算呢？
同学们讨论思考.
同学I激动地站起来说：
AM=AC+CM，又AN⊥CM，得AN•CM=0
∴ AN•AM=AN•（AC+CM）=AN•AC+0=AN•AC
师：很好，这个想法同我完全一致，下面我把过程写下来
① 当l与x轴垂直时，易得点N－1，－53，则AN=0，-53，又AC＝（1，3），所以AM•AN=AC•AN＝－5
② 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），
则由y=k(x+1)
x+3y+6=0，得点N-3k-61+3k，-5k1+3k，则AN=-51+3k，-5k1+3k
所以AM•AN=AC•AN=-51+3k+-15k1+3k=-5
综上所述，AM•AN与直线l的斜率无关且AM•AN＝－5
师：圆这一特殊图形，其内涵很丰富，所以我们以后要多研究它的几何意义及性质，解题过程及运算量会大大缩小.（同学们投来赞许目光）
这时，教室里第四小组第四、五排同学叽叽喳喳，争论不休.
师：我的话不对吗？同学N（其中一位）请回答
生N：我有一个几何方法来求值
师：请说出过程
生N：由题（1）可知，直线l与m垂直时，直线l过圆心
∴ 设直线AC交直线m于点H，则AH⊥m
∴ 直线AC方程为y＝3x＋3
点H-32，-32
∴ AH=102，AC=10又 ∵ M为PQ中点
∴ CM⊥PQ
∴△ANH～△ACM
∴ ANAC=AHAM
∴ AN•AM＝AC•AH＝10×102=5
又AN与AM反向
∴ AM•AM=-5
即AM•AN=-5
同学们欢呼雀跃，教室里再次掌声一片.
师：同学们太厉害了，会利用小题间的联系加以思考，充分运用圆的几何意义来解题，效果特佳，我提议再次把掌声献给第四组的几位同学.
通过这节课，我更加坚定这一点，上课要多给予学生思考时间，教师只加以点拨，充分调动学生兴趣就可以了，这种课堂模式对培养学生思维和创新精神大有好处，实施新课标必须研究新的课堂模式，我坚信带着研究的意识来对待教学，教师大有可为，课堂大有作为，学生定有作为.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在实行新课标的课堂下，教师充分放开课堂，不再一讲到底，这样课堂充满了活力，学生思维很活跃，同时合作探究的课堂模式从形式变成了现实，从而教学效率高，思维训练实，教学效果好.（该班是理化班）
例已知过点A（－1，0）的动直线l与圆C：x2＋（y－3）2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
（1） 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2） 当PQ＝23时，求直线l的方程；
探索AM•AN的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
师：先看题，请思考第（1）、（2）小题（过5分钟后）
师：第（1）（2）两小问题容易解决吗？
生A：对于第（1）小题，由l⊥m可以求出直线l，再证点C在直线l上即可.生B：直线l被圆所截弦长PQ＝23，则PQ=2R2-d2（R是圆半径，d是表示圆心C到直线l的距离），可以求出直线l的方程.
师：很好，请思考第（3）小题（思考5分钟）
师：很好，生C，说出你对第（3）小题的认识
生C：感觉AM•AN是个负值，可能是个定值，但运算量估算较大.
师：可以讨论
（一段时间讨论后）
生D：这是个探索性问题，可以先猜出这个定值.
师：如何猜出？
生E：先从特殊情况考虑，过点A作l与x轴垂直，知M（－1，3），N－1，－53
∴ AM•AN＝－5
师：很好，你已经掌握解决性探索性问题的基本方法，先从特殊情况猜出一般结论，然后再来求证猜想，那么你如何来证明呢？
大家动动脑动动笔，一会儿后，教师看到生F已做好，请他到黑板上板演.
过程如下：设直线l的斜率为k，设P（x1，y1），Q（x2，y2），点M坐标为（xm，ym），则l方程为y＝k（x＋1）
联立y=k（x+1）
x2+(y-3)2=4，得到（1+k2）x2+2k（k-3）x+k2-6k+5=0
∵点M为弦PQ的中点
∴ xm=x1+x22=k(3-k)1+k2，
又点M在直线l：y＝k（x＋1）上
知ym=3k2+k1+k2
∴ AM=3k+11+k2，3k2+k1+k2
又直线l与直线m的交点N为-6-3k1+3k，-5k1+3k
∴ AN=-51+3,-5k1+3k
∴ AM•AN=-5（3k+1）（1+3k）（1+k）+-5k（3k2+k）（1+3k）（1+k2）=-5
∴ 猜想成立
师：同学F计算能力很强，这一点很值得我们学习，所以尽量少用计算器.
生G：他写得不完善，要把斜率k不存在（即特殊性）时情形考虑上去.
同学们一片掌声.
此时看到学生D与H窃窃私语，旁边两同学也一起谈论.
师：你有什么意见？
生D：本题可以用直线参数方程来解决.
师让他写出过程.
过程如下：
设直线l的倾斜角为a，则t的参数方程为x=-1+tcosα
y=tsinα（t为参数）
把它代入圆方程x2＋（y－3）2＝4得：t2-2（cosα+3sinα）t+6=0，设AP=t1，AQ=t2
∴ AM=t1+t22=cosα+3sinα①
再把直线l参数方程化入直线的方程，(－1＋tsinα）+3tsinα+6=0
得t=-5cosα+3sinα，即AN=-5cosα+3sinα②
由①②知，AM•AN=（cosα+3sinα）•-5cosα+3sinα=-5
同学们一片掌声欢呼.
师：同学D充分掌握直线参数方程中参数“t”的几何意义，而且学会了用直线参数方程来解决问题，很好！下面我把我的想法介绍给大家.（教室已经安静，同学们全神贯注地听我讲解）
过程如下：
师：AM•AN这个运算比较繁琐，圆这个很美的图形，几何性质很丰富，能否利用圆的性质来简化其运算呢？
同学们讨论思考.
同学I激动地站起来说：
AM=AC+CM，又AN⊥CM，得AN•CM=0
∴ AN•AM=AN•（AC+CM）=AN•AC+0=AN•AC
师：很好，这个想法同我完全一致，下面我把过程写下来
① 当l与x轴垂直时，易得点N－1，－53，则AN=0，-53，又AC＝（1，3），所以AM•AN=AC•AN＝－5
② 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），
则由y=k(x+1)
x+3y+6=0，得点N-3k-61+3k，-5k1+3k，则AN=-51+3k，-5k1+3k
所以AM•AN=AC•AN=-51+3k+-15k1+3k=-5
综上所述，AM•AN与直线l的斜率无关且AM•AN＝－5
师：圆这一特殊图形，其内涵很丰富，所以我们以后要多研究它的几何意义及性质，解题过程及运算量会大大缩小.（同学们投来赞许目光）
这时，教室里第四小组第四、五排同学叽叽喳喳，争论不休.
师：我的话不对吗？同学N（其中一位）请回答
生N：我有一个几何方法来求值
师：请说出过程
生N：由题（1）可知，直线l与m垂直时，直线l过圆心
∴ 设直线AC交直线m于点H，则AH⊥m
∴ 直线AC方程为y＝3x＋3
点H-32，-32
∴ AH=102，AC=10又 ∵ M为PQ中点
∴ CM⊥PQ
∴△ANH～△ACM
∴ ANAC=AHAM
∴ AN•AM＝AC•AH＝10×102=5
又AN与AM反向
∴ AM•AM=-5
即AM•AN=-5
同学们欢呼雀跃，教室里再次掌声一片.
师：同学们太厉害了，会利用小题间的联系加以思考，充分运用圆的几何意义来解题，效果特佳，我提议再次把掌声献给第四组的几位同学.
通过这节课，我更加坚定这一点，上课要多给予学生思考时间，教师只加以点拨，充分调动学生兴趣就可以了，这种课堂模式对培养学生思维和创新精神大有好处，实施新课标必须研究新的课堂模式，我坚信带着研究的意识来对待教学，教师大有可为，课堂大有作为，学生定有作为.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文