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函数的思想方法贯穿于高中数学各章的知识中，导数作为一种工具，在解决数学问题时应用极为方便，尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线．本文通过一些常见错例剖析，希望同学们从正反两方面分析比较，推敲错解根源，领悟正确思路，从而加深对函数与导数的基本概念和基础知识的理解，使同学们的数学素质得以全面提高，从而激发学习数学的潜能．
一、关于函数值域的典型错误
典型错误一 忽视隐含条件，导致结果错误
【例1】 求函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域．
【错解】 （用判别式法）将原函数变形得：(y－1)x2+(y－4)x－3(2y+1)=0 ①
当y=1时，①式化为－3x=9,有解x=-3；
当y≠1时，∵①式中x∈R，∴Δ=(y－4)2+4×3(y－1)(2y+1)≥0，
即：2y2－20y+4≥0，解这个不等式得y∈R
综上：原函数值域为：y∈R．
【正解】 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围．
事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x－6≠0即x≠2且x≠－3,在此前提下，原函数可化为：y=(x+1)(x+3)(x-2)(x+3)=x+1x-2，(y－1)x=2y+1 ()
当y=1时，方程（）无解；
当y≠1时，x=2y+1y-1,
∴2y+1y-1≠-3且
2y+1y-1≠2，
解得y≠2
∴原函数值域为：y∈(－∞,2)∪(2,1)∪(1,+∞)．
二、关于函数奇偶性的典型错误
典型错误二 忽视定义域的对称性，导致结果错误
【例2】 判断函数f(x)=(x－1)1+x1－x的奇偶性．
【错解】 由1+x1－x≥0，得定义域［－1,1)，所以f(x)=－(1－x)(1+x)=－1－x2，从而f(－x)=f(x)．所以函数f(x)=(x－1)1+x1－x为偶函数．
【正解】 因函数f(x)=(x－1)1+x1－x的定义域［－1,1)是不关于原点对称的，所以它为非奇非偶函数．
一般来说，判断函数的奇偶性的步骤是：①确定函数定义域（若定义域关于原点对称，则有可能具有奇偶性，否则不具有奇偶性）；②化简函数关系式；③求f(－x)的关系式，并与f(x)比较，若f(－x)=f(x)（或f(－x)=－f(x) ），那么f(x)是定义域上的偶函数（或奇函数）．
典型错误三 忽视奇偶性定义的本质，导致结果错误
【例3】 判断函数f(x)=x2，x<0x3，x≥0 的奇偶性．
【错解】 ∵当x<0时，f(－x)=(－x)2=f(x)；当x≥0时，f(－x)=(－x)3=－f(x)，
∴当x<0时，函数f(x)是偶函数．当x≥0时，函数f(x)是奇函数．
事实上：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当x<0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数这种说法本身就是错误的．
【正解】 当x<0时，－x>0，f(－x)=(－x)3≠x2=f(x)；
当x≥0时，－x≤0，f(－x)=(－x)2≠－x3=－f(x)．
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
典型错误四 对函数本质认识不透，导致结果错误
【例4】 已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时对应的解析式是f(x)=x2－2x+3，则，f(x)=______。
【错解】 f(x)=x2－2x+3,x>0－x2－2x－3,x<0
事实上：奇函数的定义域为R，在x=0处有意义，还应求出此处的解析式
【正解】 ①因为f(x)为奇函数且在x=0处有意义，所以f(0)=0
②当x<0时，－x>0，所以f(－x)=(－x)2－2(－x)+3=x2+2x+3=－f(x)
∴f(x)=－x2－2x－3
综上可知，所求函数的解析式为f(x)=x2－2x+3,x>00,x=0－x2－2x－3,x<0
温馨提示：当题目中出现奇函数、偶函数时，应首先想到函数的定义域关于原点对称，在解题时往往忽略另一部分，尤其是奇函数在x=0处有意义常常忽略定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要条件
典型错误五 对式子变形不准确，导致结果错误
【例】 判定函数f(x)=x(1ax－1+12)(a>0)的奇偶性．
【错解】 因为f(x)的定义域是A={x|x∈R,x≠0}，
又f(－x)=－x(1a－x－1+12)=x(11－a－x－12)，所以f(－x)≠±f(x)，故f(x)是非奇非偶函数．
【正解】 因为f(x)的定义域是A={x|x∈R,x≠0}，关于原点对称．
又f(－x)=－x(1a－x－1+12)
=x(11－a－x－12)
=x(axax－1－12)=x(ax－1+1ax－1－12)
=x(1ax－1+12)=f(x)．
所以f(x)是偶函数．
【剖析】 出错的原因是由于没有掌握变形技巧，致使变形不恰当而造成判断失误．一般的判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性不强，没有固定的变形方法，对自己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形中出了问题或变形不恰当，尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此．
三、关于函数单调性的典型错误
典型错误六 函数单调性理解不准，导致结果错误
【例6】已知函数f(x)=ax(x<0)(a－3)x+4a(x≥0) 满足任意x1≠x2，都有
f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立，则实数a的取值范围是______。
【错解】 0 【剖析】 首先，对符号f(x1)－f(x2)x1－x2<0不理解是解题的障碍，其意义是说明函数是减函数其次，当x<0时，函数为减函数，则需00时，函数为减函数，则需a－3<0，即a<3
综上可知，00时是减函数，但是还不能说明函数在定义域上是减函数，比如反比例函数在定义域上不是减函数
【正解】 要使得函数在定义域上是减函数，必须满足0 温馨提示：深刻理解函数单调性的内涵和外延是解题关键减函数的内涵：如果函数f(x)是区间D内任意的x1,x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)是区间D上的减函数；减函数的外延：如果函数f(x)对区间D内任意的x1,x2，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则称函数f(x)是区间D上的减函数
典型错误七 对函数单调的充要条件理解不全面，导致结果错误
【例7】 已知函数f(x)=x3+ax2+3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围
【错解】 ∵函数f(x)=x3+ax2+3x－1(a>0)在R上为增函数，
故f′(x)=3x2+2ax+3>0在R上恒成立；
由Δ=4a2－36<0,∴a2<9,∴0
【剖析】 f′(x)>0是函数f(x)在定义域I上单调递增的充分不必要条件并不是充要条件事实上：f(x)在I上递增对任意的x∈I有f′(x)≥0（但这里满足f′(x)=0的点应只是在个别点处，也就是f′(x)不能恒等于零）．
本题中f(x)在其定义域内为增函数应满足f′(x)≥0且f′(x)不恒等于0；∴应改为f′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，由Δ=4a2－36≤0,
∴a2≤9,∴0
四、导数应用中的典型错误
典型错误八 未注意函数存在极值的充分条件（极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得）
【例8】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求a,b的值．
【错解】 f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可知：
f′(1)=0f(1)=10 即：2a+b+3=0a2+a+b+1=10,∴a=4b=－11 或 a=－3b=3
【剖析】 对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点函数y=f(x)在x=x0处取极值的充要条件应为：（1）f′(x0)=0，（2）在x=x0左右两侧的导数值的符号相反
本题只是满足了（1），对于（2）我们必须进行验证：当a=－3,b=3时，f′(x)=3x2－6x+3=3(x－1)2，易知在x=1的左右两侧都有f′(x)>0，即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x=1处并不存在极值．
故本题正确答案应为a=4b=－11
典型错误九 注意已知定点是否为切点(正确区分关键词过和在)
【例9】 过点(－1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为______。
【错解】 记f(x)=x2+x+1，则f′(－1)=－1，切线方程为y－0=－1×［x－(－1)］，
即x+y+1=0
【剖析】 利用导数的几何意义求曲线的切线时应先确定给定的点(x0,y0)是否为曲线上的点若是，则切线的斜率k=f′(x0)；若不是，则应先设出切点(a,b)，此时切线的斜率k=f′(a)而本题中的点(－1,0)显然不在该抛物线上，故切线斜率k≠f′(－1)=－1
【正解】 ∵y=(－1)2+(－1)+1=1≠0，∴点(－1,0)不在该抛物线上
设切点为(a,b)，则切线斜率为k=2a+1，切线方程为y－b=(2a+1)(x－a)
切点(a,b)在抛物线上，即b=a2+a+1 ①
又因为切线过点(－1,0)，即0－b=(2a+1)(－1－a) ②
解①与②组成的方程组得a=0b=1 或a=－2b=3，
所求的切线方程为x－y+1=0或3x+y+3=0
温馨提示：求曲线的切线方程时应区分“在点(x0,y0)处的切线和“过(x0,y0)的切线的区别“在点(x0,y0)处的切线意味着点(x0,y0)是切点；“过(x0,y0)的切线是指点(x0,y0)是切线上的某一点，但未必是切点求切线方程时，必先明确切点，由切点坐标求切线斜率，这是导数的几何意义之根本
五、函数应用题中的典型错误
典型错误十 忽视从实际出发确定函数的定义域致错
【例10】 某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价
【错解】 （1）污水处理池的长为x米，则宽为200x米，总造价
y=400(2x+2×200x)+248×200x×2+80×200
=800(x+324x)+16000(0 （2）y=800(x+324x)+16000≥800•2324+16000=44800，
当且仅当x=324x，即x=324=18时取到最小值
∴最低造价为44800元
【剖析】 上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域0 【正解】 （1）y=800(x+324x)+16000,∵200x≤16,∴x≥12，则定义域为［12,16］
（2）长和宽分别为16米，12米时，总造价最低且为4000元
典型错误十一 由于对实际问题理解不全面而致错
【例11】 在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长假定车身长为l（单位：m），且当车速为0(km/小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？
(车流量=车速车距+车身长)
【错解】 d=kv2l，将v=0,d=l代入得k=1200，∴d=1200v2l，又将d=12l代入得v=22，由题意得d=1200v2l(v≥22)，
将Q=1000vd+l=1000vl(1+v2200)(v≥22)，
∵1000l(1v+v200)≤1000l•21v•v200=2000l
∴当且仅当v=0时,Qmax=2000l
综上所知：v=0(km/h)时,车流量Q取取最大值
【剖析】 上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即车速若低于22(km/h)，车距为半个车身长所以在求解过程中应分两种情况分类求解，得到分段函数
【正解】 依题意，得d=12l (v≤22)1200v2l (v>22)，
则Q=1000vd+l
=1000v3l2(v≤22)1000vl(1+v2200)(v>22)，
显然，当v≤22时，Q是v的增函数，
∴v=22时，Qmax=1000v32l=000023l，
当v>22时，
∵1000l(1v+v200)≤1000l•21v•v200=2000l，
当且仅当v=0时，Qmax=2000l，
综上所述，当v=0(km/h)时车流量Q取到最大值
典型错误十二 结果与事实不符而致错
【例12】 WAP手机上网每月使用量在00分钟以下（包括00分钟），按30元计费；超过00分钟的部分按01元/分钟计费假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0元/分钟计费WAP手机上网不收通话费和漫游费
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
【错解】 (1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
y=0,000
（2）当x=20×60=1200分钟，x>00，应付y=01×1200=180元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过00分钟，由解析式可得上网时间为600分钟
【剖析】此题错解主要是对“超过00分钟的部分按01元/分钟计费中的“超过部分理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用00分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而上网时间才多了100分钟，与事实不符
【正解】 （1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
y=0,000
（2）当x=20×60=1200分钟，x>00，应付y=30+01(1200－00)=13元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过00分钟，由解析式可得上网时间为900分钟．
（作者：严循跃，江苏省如皋中学)
一、关于函数值域的典型错误
典型错误一 忽视隐含条件，导致结果错误
【例1】 求函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域．
【错解】 （用判别式法）将原函数变形得：(y－1)x2+(y－4)x－3(2y+1)=0 ①
当y=1时，①式化为－3x=9,有解x=-3；
当y≠1时，∵①式中x∈R，∴Δ=(y－4)2+4×3(y－1)(2y+1)≥0，
即：2y2－20y+4≥0，解这个不等式得y∈R
综上：原函数值域为：y∈R．
【正解】 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围．
事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x－6≠0即x≠2且x≠－3,在此前提下，原函数可化为：y=(x+1)(x+3)(x-2)(x+3)=x+1x-2，(y－1)x=2y+1 ()
当y=1时，方程（）无解；
当y≠1时，x=2y+1y-1,
∴2y+1y-1≠-3且
2y+1y-1≠2，
解得y≠2
∴原函数值域为：y∈(－∞,2)∪(2,1)∪(1,+∞)．
二、关于函数奇偶性的典型错误
典型错误二 忽视定义域的对称性，导致结果错误
【例2】 判断函数f(x)=(x－1)1+x1－x的奇偶性．
【错解】 由1+x1－x≥0，得定义域［－1,1)，所以f(x)=－(1－x)(1+x)=－1－x2，从而f(－x)=f(x)．所以函数f(x)=(x－1)1+x1－x为偶函数．
【正解】 因函数f(x)=(x－1)1+x1－x的定义域［－1,1)是不关于原点对称的，所以它为非奇非偶函数．
一般来说，判断函数的奇偶性的步骤是：①确定函数定义域（若定义域关于原点对称，则有可能具有奇偶性，否则不具有奇偶性）；②化简函数关系式；③求f(－x)的关系式，并与f(x)比较，若f(－x)=f(x)（或f(－x)=－f(x) ），那么f(x)是定义域上的偶函数（或奇函数）．
典型错误三 忽视奇偶性定义的本质，导致结果错误
【例3】 判断函数f(x)=x2，x<0x3，x≥0 的奇偶性．
【错解】 ∵当x<0时，f(－x)=(－x)2=f(x)；当x≥0时，f(－x)=(－x)3=－f(x)，
∴当x<0时，函数f(x)是偶函数．当x≥0时，函数f(x)是奇函数．
事实上：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当x<0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数这种说法本身就是错误的．
【正解】 当x<0时，－x>0，f(－x)=(－x)3≠x2=f(x)；
当x≥0时，－x≤0，f(－x)=(－x)2≠－x3=－f(x)．
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
典型错误四 对函数本质认识不透，导致结果错误
【例4】 已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时对应的解析式是f(x)=x2－2x+3，则，f(x)=______。
【错解】 f(x)=x2－2x+3,x>0－x2－2x－3,x<0
事实上：奇函数的定义域为R，在x=0处有意义，还应求出此处的解析式
【正解】 ①因为f(x)为奇函数且在x=0处有意义，所以f(0)=0
②当x<0时，－x>0，所以f(－x)=(－x)2－2(－x)+3=x2+2x+3=－f(x)
∴f(x)=－x2－2x－3
综上可知，所求函数的解析式为f(x)=x2－2x+3,x>00,x=0－x2－2x－3,x<0
温馨提示：当题目中出现奇函数、偶函数时，应首先想到函数的定义域关于原点对称，在解题时往往忽略另一部分，尤其是奇函数在x=0处有意义常常忽略定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要条件
典型错误五 对式子变形不准确，导致结果错误
【例】 判定函数f(x)=x(1ax－1+12)(a>0)的奇偶性．
【错解】 因为f(x)的定义域是A={x|x∈R,x≠0}，
又f(－x)=－x(1a－x－1+12)=x(11－a－x－12)，所以f(－x)≠±f(x)，故f(x)是非奇非偶函数．
【正解】 因为f(x)的定义域是A={x|x∈R,x≠0}，关于原点对称．
又f(－x)=－x(1a－x－1+12)
=x(11－a－x－12)
=x(axax－1－12)=x(ax－1+1ax－1－12)
=x(1ax－1+12)=f(x)．
所以f(x)是偶函数．
【剖析】 出错的原因是由于没有掌握变形技巧，致使变形不恰当而造成判断失误．一般的判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性不强，没有固定的变形方法，对自己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形中出了问题或变形不恰当，尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此．
三、关于函数单调性的典型错误
典型错误六 函数单调性理解不准，导致结果错误
【例6】已知函数f(x)=ax(x<0)(a－3)x+4a(x≥0) 满足任意x1≠x2，都有
f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立，则实数a的取值范围是______。
【错解】 0
综上可知，0
【正解】 要使得函数在定义域上是减函数，必须满足0
典型错误七 对函数单调的充要条件理解不全面，导致结果错误
【例7】 已知函数f(x)=x3+ax2+3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围
【错解】 ∵函数f(x)=x3+ax2+3x－1(a>0)在R上为增函数，
故f′(x)=3x2+2ax+3>0在R上恒成立；
由Δ=4a2－36<0,∴a2<9,∴0
本题中f(x)在其定义域内为增函数应满足f′(x)≥0且f′(x)不恒等于0；∴应改为f′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，由Δ=4a2－36≤0,
∴a2≤9,∴0
四、导数应用中的典型错误
典型错误八 未注意函数存在极值的充分条件（极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得）
【例8】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求a,b的值．
【错解】 f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可知：
f′(1)=0f(1)=10 即：2a+b+3=0a2+a+b+1=10,∴a=4b=－11 或 a=－3b=3
【剖析】 对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点函数y=f(x)在x=x0处取极值的充要条件应为：（1）f′(x0)=0，（2）在x=x0左右两侧的导数值的符号相反
本题只是满足了（1），对于（2）我们必须进行验证：当a=－3,b=3时，f′(x)=3x2－6x+3=3(x－1)2，易知在x=1的左右两侧都有f′(x)>0，即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x=1处并不存在极值．
故本题正确答案应为a=4b=－11
典型错误九 注意已知定点是否为切点(正确区分关键词过和在)
【例9】 过点(－1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为______。
【错解】 记f(x)=x2+x+1，则f′(－1)=－1，切线方程为y－0=－1×［x－(－1)］，
即x+y+1=0
【剖析】 利用导数的几何意义求曲线的切线时应先确定给定的点(x0,y0)是否为曲线上的点若是，则切线的斜率k=f′(x0)；若不是，则应先设出切点(a,b)，此时切线的斜率k=f′(a)而本题中的点(－1,0)显然不在该抛物线上，故切线斜率k≠f′(－1)=－1
【正解】 ∵y=(－1)2+(－1)+1=1≠0，∴点(－1,0)不在该抛物线上
设切点为(a,b)，则切线斜率为k=2a+1，切线方程为y－b=(2a+1)(x－a)
切点(a,b)在抛物线上，即b=a2+a+1 ①
又因为切线过点(－1,0)，即0－b=(2a+1)(－1－a) ②
解①与②组成的方程组得a=0b=1 或a=－2b=3，
所求的切线方程为x－y+1=0或3x+y+3=0
温馨提示：求曲线的切线方程时应区分“在点(x0,y0)处的切线和“过(x0,y0)的切线的区别“在点(x0,y0)处的切线意味着点(x0,y0)是切点；“过(x0,y0)的切线是指点(x0,y0)是切线上的某一点，但未必是切点求切线方程时，必先明确切点，由切点坐标求切线斜率，这是导数的几何意义之根本
五、函数应用题中的典型错误
典型错误十 忽视从实际出发确定函数的定义域致错
【例10】 某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价
【错解】 （1）污水处理池的长为x米，则宽为200x米，总造价
y=400(2x+2×200x)+248×200x×2+80×200
=800(x+324x)+16000(0
当且仅当x=324x，即x=324=18时取到最小值
∴最低造价为44800元
【剖析】 上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域0
（2）长和宽分别为16米，12米时，总造价最低且为4000元
典型错误十一 由于对实际问题理解不全面而致错
【例11】 在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长假定车身长为l（单位：m），且当车速为0(km/小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？
(车流量=车速车距+车身长)
【错解】 d=kv2l，将v=0,d=l代入得k=1200，∴d=1200v2l，又将d=12l代入得v=22，由题意得d=1200v2l(v≥22)，
将Q=1000vd+l=1000vl(1+v2200)(v≥22)，
∵1000l(1v+v200)≤1000l•21v•v200=2000l
∴当且仅当v=0时,Qmax=2000l
综上所知：v=0(km/h)时,车流量Q取取最大值
【剖析】 上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即车速若低于22(km/h)，车距为半个车身长所以在求解过程中应分两种情况分类求解，得到分段函数
【正解】 依题意，得d=12l (v≤22)1200v2l (v>22)，
则Q=1000vd+l
=1000v3l2(v≤22)1000vl(1+v2200)(v>22)，
显然，当v≤22时，Q是v的增函数，
∴v=22时，Qmax=1000v32l=000023l，
当v>22时，
∵1000l(1v+v200)≤1000l•21v•v200=2000l，
当且仅当v=0时，Qmax=2000l，
综上所述，当v=0(km/h)时车流量Q取到最大值
典型错误十二 结果与事实不符而致错
【例12】 WAP手机上网每月使用量在00分钟以下（包括00分钟），按30元计费；超过00分钟的部分按01元/分钟计费假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0元/分钟计费WAP手机上网不收通话费和漫游费
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
【错解】 (1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
y=0,0
（2）当x=20×60=1200分钟，x>00，应付y=01×1200=180元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过00分钟，由解析式可得上网时间为600分钟
【剖析】此题错解主要是对“超过00分钟的部分按01元/分钟计费中的“超过部分理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用00分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而上网时间才多了100分钟，与事实不符
【正解】 （1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
y=0,0
（2）当x=20×60=1200分钟，x>00，应付y=30+01(1200－00)=13元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过00分钟，由解析式可得上网时间为900分钟．
（作者：严循跃，江苏省如皋中学)