这里指的探究式教学是在教学过程中在教师的启发与诱导下,以学生独立学习和合作讨论为前提,以现行数学教材内容为素材,以学生周围世界与生活实际为参照背景的数学问题,又为学生提供质疑、探索讨论问题的机会。让学生独立思考与合作探究等多种解惑或释疑的尝试活动,将所学知识应用于解决数学问题的一种教学形式。其目的是让学生在获取知识的过程中体验数学家探究数学问题的思想和方法。它是教师与学生之间开展的一种摸拟式的研究活动,因此就需要教师创设以数学问题为中心的探求与交往的数学课堂环境,让学生通过发现,猜想,归纳的方法来探索解决数学问题。所以教师应根据教材结构特点,结合学生认知规律,找准切入点,设计出难易适中,典型性强,具有启发性,探索性,开放性,挑战性和诱惑力的问题贯串课堂始终。
　　1. 以有趣情境诱导学生探究 这种教学模式是教师把生活实际或教材中有趣的数学展示给学生,诱惑学生参与,让学生在探求中密切数学与周围世界的联系,使学生在追溯问题的过程中逐步形成数学结论。它的教学结构是:展示有趣情境→诱发探索兴趣→独立与协作→归纳与总结→形成数学结论。例如笔者在等比数列求和公式这节教学中是这样设计:
　　1.1 多媒体展示(教科书人教版第一册(上)105页) 。国际象棋盘上有8行8列,共有64个格子,它起源于古代印度,国际象棋还有这样一个故亊,国王要奖赏国际象棋的发明者,问它有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子放1颗麦粒,第2个格子放2颗麦粒,依此类推,每个格子放的麦粒是前一个格子麦粒数的2倍,直到第64个格子,请国王给我足够的粮食实现上述要求。”请同学们观察每个格子放的麦粒数构成什么数列?请算一算国王能实现象棋大师的要求吗?
　　1.2 诱导学生参与探索。引导学生观察数列,发现1,2,22,23……263是一个等比数列。要得出麦粒的总数应该求数列的和S64= 1+2+22+23+……+263;但怎样求这个和呢?教师与学生在交流讨论中,再引导学生构造2S64= 2+22+23+……+263 +264(点拨:和式乘公比2就构造出错位和式)然后引导学生作差S64= 2S64-S64=264-1,教师再点拨:“这个数字很大,超过1.84×1019粒,假定千粒麦子的质量为40克,那总质量就大于7000亿吨。”这结果能给学生显示象棋大师的智慧,又激励学生学好数学热情。
　　1.3 形成数学结论:由这有趣的故亊诱导,可激励学生追溯问题的兴趣,在追溯问题的过程中,再诱导学生对一般等比数列前n项和的探求(具体过程略),从而形成等比数列的前n项和公式的数学结论。
　　2. 以问题情境诱惑学生追溯、猜想、辨别真伪的探究 这种教学模式是教师在教学中不能把现成的知识灌输给学生,而是把精心设计的问题链,一个一个展现,激发学生在探求中,追溯问题的欲望。其教学结构是:创设情境→追溯问题→猜想结论→判定真伪。下面是在高三复习中由一道习题诱发探求的教学片断:
　　2.1 创设情境。我把人教版高二(上)第 83 页例2改变为如下题:(先留给学生课余做)
　　已知P(x0,y0),探求圆0:x2+y2=r2与直线l: x0x+y0y=r2的位置关系?
　　2.2 追溯问题,提出猜想。
　　(师)昨天布置的课外题同学们完成了吗?(片该)
　　(生1)完成了!我是这样做的:P点不一定在圆上,因而分三种情况讨论;由圆心到直线距离d=r2x2+y2;若P在圆内x02+y02r得相离; 若P在圆外x02+y02>rd　　(师)(生1)完成了该题的解答并且得到过圆上一点切线方程的结论,下面请同学们猜想,若P点在(x-a)2+(y-b)2=r2上的切线方程?(片刻)
　　(生2)老师!我们也猜想过了,结论是;(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,并且用圆心到直线距离等于半径获得证明(学生都赞同),现在我们又有新的猜想:若P点分别在椭圆x2a2+y2b2=1、双曲线x2a2-y2b2=1、抛物线y2=2Px上,则以P为切点的切线方程分别是否为x0xa2+y0yb2=1、x0xa2-y0yb2=1、y0y=2Px 呢?但经过多次争论,目前求切线的斜率是我们的困惑,因为用解析几何的方法感觉行不通,用导数法,但求方程的导数又不会?(学生露出期待的目光)
　　2.3 引导探求,判定真伪:教师顺应学生作思维点拨:需然求方程的导数不会,但想一想能否将方程转化为函数,利用函数的导数求斜率呢?(但学生对此方法还是迷茫)
　　(引导探究)由x2a2+y2b2=1解得y=±b1-x2a2作分类讨论,当y>0y=b1-x2a2求导得y'=-b2xa2y,由y0>0,得切线斜率k=-b2x0a2y0,切线方程为y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)化简得所求椭圆的切线方程x0xa2+y0yb2=1;当y<0y=-b1-x2a2求导得y'=-b2xa2y;由y0<0,从而得切线斜率k=-bx0a2y0,得y-y0=-b2x0a2y0(x-x0),化简得所求椭圆的切线方程x0xa2+y0yb2=1;当y0=0得P(±a,0)代入x0xa2+y0yb2=1得切线方程x=±a满足条件;此时学生恍然大悟,最终认定椭圆切线方程的猜想是正确的。(由于学生领悟这种求切线斜率的方法,对双曲线的切线方程的猜想很快得出证明。但又有部分学生还在小声争论抛物线的切线问题,为了让学生暴露问题,就让学生充分展示自已的探求结果)
　　(生3)老师!我探求抛物线的切线结果与(生2)的猜想不一致?(生3展示)理由是: y2=2Pxy=±2Px;当y=2Px, 求导得y'0=P2Px0由此得切线斜率k=P2Px0=Py0;同理当y0<0切线斜率k=P-2Px0=Py0;∴当y0≠0切线方程以y-y0=Py0(x-x0): 化简得y0y=P(x+x0);当y=0时也满足;对(生3)的推理,全班学生又在争论,最终判定(生2)猜想是错误,(生3)的结论为正确时,学生们露出成功的喜悦!
　　3. 以一题多变、一题多解扩展学生思维变异和多角度的创新探究 这种教学模式是教师与学生在互动过程中,由一个题目为研究起点,再改变题目的题设或结论,产生新的数学问题。从而有意识引导学生对数学问题进行多角度,多方位的探究,让学生亲历从“变”的现象中发现“不变”的本质,又从“不变”的本质中探索“变”的规律。这种探究式教学能培养学生主动提出问题、研究问题的意识,能优化学生的探求思维,能增强学生探究数学问题的创新。其教学结构是:由一题的探究→创设新情景→变为多个问题或多个角度的探究。
　　例如: 已知椭圆x2a2+y2b2 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且M在椭圆上;变①:若|F1M|+|F2M|=10,|F1F2|=6,求椭圆方程?变②:若∠MF1F2 =75°,求椭圆离心率e?;变③:若满足MF1⊥MF2,求椭圆离心率e的范围?这样将一个问题变多个问题的纵横拓宽,引导学生步步递进的探索,不但培养学生思维的变异与发散,而且还培养学生参与多角度,多方位探求数学问题的创新能力;一题多解也是培养、提高学生从多个角度解决同一问题的创新探求;以下是引导学生在探求上述变③的过程中,学生从多个角度展示的解法。
　　方法1:设点M(x0,y0),由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,
　　∴ (a+ex0)2+(a-ex0)2=4c2
　　解得x02=2c2-a2e2,
　　又∵0≤x02　　∴22≤e<1(利用焦半径与勾股定理)
　　方法2:设M(acosα,bsinβ)由条件得a2cos2β-c2+(a2-c2)sin2β=0
　　从而得e2=c2-a2=1sin2β+1≥12,
　　∴e ∈[22,1) (利用椭圆的参数方程的角度)
　　方法3:设∠MF1F2=α,则∠MF2F1=π2-α,α∈(0,π2)
　　∴ |F1F2|=|MF1|sinα=|MF2|cosα=|MF1|+|MF2|sinα+cosα=2αsinα+cosα
　　∴e=12sin(α+π4)∈[22,1)(正弦定理及比例性质的角度)
　　方法4:∵M在椭圆上且MF1⊥MF2
　　∴以原点O为圆心, c为半径的圆必与椭圆相交(但交点不能是长轴的端点),即b≤c　　上述是学生通过质疑、判断、比较、分析、综合、概括等认知过程的探求,以多角度的创新思维,展现多样化的创新解法。总之,随着课改的不断推进,同仁们在数学教学实践中达成了这样的共识:理想的课堂是师生互动的动态课堂,为了取得教学过程、知识的形成发展过程、学生思维过程同步协调的理想动态效果,离不开灵活多样的教学方法、教学手段的配合,还要适当采用动手实践、自主探索、合作交流、质疑追溯等教学方式,充分发挥学生主体参与,激励学生主动探索,从而实施探究式的数学教学。
　　
　　收稿日期:2010-02-26