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摘 要：本文根据我国上海证券交易所综合指数在过去7年中的高频数据序列，分析在6种时间标度（1分钟至60分钟）下收益的概率分布，发现具有明显的尖峰和胖尾特征；收益概率分布具有对称性，利维稳定分布能很好地描绘中间部分的变化规律，利维指数为1．26；其渐近行为具有幂律特性，特征指数为2．86 (1分钟序列)，超出了利维稳定分布的范围。结果表明，上证综指收益概率分布具有明显的非线性分形特性，这对分析我国股票市场变化的动力学规律、风险管理和衍生产品定价具有指导意义。
关键词：经济物理学；上海证券市场；概率分布；利维分布
中图分类号：F830．91文献标识码：A
文章编号：1000-176X(2008)09-0085-04
一、引 言
越来越多的研究表明，金融市场（如证券市场、汇率市场）是复杂的非线性动力学系统，人们开始用新的视角来审视金融市场的一些变化特征及规律，从而在20世纪80年代初出现了经济物理学（econophysics）这一新的交叉学科[1]。它将物理学的知识、方法应用于经济领域，尤其是金融市场，如将物理学在研究复杂系统时常用的混沌理论和分形几何学应用于证券市场波动特性的研究[2-5]，将统计物理学和相变理论应用于证券市场突变（stock market crashes）特征的研究[6]，将随机矩阵理论（random matrix theory）应用于股票收益的相关矩阵分析[7-9]。通过研究，人们发现股票市场是一个复杂的非线性系统，具有分形特性；股票市场收益的概率分布并不完全遵循通常所认为的正态分布，在一定时间标度或称时间间隔内呈现尖峰瘦态（leptokrutic）和胖尾（fat-tail）分布，具有幂律（power-law）特征的标度行为（scaling behaviour）。例如，通过对美国标准普尔500指数的分析，发现收益的概率分布在三个数量级内（1分钟至1 000分钟）具有标度不变性，分布曲线的中间段遵循利维稳定分布（利维特性指数为1．4），两翼（大于6个标准差）服从指数分布[10]；通过对美国道•琼斯工业平均指数（DJIA）和挪威奥斯陆（Oslo）证券交易指数（TOTX）的统计分析，发现收益概率分布具有明显的尖峰和胖尾特征，遵循截尾利维分布，后者的利维特性指数为1．64[3]；通过对巴西圣保罗证券交易指数的统计分析，收益的概率分布也呈现尖峰和胖尾，而且其累积概率分布的渐近行为服从指数分布，Pcum（z）~e-λz（λ≈1．7）[14]；文献
详细地分析了标准普尔500指数在过去13年中的1分钟数据序列，发现收益的累积概率分布呈幂律渐近行为，Pcum（x）~x-α（α≈3），并在四个数量级范围内保持标度不变性。这些研究结果对分析股票市场波动特性、研究股价变动的动力学规律提供了实证基础，对预测金融风险具有重要的指导意义。
相比之下，由于我国股票市场建立比较迟，其变化的特征和规律有待逐步研究。一些学者对我国股票市场的相关性问题、有效性问题、标度行为和分形特性等进行了研究，但对收益的概率分布还暂无全面、成熟的研究。随着对股票市场各种数据记录技术的提高，获取各种高频数据已成为可能。我国自1990年和1991年分别在上海和深圳建立证券市场以来，经历了1993年的“T+0”交收制度和1995年的“T+1”交收制度，1996年12月16日起又实行了10%涨跌停板制度。为了尽量去除这些制度因素对股票市场的影响，我们选取1998年开始的上海证券交易所综合指数（上证综指）在6种不同时间标度的收盘指数序列作为研究样本，借鉴R．N．Mantegna和H．E．Stanley提出的方法[10]，分析收益序列概率分布的统计特性，为进一步研究我国股票市场变化的动力学规律和精细结构提供实证分析基础。
二、理论背景
对于对称的利维稳定分布（Lévy stable distribution）L（x），其傅立叶变换（Fourier Transforms），即特征函数（characteristic function）为：
利维稳定分布和正态分布都具有对称性，但两者的主要区别是前者呈现尖峰瘦态和胖尾特征。利维稳定分布的重要特征之一是自相似性，也就是说，当我们将不同时间标度标准化后，不同时间标度的分布曲线将趋于重合。根据Mantegna和Stanley提出的方法，对于不同的时间标度Δt，当我们按Zs≡ZΔt（Δt）1/α进行标准化后，（3）式变为：
这表明，不同时间标度的分布标准化后将与Δt=1时的分布重合。如果实证中能实现这一目标，则说明收益的概率分布遵循利维稳定分布。
三、实证分析
我们将上证综指在1998年5月4日至2005年6月1日7年间6种时间标度的连续不重复的收盘指数序列作为研究样本。这6种时间标度依次为1分钟、5分钟、10分钟、20分钟、40分钟和60分钟，其中1分钟的数据量达40多万个。数据来源于深圳天软科技开发有限公司，所有程序都采用Matlab编写。
1．收益的概率分布
根据有效市场假设（EMH），收益的概率分布服从正态分布，但实证研究表明，许多国家或地区的股票市场的交易指数的收益时间序列，无论是差分收益，如挪威奥斯陆股票交易所的OBX指数、美国标准普尔500指数[10]，还是（7）式定义的对数差分收益，
收益的概率分布均呈现尖峰瘦态和胖尾特征。
通过对我国上海综指收益的概率分布的统计分析，发现也存在偏离正态分布的尖峰瘦态特征。以上证综指1分钟收盘指数收益序列的概率分布为例，与同方差的正态分布相比，具有明显的尖峰瘦态形状和胖尾特征（如图1所示）。由此可以说明，我国上证综指的收益概率分布也呈现明显的尖峰瘦态和胖尾特征，变化规律遵循非线性动力学过程。可见，无论是成熟的股票市场，还是新兴的股票市场，收益的概率分布都具有尖峰瘦态和胖尾特征，可以说是股票市场的共性。
进一步研究，我们发现在收益概率分布曲线的中间段（如图2所示），概率与收益呈幂律关系，P（Z）∝Z-β，特征指数β为2．86。这一结果超出了利维稳定分布的范围（0＜β≤2），与美国标准普尔500指数每分钟数据的研究结果相近，表明分布的方差或二阶矩（the second moment）是有限的。这对风险管理和衍生产品的定价是非常重要的。
图3是上证综指收益序列在不同时间标度下的累积概率分布曲线，可以发现它们具有明显的一致性。其中，时间标度为1分钟和60分钟时的累积概率分布曲线的幂律特征指数分别为2．31和2．71，同样超出了利维稳定分布的范围。
图3反映了不同时间标度累积概率分布曲线之间的一致性。为了进一步考察它们之间的关系，我们描绘了不同时间标度收益的概率分布的半对数曲线（如图4所示）。我们发现，分布几乎是对称的，且随着时间标度的增大，分布逐渐扩散。
3．利维指数α值的计算
为了确定利维指数α的大小，我们采用Mantegna和Stanley提出的方法进行计算。
首先，计算收益Z（Δt）=0时的概率P［Z（Δt）=0]，如表1所示。
其次，用最小二乘法拟合lgP［Z（Δt）=0］随lg（Δt）变化的曲线，发现拟合曲线为直线，表明P（Z=0）与Δt之间具有明显的幂律关系，P∝（Δt）-α。
最后，计算直线的斜率。上述拟合直线的斜率为λ-0．794±0．024，不同于正态分布时的斜率-0．5。美国S&P500指数的拟合直线的斜率为-0．712±0．025[10]，与上证综指的结果很接近。
根据λ和α的关系α=-1/λ[10]，我们得知，上证综指收益概率分布的利维指数为α=1．26，小于2，说明不具有正态分布的特性。
4．标准化后的概率分布曲线
当将收益值标准化后，概率分布曲线如图5所示，6条曲线几乎重叠在一起，尤其是在中间区域。由此，我们可以得出结论，利维稳定分布能较好地描绘收益概率分布的动力学规律。
图6是时间标度为1分钟时，上证综指收益概率分布实证曲线与利维稳定分布和正态分布的比较。可以明显发现，利维稳定分布很好地描绘了收益概率分布的中间部分。但在两翼其下降速度比利维稳定分布快，比正态分布慢。这说明大波动事件出现的概率比正态分布预测的多得多。
四、简单结论
由于股票市场的收益直接与投资者的利益有关，因此对股票市场收益分布特性的研究具有重要意义。高频数据更能反映股票市场动态演变的微观机理和精细结构。虽然我国股票市场详细记录高频数据的时间还比较短，但通过本文对我国上证综指高频数据的初步实证分析，我们可以得出以下几点结论：
第一，收益概率分布不服从正态分布，而是呈现尖峰胖尾分布。因此，基于正态分布理论对股票市场收益概率分布的预测是不准确的，更为重要的是，这将动摇金融市场理论的基础。
第二，利维稳定分布能较好地描绘股票市场收益概率分布的中间区域，而其渐近行为则遵循幂律分布。这表明我国上证综指收益的概率分布与国外股票市场收益的概率分布具有相似的特性，都可以用利维稳定分布和幂律分布的组合来描述，而且特征指数非常接近。
第三，标度不变性与长程幂律相关是一致的，是分形市场的重要特征之一。为此，人们提出了分形市场理论，以表示对有效市场理论的置疑。这对股票市场的风险管理和风险预测具有重要的指导意义。
第四，不同国家、不同地区的股票市场具有的这些共性表明股票市场存在某种相似的内部结构或变化机理，就像不同类型的系统在临界状态时表现出来的共性和具有普适的特征指数一样，人们通过对大量临界实验事实的研究，提出了重整化群理论，为解释实验事实提供了理论支撑。相信随着对股票市场的深入研究，人们必将找到能解释变化规律的理论基础。
参考文献：
［1］ R．N．Mantegna，H．E．Stanley．An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance［M］．Cambridge University Press，2000．
［2］ 埃德加•E•彼得斯．分形市场分析——将混沌理论应用到投资与经济理论上［M］．储海林，殷勤译，北京：经济科学出版社，2002．
［3］ Johannes A．Skjeltorp，Scaling in the Norwegian Stock Market［J］．Physica A，2000，（283）：486．
［4］ Xia Sun，Huiping Chen，Ziqin Wu，Yongzhuang Yuan．Multifractal Analysis of Hang Seng Index in Hong Kong Stock Market［J］．Physica A，2001，（291）：553-562．
［5］ Ding-Shun Ho，Chung-Kung Lee，et al．Scaling Characteristics in the Taiwan Stock Market［J］．Physica A，2004，（332）：448-460．
［6］ Didier Sornette，Anders Johansen．Large Financial Crashes［J］．Physica A，1997，（245）：411-422．
［7］ Laurent Laloux，Pierre Cizeau，et al．Noise Dressing of Financial Correlation Matrices［J］．Physical Review Letters，83（7）：1467-1470．
［8］ Vasiliki Plerou，Parameswaran Gopikrishnan，et al．Econophysics:Financial Time Series from
a Statistical Physics Point of View［J］．Physica A，2000，（279）：443-456．
［9］ Vasiliki Plerou，Parameswaran Gopikrishnan，et al．Random Matrix Approach to Cross Correlations in Financial Data［J］．Physical Review E，（65）．
［10］ R．N．Mantegna，H．E．Stanley．Scaling Behaviour in the Dynamics of an Economic Index［J］．Nature，1995，(376)：46-49．
［11］ 简•菲利普•鲍查德，马克•波特．金融风险理论——从统计物理到风险管理［M］．周为群译，北京：经济科学出版社，2002．12．
［12］ 王惠芳．上市公司管理层讨论与分析信息报露实证研究［J］．云南财经大学学报，2006，（2）．
［12］ Parameswaran Gopikrishnan，Vasiliki Plerou，et al．Scaling of the Distribution on Fluctuations of Financial Market Indices［J］．Physical Review E，1999，60（5）：5305-5316．
［13］ L．Couto Miranda，R．Riera．Truncated Lévy walks and an Emerging Market Economic Index［J］．Physica A，297（2001）：509-520．
［14］ L．Kullmann，J．Tóyli，et al．Characteristic Times in Stock Market Indices［J］．Physica A，1999（269）：98-110．
［15］ Zoltán Palági，Rosario N．Mantegna．Empirical Investigation of Stock Price Dynamics in an Emerging Market［J］．Physica A，1999（269）：132-139．
［15］ Iram Gleria．Scaling power laws in the Sao Paulo Stock Exchange［J］．Economics Bulletin，Vol．7，No．3，2002：1-12．
（责任编辑：韩淑丽）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：经济物理学；上海证券市场；概率分布；利维分布
中图分类号：F830．91文献标识码：A
文章编号：1000-176X(2008)09-0085-04
一、引 言
越来越多的研究表明，金融市场（如证券市场、汇率市场）是复杂的非线性动力学系统，人们开始用新的视角来审视金融市场的一些变化特征及规律，从而在20世纪80年代初出现了经济物理学（econophysics）这一新的交叉学科[1]。它将物理学的知识、方法应用于经济领域，尤其是金融市场，如将物理学在研究复杂系统时常用的混沌理论和分形几何学应用于证券市场波动特性的研究[2-5]，将统计物理学和相变理论应用于证券市场突变（stock market crashes）特征的研究[6]，将随机矩阵理论（random matrix theory）应用于股票收益的相关矩阵分析[7-9]。通过研究，人们发现股票市场是一个复杂的非线性系统，具有分形特性；股票市场收益的概率分布并不完全遵循通常所认为的正态分布，在一定时间标度或称时间间隔内呈现尖峰瘦态（leptokrutic）和胖尾（fat-tail）分布，具有幂律（power-law）特征的标度行为（scaling behaviour）。例如，通过对美国标准普尔500指数的分析，发现收益的概率分布在三个数量级内（1分钟至1 000分钟）具有标度不变性，分布曲线的中间段遵循利维稳定分布（利维特性指数为1．4），两翼（大于6个标准差）服从指数分布[10]；通过对美国道•琼斯工业平均指数（DJIA）和挪威奥斯陆（Oslo）证券交易指数（TOTX）的统计分析，发现收益概率分布具有明显的尖峰和胖尾特征，遵循截尾利维分布，后者的利维特性指数为1．64[3]；通过对巴西圣保罗证券交易指数的统计分析，收益的概率分布也呈现尖峰和胖尾，而且其累积概率分布的渐近行为服从指数分布，Pcum（z）~e-λz（λ≈1．7）[14]；文献
详细地分析了标准普尔500指数在过去13年中的1分钟数据序列，发现收益的累积概率分布呈幂律渐近行为，Pcum（x）~x-α（α≈3），并在四个数量级范围内保持标度不变性。这些研究结果对分析股票市场波动特性、研究股价变动的动力学规律提供了实证基础，对预测金融风险具有重要的指导意义。
相比之下，由于我国股票市场建立比较迟，其变化的特征和规律有待逐步研究。一些学者对我国股票市场的相关性问题、有效性问题、标度行为和分形特性等进行了研究，但对收益的概率分布还暂无全面、成熟的研究。随着对股票市场各种数据记录技术的提高，获取各种高频数据已成为可能。我国自1990年和1991年分别在上海和深圳建立证券市场以来，经历了1993年的“T+0”交收制度和1995年的“T+1”交收制度，1996年12月16日起又实行了10%涨跌停板制度。为了尽量去除这些制度因素对股票市场的影响，我们选取1998年开始的上海证券交易所综合指数（上证综指）在6种不同时间标度的收盘指数序列作为研究样本，借鉴R．N．Mantegna和H．E．Stanley提出的方法[10]，分析收益序列概率分布的统计特性，为进一步研究我国股票市场变化的动力学规律和精细结构提供实证分析基础。
二、理论背景
对于对称的利维稳定分布（Lévy stable distribution）L（x），其傅立叶变换（Fourier Transforms），即特征函数（characteristic function）为：
利维稳定分布和正态分布都具有对称性，但两者的主要区别是前者呈现尖峰瘦态和胖尾特征。利维稳定分布的重要特征之一是自相似性，也就是说，当我们将不同时间标度标准化后，不同时间标度的分布曲线将趋于重合。根据Mantegna和Stanley提出的方法，对于不同的时间标度Δt，当我们按Zs≡ZΔt（Δt）1/α进行标准化后，（3）式变为：
这表明，不同时间标度的分布标准化后将与Δt=1时的分布重合。如果实证中能实现这一目标，则说明收益的概率分布遵循利维稳定分布。
三、实证分析
我们将上证综指在1998年5月4日至2005年6月1日7年间6种时间标度的连续不重复的收盘指数序列作为研究样本。这6种时间标度依次为1分钟、5分钟、10分钟、20分钟、40分钟和60分钟，其中1分钟的数据量达40多万个。数据来源于深圳天软科技开发有限公司，所有程序都采用Matlab编写。
1．收益的概率分布
根据有效市场假设（EMH），收益的概率分布服从正态分布，但实证研究表明，许多国家或地区的股票市场的交易指数的收益时间序列，无论是差分收益，如挪威奥斯陆股票交易所的OBX指数、美国标准普尔500指数[10]，还是（7）式定义的对数差分收益，
收益的概率分布均呈现尖峰瘦态和胖尾特征。
通过对我国上海综指收益的概率分布的统计分析，发现也存在偏离正态分布的尖峰瘦态特征。以上证综指1分钟收盘指数收益序列的概率分布为例，与同方差的正态分布相比，具有明显的尖峰瘦态形状和胖尾特征（如图1所示）。由此可以说明，我国上证综指的收益概率分布也呈现明显的尖峰瘦态和胖尾特征，变化规律遵循非线性动力学过程。可见，无论是成熟的股票市场，还是新兴的股票市场，收益的概率分布都具有尖峰瘦态和胖尾特征，可以说是股票市场的共性。
进一步研究，我们发现在收益概率分布曲线的中间段（如图2所示），概率与收益呈幂律关系，P（Z）∝Z-β，特征指数β为2．86。这一结果超出了利维稳定分布的范围（0＜β≤2），与美国标准普尔500指数每分钟数据的研究结果相近，表明分布的方差或二阶矩（the second moment）是有限的。这对风险管理和衍生产品的定价是非常重要的。
图3是上证综指收益序列在不同时间标度下的累积概率分布曲线，可以发现它们具有明显的一致性。其中，时间标度为1分钟和60分钟时的累积概率分布曲线的幂律特征指数分别为2．31和2．71，同样超出了利维稳定分布的范围。
图3反映了不同时间标度累积概率分布曲线之间的一致性。为了进一步考察它们之间的关系，我们描绘了不同时间标度收益的概率分布的半对数曲线（如图4所示）。我们发现，分布几乎是对称的，且随着时间标度的增大，分布逐渐扩散。
3．利维指数α值的计算
为了确定利维指数α的大小，我们采用Mantegna和Stanley提出的方法进行计算。
首先，计算收益Z（Δt）=0时的概率P［Z（Δt）=0]，如表1所示。
其次，用最小二乘法拟合lgP［Z（Δt）=0］随lg（Δt）变化的曲线，发现拟合曲线为直线，表明P（Z=0）与Δt之间具有明显的幂律关系，P∝（Δt）-α。
最后，计算直线的斜率。上述拟合直线的斜率为λ-0．794±0．024，不同于正态分布时的斜率-0．5。美国S&P500指数的拟合直线的斜率为-0．712±0．025[10]，与上证综指的结果很接近。
根据λ和α的关系α=-1/λ[10]，我们得知，上证综指收益概率分布的利维指数为α=1．26，小于2，说明不具有正态分布的特性。
4．标准化后的概率分布曲线
当将收益值标准化后，概率分布曲线如图5所示，6条曲线几乎重叠在一起，尤其是在中间区域。由此，我们可以得出结论，利维稳定分布能较好地描绘收益概率分布的动力学规律。
图6是时间标度为1分钟时，上证综指收益概率分布实证曲线与利维稳定分布和正态分布的比较。可以明显发现，利维稳定分布很好地描绘了收益概率分布的中间部分。但在两翼其下降速度比利维稳定分布快，比正态分布慢。这说明大波动事件出现的概率比正态分布预测的多得多。
四、简单结论
由于股票市场的收益直接与投资者的利益有关，因此对股票市场收益分布特性的研究具有重要意义。高频数据更能反映股票市场动态演变的微观机理和精细结构。虽然我国股票市场详细记录高频数据的时间还比较短，但通过本文对我国上证综指高频数据的初步实证分析，我们可以得出以下几点结论：
第一，收益概率分布不服从正态分布，而是呈现尖峰胖尾分布。因此，基于正态分布理论对股票市场收益概率分布的预测是不准确的，更为重要的是，这将动摇金融市场理论的基础。
第二，利维稳定分布能较好地描绘股票市场收益概率分布的中间区域，而其渐近行为则遵循幂律分布。这表明我国上证综指收益的概率分布与国外股票市场收益的概率分布具有相似的特性，都可以用利维稳定分布和幂律分布的组合来描述，而且特征指数非常接近。
第三，标度不变性与长程幂律相关是一致的，是分形市场的重要特征之一。为此，人们提出了分形市场理论，以表示对有效市场理论的置疑。这对股票市场的风险管理和风险预测具有重要的指导意义。
第四，不同国家、不同地区的股票市场具有的这些共性表明股票市场存在某种相似的内部结构或变化机理，就像不同类型的系统在临界状态时表现出来的共性和具有普适的特征指数一样，人们通过对大量临界实验事实的研究，提出了重整化群理论，为解释实验事实提供了理论支撑。相信随着对股票市场的深入研究，人们必将找到能解释变化规律的理论基础。
参考文献：
［1］ R．N．Mantegna，H．E．Stanley．An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance［M］．Cambridge University Press，2000．
［2］ 埃德加•E•彼得斯．分形市场分析——将混沌理论应用到投资与经济理论上［M］．储海林，殷勤译，北京：经济科学出版社，2002．
［3］ Johannes A．Skjeltorp，Scaling in the Norwegian Stock Market［J］．Physica A，2000，（283）：486．
［4］ Xia Sun，Huiping Chen，Ziqin Wu，Yongzhuang Yuan．Multifractal Analysis of Hang Seng Index in Hong Kong Stock Market［J］．Physica A，2001，（291）：553-562．
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［6］ Didier Sornette，Anders Johansen．Large Financial Crashes［J］．Physica A，1997，（245）：411-422．
［7］ Laurent Laloux，Pierre Cizeau，et al．Noise Dressing of Financial Correlation Matrices［J］．Physical Review Letters，83（7）：1467-1470．
［8］ Vasiliki Plerou，Parameswaran Gopikrishnan，et al．Econophysics:Financial Time Series from
a Statistical Physics Point of View［J］．Physica A，2000，（279）：443-456．
［9］ Vasiliki Plerou，Parameswaran Gopikrishnan，et al．Random Matrix Approach to Cross Correlations in Financial Data［J］．Physical Review E，（65）．
［10］ R．N．Mantegna，H．E．Stanley．Scaling Behaviour in the Dynamics of an Economic Index［J］．Nature，1995，(376)：46-49．
［11］ 简•菲利普•鲍查德，马克•波特．金融风险理论——从统计物理到风险管理［M］．周为群译，北京：经济科学出版社，2002．12．
［12］ 王惠芳．上市公司管理层讨论与分析信息报露实证研究［J］．云南财经大学学报，2006，（2）．
［12］ Parameswaran Gopikrishnan，Vasiliki Plerou，et al．Scaling of the Distribution on Fluctuations of Financial Market Indices［J］．Physical Review E，1999，60（5）：5305-5316．
［13］ L．Couto Miranda，R．Riera．Truncated Lévy walks and an Emerging Market Economic Index［J］．Physica A，297（2001）：509-520．
［14］ L．Kullmann，J．Tóyli，et al．Characteristic Times in Stock Market Indices［J］．Physica A，1999（269）：98-110．
［15］ Zoltán Palági，Rosario N．Mantegna．Empirical Investigation of Stock Price Dynamics in an Emerging Market［J］．Physica A，1999（269）：132-139．
［15］ Iram Gleria．Scaling power laws in the Sao Paulo Stock Exchange［J］．Economics Bulletin，Vol．7，No．3，2002：1-12．
（责任编辑：韩淑丽）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”