论文部分内容阅读
在圆锥曲线一章中经常遇到中点弦问题,一般思路是联立直线与曲线方程,用韦达定理求解,但常遇繁琐运算或讨论. 若能巧妙利用点差法,将中点坐标与直线斜率有机结合,不失为一种技巧,下面以例浅析,以供参考.
例1 如图1,若椭圆[x236+y29=1]的弦被点[M(4,2)]平分,求这条弦所在的直线方程.
解析 设弦两端点[A(xxy1)],[B(x2,y2)],代入椭圆方程,则有[x1236+y129=1],[x2236+y229=1].
作差,得[(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0].
在直线[AB]上任取一点[P(x,y)],由题设有[x1+x2=8],[y1+y2=4](中点坐标公式),而[x1≠x2](题中隐含条件),
∴[y-2x-4=y1-y2x1-x2=-12].
故弦所在直线方程为[x+2y-8=0].
点评 点差法的基本步骤是:设点(即设出弦的两个端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减),利用中点坐标公式及直线上不同两点间斜率相同实现转化求解.
例2 已知双曲线[x2-y22=1],经过点[M(2,1)]能否作一条直线[l],使[l]与双曲线交于[A],[B]两点且[M]为[AB]中点?若存在,求出[l]的方程,若不存在,说明理由.
解析 本题属于涉及中点弦的探索性问题,可用点差法求出[l]的方程,再验证真伪,于是不妨设[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],及[l]上任一点[P(x,y)].
则有[x12-y122=1],[x22-y222=1].
作差,得[(x1+x2)(x1-x2)-12(y1+y2)(y1-y2)][=0.]由[M(2,1)]为线段[AB]的中点,易知[x1+x2=4,][y1+y2=2,]且[x1≠x2],
∴[kAB=y-1x-2=y1-y2x1-x2=4].
∴[l]的方程为[4x-y-7=0].
验证:联立[4x-y-7=0]与[x2-y22=1],消元得[14x2-56x+51=0],
∴Δ[=(-56)2-4×14×51>0].
∴[l]与双曲线有两个交点,直线[l]存在.
例3 如图2,过原点作与抛物线[y=x2-4x+6]交于[A],[B]两点的直线,求弦[AB]中点的轨迹方程.
解析 不妨设[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],弦[AB]中点[P(x,y)].
则[y1=x12-4x1+6],[y2=x22-4x2+6].
作差,得[y1-y2=(x1-x2)(x1+x2-4)].
∵[x1+x2=2x](中点坐标公式),[x1≠x2](题中隐含),
∴[y1-y2x1-x2=2x-4].
又[y1-y2x1-x2=kAB=yx],
∴[yx=2x-4].
∴[y=2x2-4x].
考虑到[AB]中点必在抛物线[y=x2-4x+6]内,而由[y=2x2-4xy=x2-4x+6]知两抛物线交点横坐标[x=±6],结合图形得弦[AB]中点的轨迹方程为[y=2x2-4x]([x<-6]或[x>6]).
例1 如图1,若椭圆[x236+y29=1]的弦被点[M(4,2)]平分,求这条弦所在的直线方程.
解析 设弦两端点[A(xxy1)],[B(x2,y2)],代入椭圆方程,则有[x1236+y129=1],[x2236+y229=1].
作差,得[(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0].
在直线[AB]上任取一点[P(x,y)],由题设有[x1+x2=8],[y1+y2=4](中点坐标公式),而[x1≠x2](题中隐含条件),
∴[y-2x-4=y1-y2x1-x2=-12].
故弦所在直线方程为[x+2y-8=0].
点评 点差法的基本步骤是:设点(即设出弦的两个端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减),利用中点坐标公式及直线上不同两点间斜率相同实现转化求解.
例2 已知双曲线[x2-y22=1],经过点[M(2,1)]能否作一条直线[l],使[l]与双曲线交于[A],[B]两点且[M]为[AB]中点?若存在,求出[l]的方程,若不存在,说明理由.
解析 本题属于涉及中点弦的探索性问题,可用点差法求出[l]的方程,再验证真伪,于是不妨设[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],及[l]上任一点[P(x,y)].
则有[x12-y122=1],[x22-y222=1].
作差,得[(x1+x2)(x1-x2)-12(y1+y2)(y1-y2)][=0.]由[M(2,1)]为线段[AB]的中点,易知[x1+x2=4,][y1+y2=2,]且[x1≠x2],
∴[kAB=y-1x-2=y1-y2x1-x2=4].
∴[l]的方程为[4x-y-7=0].
验证:联立[4x-y-7=0]与[x2-y22=1],消元得[14x2-56x+51=0],
∴Δ[=(-56)2-4×14×51>0].
∴[l]与双曲线有两个交点,直线[l]存在.
例3 如图2,过原点作与抛物线[y=x2-4x+6]交于[A],[B]两点的直线,求弦[AB]中点的轨迹方程.
解析 不妨设[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],弦[AB]中点[P(x,y)].
则[y1=x12-4x1+6],[y2=x22-4x2+6].
作差,得[y1-y2=(x1-x2)(x1+x2-4)].
∵[x1+x2=2x](中点坐标公式),[x1≠x2](题中隐含),
∴[y1-y2x1-x2=2x-4].
又[y1-y2x1-x2=kAB=yx],
∴[yx=2x-4].
∴[y=2x2-4x].
考虑到[AB]中点必在抛物线[y=x2-4x+6]内,而由[y=2x2-4xy=x2-4x+6]知两抛物线交点横坐标[x=±6],结合图形得弦[AB]中点的轨迹方程为[y=2x2-4x]([x<-6]或[x>6]).