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化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法，其核心是把生题转化为熟题。
一、备考小贴示
1．化归与转化常遵循以下几个原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
2．常见的转化途径：正与反的转化、一般与特殊的转化、主与次的转化、数与形的转化、陌生与熟悉的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化等。
3．几点说明：解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归；正与反的转化，从集合的角度来看就是“补集”的思想；一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可用这种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法；主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题；数与形的转化是数学分支间内在联系的具体体现；将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。
二、专题解读
1、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
例1、（08全国I理18）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1 2 3 4 5
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
解：（Ⅰ）由 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）略
2、一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然；同时，借助于特殊化也便于寻找解题的思路，发现一般性的结论。
例2、（08北京卷11）若 展开式的各项系数之和为32，则 。（用数字作答）
略解：令x=1则2n=32，n=5
例3、（辽宁卷21）在数列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差数列， 成等比数列（ ）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明： ．
略解：（Ⅰ）由条件得
由此可得 ．
猜测 ．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知 对一切正整数都成立．
（Ⅱ） ．
n≥2时，由（Ⅰ）知 ．
故
综上，原不等式成立．
三、主与次的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元，常常可以简化问题的解决，
例3、（06四川）已知函数 其中 是的 的导函数。
（Ⅰ）对满足 的一切 的值， 都有 求实数 的取值范围；
（Ⅱ）（略）
分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可 将视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：（Ⅰ）由题意 令
对 ，恒有 ，即
∴ 即解得
故 时，对满足 的一切 的值，都有
≤0对 上恒成立，求实数a的取值范围.
四、数与形的转化
数与形的转化，实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
例4、（08广东）若变量 满足 则 的最大值是（）
A．90 B．80 C．70 D．40
略解：本题的求解，必须正确的画出可行域，同时注意目标函数的几何意义是直线的纵截距，易得选C。
五、陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。
例5、（08•天津卷21）已知函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
（Ⅰ）解： ．
当 时， ．
令 ，解得 ， ， ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．
（Ⅱ）解： ，显然 不是方程 的根．
为使 仅在 处有极值，必须 成立，即有 ．
解些不等式，得 ．这时， 是唯一极值．
因此满足条件的 的取值范围是 ．
（Ⅲ）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成立．
当 时， ；当 时， ．
因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者．
为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，在 上恒成立．
所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ．
三、信息链接：
化归与转化的思想方法融汇和贯穿于解题的始终，而解题的过程实质就是不断转化的过程，我们在解决问题的过程中要遵循一些基本的原则，充分调动和运用我们已经掌握的知识、方法和经验，把要解决的问题通过不断的转化，归结到已经掌握的认知范畴内去解决，从而提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。
例6、 马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的
三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?
解析：将问题转化为3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间（不包括首尾两侧），有多少种方法?
因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球，于是，这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题，故共有 种方法．所以，原题答案为10种方法．
例7、已知△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，△ABC的外接圆的半径为 .且 .
（1）求角C.（2）求△ABC面积的最大值.
分析：（1）所给条件是边角之间的关系，未知元素多而杂，先由正弦定理转化为边的关系,得 ，即，再由余弦定理可得 ，又 ，所以 .
（2）由面积公式得 ，用正弦定理将边的关系转化为三角函数的问题来解决，
故当 ，即 时，△ABC面积的最大值为 .
评注：将题目中的元素统一，条件和结论统一，是一种重要的思维方式，它体现了转化过程中的和谐与统一。
例8、已知 是等差数列， 为公差且不为0， 和 均为实数，它的前 项和记为 ，设集合 ， 。试问下列结论是否正确，若正确，请给予证明；若不正确，说明理由。⑴若以集合A中元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；⑵ 至多有一个元素。
分析：将结论⑴转换成解几语言：判断点列 是否共线。∵等差数列 中，∴ 易证 在直线 上，故共线。
将集合语言：“ 至多有一个元素” 转换成解几语言：“点列所在直线 与双曲线 最多一个交点。”
∵ 的斜率等于渐进线的斜率，∴当 时，没有交点；当 时，只有一个解，∴ 至多有一个元素。
评注：在解题的思维过程中，要不断实施数学语言的转换，才能把题目中的最本质的数量关系揭示出来，从而利于解题。
例9、如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，异面直线 所成的角 ，公垂线为 ，
（1）求证： 面
（2）当 ，求四棱锥 的体积。
分析：有时几何体的体积难以直接求得时，我们往往把几何体分割成几个三棱锥，由于三棱锥的每一个面都可以当成底面，每个顶点都可以作为顶点，所以通常可以变换其顶点，使之底面积和高都比较容易求得。
解：（1） 是异面直线 的公垂线，
，所以 面
（2）
平面
又 所成的角 ，则
，所以
例10、（1） ，求证： ；
（2） ，求证 。
分析：本题通过构造函数，利用单调性，然后与区间端点函数值去比较，但发现 值不能代入 和 ，所以将其换元，实现算法。换元还可以使求导变为简单。
解：（1）令 ，由 知 ， ，
于是，原不等式等价于 。
令 ，则有 ，
当 ，有 从而可以知道，函数 在 上是递增函数，
所以有 ，即是 ；
令 ，则 ，
从而可以知道，函数 在 上是递增函数，
所以有 ，即得 ；
综上可知： ，则 。
（2）由（1）可知，令 ，得
令 ，得
… … … … … … … … …
令 ，得
将以上所得各不等式相加，得
，
即 ．
一、备考小贴示
1．化归与转化常遵循以下几个原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
2．常见的转化途径：正与反的转化、一般与特殊的转化、主与次的转化、数与形的转化、陌生与熟悉的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化等。
3．几点说明：解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归；正与反的转化，从集合的角度来看就是“补集”的思想；一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可用这种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法；主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题；数与形的转化是数学分支间内在联系的具体体现；将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。
二、专题解读
1、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
例1、（08全国I理18）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1 2 3 4 5
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
解：（Ⅰ）由 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）略
2、一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然；同时，借助于特殊化也便于寻找解题的思路，发现一般性的结论。
例2、（08北京卷11）若 展开式的各项系数之和为32，则 。（用数字作答）
略解：令x=1则2n=32，n=5
例3、（辽宁卷21）在数列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差数列， 成等比数列（ ）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明： ．
略解：（Ⅰ）由条件得
由此可得 ．
猜测 ．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知 对一切正整数都成立．
（Ⅱ） ．
n≥2时，由（Ⅰ）知 ．
故
综上，原不等式成立．
三、主与次的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元，常常可以简化问题的解决，
例3、（06四川）已知函数 其中 是的 的导函数。
（Ⅰ）对满足 的一切 的值， 都有 求实数 的取值范围；
（Ⅱ）（略）
分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可 将视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：（Ⅰ）由题意 令
对 ，恒有 ，即
∴ 即解得
故 时，对满足 的一切 的值，都有
≤0对 上恒成立，求实数a的取值范围.
四、数与形的转化
数与形的转化，实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
例4、（08广东）若变量 满足 则 的最大值是（）
A．90 B．80 C．70 D．40
略解：本题的求解，必须正确的画出可行域，同时注意目标函数的几何意义是直线的纵截距，易得选C。
五、陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。
例5、（08•天津卷21）已知函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
（Ⅰ）解： ．
当 时， ．
令 ，解得 ， ， ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．
（Ⅱ）解： ，显然 不是方程 的根．
为使 仅在 处有极值，必须 成立，即有 ．
解些不等式，得 ．这时， 是唯一极值．
因此满足条件的 的取值范围是 ．
（Ⅲ）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成立．
当 时， ；当 时， ．
因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者．
为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，在 上恒成立．
所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ．
三、信息链接：
化归与转化的思想方法融汇和贯穿于解题的始终，而解题的过程实质就是不断转化的过程，我们在解决问题的过程中要遵循一些基本的原则，充分调动和运用我们已经掌握的知识、方法和经验，把要解决的问题通过不断的转化，归结到已经掌握的认知范畴内去解决，从而提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。
例6、 马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的
三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?
解析：将问题转化为3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间（不包括首尾两侧），有多少种方法?
因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球，于是，这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题，故共有 种方法．所以，原题答案为10种方法．
例7、已知△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，△ABC的外接圆的半径为 .且 .
（1）求角C.（2）求△ABC面积的最大值.
分析：（1）所给条件是边角之间的关系，未知元素多而杂，先由正弦定理转化为边的关系,得 ，即，再由余弦定理可得 ，又 ，所以 .
（2）由面积公式得 ，用正弦定理将边的关系转化为三角函数的问题来解决，
故当 ，即 时，△ABC面积的最大值为 .
评注：将题目中的元素统一，条件和结论统一，是一种重要的思维方式，它体现了转化过程中的和谐与统一。
例8、已知 是等差数列， 为公差且不为0， 和 均为实数，它的前 项和记为 ，设集合 ， 。试问下列结论是否正确，若正确，请给予证明；若不正确，说明理由。⑴若以集合A中元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；⑵ 至多有一个元素。
分析：将结论⑴转换成解几语言：判断点列 是否共线。∵等差数列 中，∴ 易证 在直线 上，故共线。
将集合语言：“ 至多有一个元素” 转换成解几语言：“点列所在直线 与双曲线 最多一个交点。”
∵ 的斜率等于渐进线的斜率，∴当 时，没有交点；当 时，只有一个解，∴ 至多有一个元素。
评注：在解题的思维过程中，要不断实施数学语言的转换，才能把题目中的最本质的数量关系揭示出来，从而利于解题。
例9、如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，异面直线 所成的角 ，公垂线为 ，
（1）求证： 面
（2）当 ，求四棱锥 的体积。
分析：有时几何体的体积难以直接求得时，我们往往把几何体分割成几个三棱锥，由于三棱锥的每一个面都可以当成底面，每个顶点都可以作为顶点，所以通常可以变换其顶点，使之底面积和高都比较容易求得。
解：（1） 是异面直线 的公垂线，
，所以 面
（2）
平面
又 所成的角 ，则
，所以
例10、（1） ，求证： ；
（2） ，求证 。
分析：本题通过构造函数，利用单调性，然后与区间端点函数值去比较，但发现 值不能代入 和 ，所以将其换元，实现算法。换元还可以使求导变为简单。
解：（1）令 ，由 知 ， ，
于是，原不等式等价于 。
令 ，则有 ，
当 ，有 从而可以知道，函数 在 上是递增函数，
所以有 ，即是 ；
令 ，则 ，
从而可以知道，函数 在 上是递增函数，
所以有 ，即得 ；
综上可知： ，则 。
（2）由（1）可知，令 ，得
令 ，得
… … … … … … … … …
令 ，得
将以上所得各不等式相加，得
，
即 ．