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在学习过程中，学生常混淆面积和周长的计算，错误率极高。本文尝试以两道不规则图形的周长和面积计算题为例，深入学生心理，探究提高学生计算周长和面积正确率的对策。
一、挖掘错例，寻学生困惑之点
不规则图形的周长和面积计算没有公式可以直接套用，且不规则图形常常伴有陷阱，学生内心困惑恐慌，容易出现错误。
例1：用四个1平方厘米的正方形，拼成下面图形（如图1）。它们的面积和周长各是多少？
常见错误：把周长当成面积来算；计算周长时数错线段的数目。
例2：在一张边长是10厘米的正方形纸中，减去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种方法（如图2所示）。剩下部分的面积是多少？剩下部分的周长呢？
常见错误：计算剩下面积时错误列式为10×10=100（平方厘米）；10×10-4×2=92（平方厘米）；10×10-6×2=88（平方厘米）；计算周长时错误列式为10×10=100（厘米）；10×4-（4+6）×2=20（厘米）；（10+10）×2=40（厘米）。
二、心理剖析，探学生薄弱之处
以上两道经典错例，正是学生思维存在障碍的体现。笔者深入学生心理，对学生的错误进行剖析，归纳了以下三方面原因。
1. 感知粗略，混淆不清。
学生对周长和面积概念的感知较粗糙，概念意义没有真正建构，导致学生认为只有规则图形才能计算周长和面积。
2. 注意失衡，顾此失彼。
周长和面积知识本就是学习的难点，尤其涉及不规则图形，学生的注意力容易被分散。例1中求周长时，由于第一个和第四个图形属于不规则图形，图形内部的线段对找准边线（周长）产生干扰。例2中，在同样大小的正方形中减去一个同样大小的长方形，不同的剪法，剩余部分的面积大小相等，而剩余图形的周长却会改变。学生不仅要分清周长和面积，又要提防不规则图形的陷阱，顾此失彼，出现错误。
3. 思维定势，缺乏逆向思维。
思维的定势是思维的惯性，学生习惯套用公式计算周长和面积，因此在不规则图形中也是想方设法地生搬硬套公式。例1中，部分学生求面积时套公式计算而出错，大部分学生通过数方格得出面积都是4平方厘米；而不规则图形的周长用“移线段”的方法将图形转化为规则图形再计算，也可以直接通过数边线得到。例2中，利用逆向思维，不直接求面积，而是抓住剩下图形的面积等于大正方形面积减去小长方形面积；求周长时并非要知晓每一条线段的长度，可以通过线段平移，将不规则图形转化为规则图形再计算。思维定势让学生的思维受到局限，在解题时无法找到事半功倍的方法。
三、寻求对策，破学生思维之限
在剖析学生的错误心理成因后，笔者从注重感知、稳定注意和拓展思维三方面入手，突破教学中学生的心理障碍和思维局限，帮助学生获得正确的认知。
1. 注重感知，辨析概念差异。
感知材料是学生接触新知识的载体，也是数学与生活联系的媒介。如果首次感知不准确、不细致，容易影响学生的学习兴趣和学习潜能的激发。在帮助学生建构周长和面积的概念意义时，教师应当提供生动的感知材料，设计有趣的感知活动，激发学生的思维。如以下活动。
活动一：提供若干颗糖果、一个长方形钢丝框架、一块与框架形状大小一样的纸板，引导学生分别向框架和纸板上撒糖果，再将框架拉直，最后抚摸纸板的每一处。
活动二：提供长方形、正方形、爱心形纸板，引导学生用红笔描绘每个图形的周长，用蓝笔涂满每个图形。
在活动一中，学生观察到向框架撒的糖果都掉到地上，向纸板撒的糖果都能被接住；钢丝框架变成一条有长度的线段；纸板是一个有大小的平面。初步感知框架的长度即长方形的周长，纸板的大小即长方形的面积。在活动二中，通过描一描、涂一涂的操作，学生获得对周长和面积的感性认识，建立丰富的表象。
以感知材料作为思维支架，学生会积极投入到生动的感知活动中，在首次感知中就细致地辨析周长和面积的概念，强化差异，防止在后续学习中出现混淆不清的情况。
2. 稳定注意，合理分配难点。
注意，通常是指选择性注意，即有选择地加工某些刺激而忽视其他刺激的倾向。在计算周长和面积时，学生的注意力被分散在不同的对象上。教师应帮助学生先将注意力稳定集中在某一难点，对比辨析、完全掌握后再综合难点，进行注意力的合理分配和转移。如图形的拼组和拆分这类题型，可以设计一组难点从分散到综合的题目，如下所示。
①有两个正方形边长为2厘米，把它们拼成大长方形，求大长方形的周长和面积。
②长方形长4厘米，宽2厘米，把它剪成两个相同的小正方形，求小正方形的周长和面积。
③有两个正方形边长为2厘米，把它们重叠在一起形成新的组合图形，重叠部分是一个边长为1厘米的正方形。求组合图形的周长和面积。
图形拼组和拆分是对周长和面积概念的理解和应用，题①和题②分别是拼组和拆分规则图形，先稳定学生注意力，分散难点；题③拼组不规则图形，综合难点，为后续学习复杂平面图形以及立体图形的拼组和拆分打下基础。
3. 拓展思维，防止定势干扰。
在学习长方形和正方形的周长和面积公式后，学生思维受限，费时费力地想用公式求解。在周长和面积计算的教学中，着重引导学生体会周长和面积是一般概念，并非只有规则图形才具备，防止思维定势。
在教学周长计算时，选择不规则图形，让学生在动手操作中经历描边线、算长度的过程，帮助学生理解不规则图形的周长本质上与规则图形是相同的，即一周边线的长度。在教學面积计算时，利用“铺面积单位”这个活动，帮助学生理解面积的本质是一个“数”。由若干个面积单位拼成的不规则图形，其面积没有直接公式可以用来计算，但可以通过“数”和“算”面积单位的个数而得知。从而防止图形形状给学生带来干扰，使学生感受到图形的面积大小与形状无关。
在突破周长和面积的一般化计算后，再设计一组周长和面积的对比练习，如下所示。
如果一个长方形减去一部分（长方形或正方形），剩余部分的周长和面积与原长方形的周长和面积相比，变大还是变小？
①面积减少，周长不变。②面积减少，周长变大。③面积减少，周长变小。
从规则图形到不规则图形需要学生灵活思考，不规则图形的周长可以通过小线段的动态平移得到，面积可以通过割补法得到，打破思维惯性，将不规则图形转化为规则图形。
学生的错误是具有典型性的，有规律可循。面对学生的错误，教师应当根据学生的心理特点，找到学生思维过程中产生的障碍，及时进行剖析，找寻提高学生学习效率和解题正确率的对策。
（作者单位：浙江省杭州市富阳区富春第二小学
本专辑责任编辑：黄彧修？摇？摇？摇？摇王彬？摇？摇？摇？摇陈本煌）
一、挖掘错例，寻学生困惑之点
不规则图形的周长和面积计算没有公式可以直接套用，且不规则图形常常伴有陷阱，学生内心困惑恐慌，容易出现错误。
例1：用四个1平方厘米的正方形，拼成下面图形（如图1）。它们的面积和周长各是多少？
常见错误：把周长当成面积来算；计算周长时数错线段的数目。
例2：在一张边长是10厘米的正方形纸中，减去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种方法（如图2所示）。剩下部分的面积是多少？剩下部分的周长呢？
常见错误：计算剩下面积时错误列式为10×10=100（平方厘米）；10×10-4×2=92（平方厘米）；10×10-6×2=88（平方厘米）；计算周长时错误列式为10×10=100（厘米）；10×4-（4+6）×2=20（厘米）；（10+10）×2=40（厘米）。
二、心理剖析，探学生薄弱之处
以上两道经典错例，正是学生思维存在障碍的体现。笔者深入学生心理，对学生的错误进行剖析，归纳了以下三方面原因。
1. 感知粗略，混淆不清。
学生对周长和面积概念的感知较粗糙，概念意义没有真正建构，导致学生认为只有规则图形才能计算周长和面积。
2. 注意失衡，顾此失彼。
周长和面积知识本就是学习的难点，尤其涉及不规则图形，学生的注意力容易被分散。例1中求周长时，由于第一个和第四个图形属于不规则图形，图形内部的线段对找准边线（周长）产生干扰。例2中，在同样大小的正方形中减去一个同样大小的长方形，不同的剪法，剩余部分的面积大小相等，而剩余图形的周长却会改变。学生不仅要分清周长和面积，又要提防不规则图形的陷阱，顾此失彼，出现错误。
3. 思维定势，缺乏逆向思维。
思维的定势是思维的惯性，学生习惯套用公式计算周长和面积，因此在不规则图形中也是想方设法地生搬硬套公式。例1中，部分学生求面积时套公式计算而出错，大部分学生通过数方格得出面积都是4平方厘米；而不规则图形的周长用“移线段”的方法将图形转化为规则图形再计算，也可以直接通过数边线得到。例2中，利用逆向思维，不直接求面积，而是抓住剩下图形的面积等于大正方形面积减去小长方形面积；求周长时并非要知晓每一条线段的长度，可以通过线段平移，将不规则图形转化为规则图形再计算。思维定势让学生的思维受到局限，在解题时无法找到事半功倍的方法。
三、寻求对策，破学生思维之限
在剖析学生的错误心理成因后，笔者从注重感知、稳定注意和拓展思维三方面入手，突破教学中学生的心理障碍和思维局限，帮助学生获得正确的认知。
1. 注重感知，辨析概念差异。
感知材料是学生接触新知识的载体，也是数学与生活联系的媒介。如果首次感知不准确、不细致，容易影响学生的学习兴趣和学习潜能的激发。在帮助学生建构周长和面积的概念意义时，教师应当提供生动的感知材料，设计有趣的感知活动，激发学生的思维。如以下活动。
活动一：提供若干颗糖果、一个长方形钢丝框架、一块与框架形状大小一样的纸板，引导学生分别向框架和纸板上撒糖果，再将框架拉直，最后抚摸纸板的每一处。
活动二：提供长方形、正方形、爱心形纸板，引导学生用红笔描绘每个图形的周长，用蓝笔涂满每个图形。
在活动一中，学生观察到向框架撒的糖果都掉到地上，向纸板撒的糖果都能被接住；钢丝框架变成一条有长度的线段；纸板是一个有大小的平面。初步感知框架的长度即长方形的周长，纸板的大小即长方形的面积。在活动二中，通过描一描、涂一涂的操作，学生获得对周长和面积的感性认识，建立丰富的表象。
以感知材料作为思维支架，学生会积极投入到生动的感知活动中，在首次感知中就细致地辨析周长和面积的概念，强化差异，防止在后续学习中出现混淆不清的情况。
2. 稳定注意，合理分配难点。
注意，通常是指选择性注意，即有选择地加工某些刺激而忽视其他刺激的倾向。在计算周长和面积时，学生的注意力被分散在不同的对象上。教师应帮助学生先将注意力稳定集中在某一难点，对比辨析、完全掌握后再综合难点，进行注意力的合理分配和转移。如图形的拼组和拆分这类题型，可以设计一组难点从分散到综合的题目，如下所示。
①有两个正方形边长为2厘米，把它们拼成大长方形，求大长方形的周长和面积。
②长方形长4厘米，宽2厘米，把它剪成两个相同的小正方形，求小正方形的周长和面积。
③有两个正方形边长为2厘米，把它们重叠在一起形成新的组合图形，重叠部分是一个边长为1厘米的正方形。求组合图形的周长和面积。
图形拼组和拆分是对周长和面积概念的理解和应用，题①和题②分别是拼组和拆分规则图形，先稳定学生注意力，分散难点；题③拼组不规则图形，综合难点，为后续学习复杂平面图形以及立体图形的拼组和拆分打下基础。
3. 拓展思维，防止定势干扰。
在学习长方形和正方形的周长和面积公式后，学生思维受限，费时费力地想用公式求解。在周长和面积计算的教学中，着重引导学生体会周长和面积是一般概念，并非只有规则图形才具备，防止思维定势。
在教学周长计算时，选择不规则图形，让学生在动手操作中经历描边线、算长度的过程，帮助学生理解不规则图形的周长本质上与规则图形是相同的，即一周边线的长度。在教學面积计算时，利用“铺面积单位”这个活动，帮助学生理解面积的本质是一个“数”。由若干个面积单位拼成的不规则图形，其面积没有直接公式可以用来计算，但可以通过“数”和“算”面积单位的个数而得知。从而防止图形形状给学生带来干扰，使学生感受到图形的面积大小与形状无关。
在突破周长和面积的一般化计算后，再设计一组周长和面积的对比练习，如下所示。
如果一个长方形减去一部分（长方形或正方形），剩余部分的周长和面积与原长方形的周长和面积相比，变大还是变小？
①面积减少，周长不变。②面积减少，周长变大。③面积减少，周长变小。
从规则图形到不规则图形需要学生灵活思考，不规则图形的周长可以通过小线段的动态平移得到，面积可以通过割补法得到，打破思维惯性，将不规则图形转化为规则图形。
学生的错误是具有典型性的，有规律可循。面对学生的错误，教师应当根据学生的心理特点，找到学生思维过程中产生的障碍，及时进行剖析，找寻提高学生学习效率和解题正确率的对策。
（作者单位：浙江省杭州市富阳区富春第二小学
本专辑责任编辑：黄彧修？摇？摇？摇？摇王彬？摇？摇？摇？摇陈本煌）