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二次函数是初中学习的重点和难点，考题分值大都占总分值的10％左右. 由于二次函数知识对初中生而言难度本身就比较大，所以此类考点一般都以选择题、填空题的最后两题，或解答题的压轴题的形式出现. 一般情况下，填空题和选择题中的二次函数考题主要考查二次函数的基础知识和基本解题技能，如二次函数的意义及其三种表示法、二次函数的图象与系数的关系等. 解答题中的二次函数的考题则综合性较强，考查的知识面广，主要考查方向有：（1）和实际生活相结合的最大（小）值问题；（2）结合动点计算几何图形的长度和面积的考题；（3）和其他函数相结合的考题；（4）其它类型.
易错点扫描
1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点：
（1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆；
（2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；
（3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方.
求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错.
3. 忽视自变量的实际取值范围而出错.
在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错.
范例剖析
例1（2008年江苏泰州）二次函数y＝x2＋4x＋3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）
A． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
典型错误：A、C或D.
错因分析：有的同学没有找到解决此题的途径，还有的同学马虎出错.
正确答案：B.
方法点拨：抛物线的平移是在开口方向和大小不变的情况下，移动其在坐标平面的位置，所以，二次项的系数不变. 移动的方向和移动的大小可以比较顶点的变化而确定. 此题的解题途径是：把y＝x2＋4x＋3转化为顶点式y＝（x＋2）2－1，和y＝x2的顶点（0，0）相比，y＝（x＋2）2－1的顶点（－2，－1）向左平移了2个单位，又向下平移了1个单位.所以整个抛物线也是向左平移了2个单位，又向下平移了1个单位. 选B.
①ac＜0；
②方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3；
③a＋b＋c＞0；
④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
正确的说法有_____． （请写出所有正确说法的序号）
典型错误：只填①、②、③、④中的一个，或填不包含②④的两个或更多.
错因分析：同学们的基础知识不扎实，不能根据抛物线的特征准确判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上的系数a、b、c的符号，以及函数特值.
正确答案：②④.
方法点拨：由抛物线的开口方向向上可以判断出a﹥0，由抛物线交y轴于负半轴，可得c﹤0，所以①错误；由抛物线与x轴交于（－1，0）、（3，0）两点，可得方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3，所以②正确；观察图象可得：当x＝1时，y＝a＋b＋c﹤0，所以③错误；因为抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝1，所以当x＞1时，y随着x的增大而增大，所以④正确． 因此正确答案为②④.
例3（2008年广西桂林）桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道靓丽的风景线，该桥的部分横截面如图2所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 m，（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）CO＝1 m，FG＝2 m .
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求柱子AD的高度.
典型错误：（1）由题意可知：
点C的坐标为（0，1），
点F的坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，
所以1＝c， ①
2＝16a－4b＋c，②
把c＝1代入方程②，
因为有a、b两个未知数，无法求出结果.
错因分析：错解的原因是同学们不会根据题目特点设出合适的表达式：其一，题目中抛物线以y轴为对称轴，可以直接设表达式为y＝ax2＋c；其二，因为此题给出了抛物线的顶点和抛物线上另外一点的坐标，还可以设顶点式求其表达式.
正确答案：解法1：（1）由题意可知：
点C的坐标为（0，1），
点F的坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
所以1＝c，
2＝16a＋c， 解得a＝
，
c＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2＋1.
（2）因为点A的横坐标为－8，
当x＝－8时，y＝5，
所以柱子AD的高度为5 m .
解法2：（1）由题意可知：
抛物线顶点C坐标为（0，1），
点F坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝a（x－h）2＋k，代入得：2＝a（－4－0）＋1，解得a＝.
所以抛物线解析式为y＝x2＋1.
（2）同上.
方法点拨：①用图象表示实际生活中的函数关系时，首先要弄清楚横坐标和纵坐标的实际含义，含义不同，代表的关系式就不同；②当已知图象上的点的坐标求解析式时，要看清特点，巧妙设出关系式.已知三个点（不含顶点）经常设成一般式；已知顶点时通常使用顶点式；已知图象与x轴的两个交点时，通常设成交点式.
实战演练
1. （2008年四川绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）
A． x＜0或x＞2
B． 0＜x＜2
C． x＜－1或x＞3
D． －1＜x＜3
2. （2008年山东威海）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）． 若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，则下列结论正确的是（）
A． y1＜y2＜y2
B． y2＜y1＜y3
C． y3＜y1＜y2
D． y1＜y3＜y2
3. （2008年四川资阳）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）
A． y＝2（x－2）2＋2
B． y＝2（x＋2）2－2
C． y＝2（x－2）2－2
D． y＝2（x＋2）2＋2
4. （2008年海南）如图3，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.
[图3][y][x][A][C][O][D][B][x=2][E]
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案见P59
易错点扫描
1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点：
（1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆；
（2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；
（3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方.
求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错.
3. 忽视自变量的实际取值范围而出错.
在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错.
范例剖析
例1（2008年江苏泰州）二次函数y＝x2＋4x＋3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）
A． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
典型错误：A、C或D.
错因分析：有的同学没有找到解决此题的途径，还有的同学马虎出错.
正确答案：B.
方法点拨：抛物线的平移是在开口方向和大小不变的情况下，移动其在坐标平面的位置，所以，二次项的系数不变. 移动的方向和移动的大小可以比较顶点的变化而确定. 此题的解题途径是：把y＝x2＋4x＋3转化为顶点式y＝（x＋2）2－1，和y＝x2的顶点（0，0）相比，y＝（x＋2）2－1的顶点（－2，－1）向左平移了2个单位，又向下平移了1个单位.所以整个抛物线也是向左平移了2个单位，又向下平移了1个单位. 选B.
①ac＜0；
②方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3；
③a＋b＋c＞0；
④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
正确的说法有_____． （请写出所有正确说法的序号）
典型错误：只填①、②、③、④中的一个，或填不包含②④的两个或更多.
错因分析：同学们的基础知识不扎实，不能根据抛物线的特征准确判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上的系数a、b、c的符号，以及函数特值.
正确答案：②④.
方法点拨：由抛物线的开口方向向上可以判断出a﹥0，由抛物线交y轴于负半轴，可得c﹤0，所以①错误；由抛物线与x轴交于（－1，0）、（3，0）两点，可得方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3，所以②正确；观察图象可得：当x＝1时，y＝a＋b＋c﹤0，所以③错误；因为抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝1，所以当x＞1时，y随着x的增大而增大，所以④正确． 因此正确答案为②④.
例3（2008年广西桂林）桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道靓丽的风景线，该桥的部分横截面如图2所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 m，（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）CO＝1 m，FG＝2 m .
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求柱子AD的高度.
典型错误：（1）由题意可知：
点C的坐标为（0，1），
点F的坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，
所以1＝c， ①
2＝16a－4b＋c，②
把c＝1代入方程②，
因为有a、b两个未知数，无法求出结果.
错因分析：错解的原因是同学们不会根据题目特点设出合适的表达式：其一，题目中抛物线以y轴为对称轴，可以直接设表达式为y＝ax2＋c；其二，因为此题给出了抛物线的顶点和抛物线上另外一点的坐标，还可以设顶点式求其表达式.
正确答案：解法1：（1）由题意可知：
点C的坐标为（0，1），
点F的坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
所以1＝c，
2＝16a＋c， 解得a＝
，
c＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2＋1.
（2）因为点A的横坐标为－8，
当x＝－8时，y＝5，
所以柱子AD的高度为5 m .
解法2：（1）由题意可知：
抛物线顶点C坐标为（0，1），
点F坐标为（－4，2），
设抛物线解析式为y＝a（x－h）2＋k，代入得：2＝a（－4－0）＋1，解得a＝.
所以抛物线解析式为y＝x2＋1.
（2）同上.
方法点拨：①用图象表示实际生活中的函数关系时，首先要弄清楚横坐标和纵坐标的实际含义，含义不同，代表的关系式就不同；②当已知图象上的点的坐标求解析式时，要看清特点，巧妙设出关系式.已知三个点（不含顶点）经常设成一般式；已知顶点时通常使用顶点式；已知图象与x轴的两个交点时，通常设成交点式.
实战演练
1. （2008年四川绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）
A． x＜0或x＞2
B． 0＜x＜2
C． x＜－1或x＞3
D． －1＜x＜3
2. （2008年山东威海）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）． 若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，则下列结论正确的是（）
A． y1＜y2＜y2
B． y2＜y1＜y3
C． y3＜y1＜y2
D． y1＜y3＜y2
3. （2008年四川资阳）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）
A． y＝2（x－2）2＋2
B． y＝2（x＋2）2－2
C． y＝2（x－2）2－2
D． y＝2（x＋2）2＋2
4. （2008年海南）如图3，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.
[图3]
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案见P59