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有些同学在解一次函数问题时经常出错,现就几种常见错误举例剖析,以帮助同学们走出误区.
误区一、 对函数图像的意义理解有误
例1 如图1,小明在操场上玩耍,一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步,能近似刻画小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图像是().
错解: A.
错因分析:解决本题的关键是正确理解函数图像所表示的意义.题中要求指出的是小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图像.小明从点M出发,在从点M到点A这段时间内,他离点M的距离在匀速增加,即y随 x的增大而增大.在从点A到点B这段时间内,小明到点M的距离不变,即x增大而y值不变,这时图像应与x轴平行,在从点B到点M的这段时间内,他离点M的距离在逐渐减少,即y随x的增大而减小.
正解:C.
点拨:本题主要考查对函数图像意义的理解.
误区二、对函数定义理解不透
例2已知函数y=(m2-3m)xm-8+5是关于 x的一次函数,试求m的值.
错解:当m2-8=1时,函数y=(m2-3m)xm-8+5是一次函数,所以m=±3.
错因分析:错解中只考虑到了指数为1 ,而遗漏了比例系数不为零的前提,从而导致出错.
正解:因为函数 y=(m2-3m)xm-8+5是关于 x的一次函数,所以m-8=1且m2-3m≠0即m=-3.
点拨: 一次函数y=kx+b的定义,不仅要求自变量x的指数为1,同时还要求自变量x的系数k≠0.
误区三、对问题考虑不全
例3 当a为何值时,函数y=(a+1)x+(a-3)x+a是关于x的一次函数?
错解:由题意可知,a+1=0且a-3≠0,得a=-1.
错因分析:本题没有进行分类讨论,只对一种情况进行了解答,从而出错.
正解:因为函数y=(a+1)x+(a-3)x+a是关于x的一次函数,所以分类讨论如下:
(1)当a2-3=1且(a+1)+(a-3) ≠0时,解得 a=±2;
(2)当a+1=0且a-3≠0时,解得a=-1;
(3)当a2-3=0且a-3≠0时,解得a=±.
因此本题正确答案为a=±2,a=-1或 a=±.
点拨:分类讨论思想是克服思维的片面性,避免遗漏、重复的好方法.
例4 已知一次函数y=kx+b,当-1≤x≤1时,1≤y≤5,求此 一次函数解析式.
错解:由-1≤x≤1时,1≤y≤5,得 x=-1y=1, x=1y=5 ,把x,y的值代入y=kx+b,即1=-k+b5=k+b ,解得k=2b=3,所以一次函数解析式为y=2x+3.
错因分析:错解受思维定式的影响,仅考虑到了y随x的增大而增大的情况,忽视了y随x的增大而减小的情况,造成了出错.
正解:当y随x的增大而增大时,有x=-1,y=1 ;x=1,y=5.分别代入y=kx+b ,即1=-k+b5=k+b ,解得k=2b=3,一次函数解析式为 y=2x+3.
当y随x的增大而减小时,有x=-1,y=5 ;x=1,y=5.分别代入y=kx+b ,即5=-k+b1=k+b ,解得k=-2b=3,所以一次函数解析式为 y=-2x+3.
所以一次函数的解析式为y=2x+3或 y=-2x+3.
点拨:在解题时,一定要多角度思考问题,切莫受思维定式的影响.
误区四、分辨函数图像出错
例5 已知函数y=(m-1)x+(3-2m),y 随x的增大而减小,则这个函数的图像大致是下图中的().
错解: C.
错因分析:错解只考虑了 y随x的增大而减小,即直线下降的情况,却忽视了直线与y轴交点的位置.在函数y=kx+b中,y随 x的增大而减小,则k<0,即m-1<0,m<1.而当m<1时,3-2m>0,这时直线与y轴的交点应在x轴的上方.
正解:A.
点拨:一次函数图像的位置不仅与直线的上升(或下降)有关,还和直线与坐标轴的交点位置有关.
误区五、求自变量的取值范围出错
例6 如图2是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2= 的图像,观察图像,写出y1>y2时x的取值范围_____________.
错解: x>3.
错因分析:对图像观察不仔细,只注意到了第一象限的部分,忽视了第三象限还有一部分.
正解:-23;
点拨:当多个函数图像在同一个坐标系中时,应综合考虑自变量的取值范围.
误区六、求解实际应用问题时出错
例7 市园林处为了对一段公路进行绿化,计划购买A、B两种风景树共900棵. A、B两种树的相关信息如下表.若希望这批树的成活率不低于94%,且费用最低,应选购A、B两种树各多少棵,最低费用为多少?
错解:设购买A种树x棵时,成活率不低于94%,根据题意得,92%x+98%(900-x)≥94%×900,解得x≤600.
若购买A种树600棵,则购买B种树300棵,此时费用为y=600×80+300×100=78 000 (元).
若购买A种树500棵,则购买B种树400棵,此时费用为y=500×80+400×100=80 000 (元).
通过比较可以知道,应选购A种树600棵,B种树300棵时,成活率不低于94%,且费用最低,最低费用为78 000元.
错因分析:通过不等式得到x的取值范围,然后在范围内对两个函数值进行比较就得出结论,这是不科学的,应利用一次函数的增减性求解.
正解:设购买A种树x棵,购树所需费用为 y元,根据题意可以得到x与 y之间的函数关系式为y=80x+100(900-x)=-20x+90 000.而要成活率不低于94%,可得不等式92%x+98%(900-x)≥94%×900 , 解得x≤600.
在函数y=-20x+90 000中, 因为k<0 ,y随x的增大而减小,所以当x=600时,购树费用最低, y=600×80+300×100=78 000 (元).
所以购A种树600棵,B种树300棵时, 购树费用最低为78 000元.
点拨:一次函数y=kx+b(k≠0),当k<0时, y随x 的增大而减小,x取最大值时,函数值最小,因此在求实际问题中的最值问题时,要根据函数的增减性来求得.
误区七、求解函数与三角形结合问题出错
例8 已知等腰三角形的周长为8cm,写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式,并画出函数图像.
错解:底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式为y=8-2x,其函数图像如图3所示.
错因分析:没有从实际问题出发来考虑自变量x的取值范围.
正解:函数关系式为y=8-2x(2 点拨:本题应考虑腰长x>0,底边长y>0以及三角形三边之间的关系,即2x>y,从而得到自变量x的取值范围.
误区一、 对函数图像的意义理解有误
例1 如图1,小明在操场上玩耍,一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步,能近似刻画小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图像是().
错解: A.
错因分析:解决本题的关键是正确理解函数图像所表示的意义.题中要求指出的是小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图像.小明从点M出发,在从点M到点A这段时间内,他离点M的距离在匀速增加,即y随 x的增大而增大.在从点A到点B这段时间内,小明到点M的距离不变,即x增大而y值不变,这时图像应与x轴平行,在从点B到点M的这段时间内,他离点M的距离在逐渐减少,即y随x的增大而减小.
正解:C.
点拨:本题主要考查对函数图像意义的理解.
误区二、对函数定义理解不透
例2已知函数y=(m2-3m)xm-8+5是关于 x的一次函数,试求m的值.
错解:当m2-8=1时,函数y=(m2-3m)xm-8+5是一次函数,所以m=±3.
错因分析:错解中只考虑到了指数为1 ,而遗漏了比例系数不为零的前提,从而导致出错.
正解:因为函数 y=(m2-3m)xm-8+5是关于 x的一次函数,所以m-8=1且m2-3m≠0即m=-3.
点拨: 一次函数y=kx+b的定义,不仅要求自变量x的指数为1,同时还要求自变量x的系数k≠0.
误区三、对问题考虑不全
例3 当a为何值时,函数y=(a+1)x+(a-3)x+a是关于x的一次函数?
错解:由题意可知,a+1=0且a-3≠0,得a=-1.
错因分析:本题没有进行分类讨论,只对一种情况进行了解答,从而出错.
正解:因为函数y=(a+1)x+(a-3)x+a是关于x的一次函数,所以分类讨论如下:
(1)当a2-3=1且(a+1)+(a-3) ≠0时,解得 a=±2;
(2)当a+1=0且a-3≠0时,解得a=-1;
(3)当a2-3=0且a-3≠0时,解得a=±.
因此本题正确答案为a=±2,a=-1或 a=±.
点拨:分类讨论思想是克服思维的片面性,避免遗漏、重复的好方法.
例4 已知一次函数y=kx+b,当-1≤x≤1时,1≤y≤5,求此 一次函数解析式.
错解:由-1≤x≤1时,1≤y≤5,得 x=-1y=1, x=1y=5 ,把x,y的值代入y=kx+b,即1=-k+b5=k+b ,解得k=2b=3,所以一次函数解析式为y=2x+3.
错因分析:错解受思维定式的影响,仅考虑到了y随x的增大而增大的情况,忽视了y随x的增大而减小的情况,造成了出错.
正解:当y随x的增大而增大时,有x=-1,y=1 ;x=1,y=5.分别代入y=kx+b ,即1=-k+b5=k+b ,解得k=2b=3,一次函数解析式为 y=2x+3.
当y随x的增大而减小时,有x=-1,y=5 ;x=1,y=5.分别代入y=kx+b ,即5=-k+b1=k+b ,解得k=-2b=3,所以一次函数解析式为 y=-2x+3.
所以一次函数的解析式为y=2x+3或 y=-2x+3.
点拨:在解题时,一定要多角度思考问题,切莫受思维定式的影响.
误区四、分辨函数图像出错
例5 已知函数y=(m-1)x+(3-2m),y 随x的增大而减小,则这个函数的图像大致是下图中的().
错解: C.
错因分析:错解只考虑了 y随x的增大而减小,即直线下降的情况,却忽视了直线与y轴交点的位置.在函数y=kx+b中,y随 x的增大而减小,则k<0,即m-1<0,m<1.而当m<1时,3-2m>0,这时直线与y轴的交点应在x轴的上方.
正解:A.
点拨:一次函数图像的位置不仅与直线的上升(或下降)有关,还和直线与坐标轴的交点位置有关.
误区五、求自变量的取值范围出错
例6 如图2是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2= 的图像,观察图像,写出y1>y2时x的取值范围_____________.
错解: x>3.
错因分析:对图像观察不仔细,只注意到了第一象限的部分,忽视了第三象限还有一部分.
正解:-2
点拨:当多个函数图像在同一个坐标系中时,应综合考虑自变量的取值范围.
误区六、求解实际应用问题时出错
例7 市园林处为了对一段公路进行绿化,计划购买A、B两种风景树共900棵. A、B两种树的相关信息如下表.若希望这批树的成活率不低于94%,且费用最低,应选购A、B两种树各多少棵,最低费用为多少?
错解:设购买A种树x棵时,成活率不低于94%,根据题意得,92%x+98%(900-x)≥94%×900,解得x≤600.
若购买A种树600棵,则购买B种树300棵,此时费用为y=600×80+300×100=78 000 (元).
若购买A种树500棵,则购买B种树400棵,此时费用为y=500×80+400×100=80 000 (元).
通过比较可以知道,应选购A种树600棵,B种树300棵时,成活率不低于94%,且费用最低,最低费用为78 000元.
错因分析:通过不等式得到x的取值范围,然后在范围内对两个函数值进行比较就得出结论,这是不科学的,应利用一次函数的增减性求解.
正解:设购买A种树x棵,购树所需费用为 y元,根据题意可以得到x与 y之间的函数关系式为y=80x+100(900-x)=-20x+90 000.而要成活率不低于94%,可得不等式92%x+98%(900-x)≥94%×900 , 解得x≤600.
在函数y=-20x+90 000中, 因为k<0 ,y随x的增大而减小,所以当x=600时,购树费用最低, y=600×80+300×100=78 000 (元).
所以购A种树600棵,B种树300棵时, 购树费用最低为78 000元.
点拨:一次函数y=kx+b(k≠0),当k<0时, y随x 的增大而减小,x取最大值时,函数值最小,因此在求实际问题中的最值问题时,要根据函数的增减性来求得.
误区七、求解函数与三角形结合问题出错
例8 已知等腰三角形的周长为8cm,写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式,并画出函数图像.
错解:底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式为y=8-2x,其函数图像如图3所示.
错因分析:没有从实际问题出发来考虑自变量x的取值范围.
正解:函数关系式为y=8-2x(2