摘 要：高中教材自改革以来，反映良好，其中主要一个方面就是更体现以学生为主体，更有利于开发学生的思维和潜能.几何概率作为新加的内容，就很好地印证了这一点.为学生更好地理解和应用数学开拓了广阔的空间.
　　关键词：几何概率；贝特朗问题；不同角度
　　由于几何概率被引入了高中教材，因此掌握一些基本的方法来构建几何概率的平面区域至关重要，此外，对师生的视野拓展也有裨益，但是，对有些几何概率问题，会出现意想不到的矛盾.例如：
　　问题：在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
　　分析1：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为试验所有结果构成的区域.如图1，当点M位于线段AC′上时，AM　　■ ■
　　图1 图2
　　∴在AB上截取AC′=AC
　　∴P（AM　　分析2：过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线，射线交AB于点M，则CM在∠ACB内是等可能分布的，如图2.
　　∴∠ACC′=■=■π
　　∴P（AM　　由以上分析1与分析2看出，从不同的角度出发，所得出的结果就会不同，这是几何概率中一个很有趣的问题——贝特朗悖论.
　　（贝特朗问题）：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
　　解：取单位圆O，其内接等边三角形的边长是■，取圆O的任一弦AB，记“AB>■”的事件为A.
　　方法1：如图3，作垂直于AB的直径PQ，分别以P、Q为顶点作圆的内接等边三角形，这两个三角形的边与PQ交于M、N，当AB与PQ的交点位于MN上时，AB>■；由于MN=■PQ，故P（A）=■.
　　■ ■
　　图3 图4
　　方法2：如图4，连接AO，在AO两侧作∠MAO=∠NAO=30°，交圆O于M、N，当B点落在∠MAO所夹弧MN上时，AB>■，
　　弧MN的长度是圆周长的■，故P（A）=■.
　　方法3：如图5，在圆O内任取一点M，若OM<■，则以M为中点的弦AB>■，故M点在以O为圆心，■为半径的圆内，而小圆的面积是大圆面积的■，故P（A）=■.
　　■ ■
　　图5 图6
　　方法4：如图6，过A作直径AD，在AD上取一点M，使AM=■，对于任一弦AB，在AD上取AB′=AB，当B′落在MD上时，AB>■，由于MD=2-■，故P（A）=■.
　　以上问题就是贝特朗问题，它在1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫解决，他建立了在测度论基础上的概率论公理系统.有兴趣的读者可参阅高等教育出版社1984年版的高等学校试用教材《概率论与数理统计》一书，作者周树容.
　　（作者单位 江西省吉安县第二中学）