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摘 要：数感即对数（学）的感知与运用能力，表现为理解数的意义，多种方法表示数，明确数的大小关系，能用数来表达和交流信息，为解决问题选择合适的方法，估算结果并对结果做出合理性的解释。文章运用发展心理学的基本原理，以运算为视角，对学生数学学习心理展开分析，以运算教学为主要研究对象，通过对问题开放性、合作竞争、认知和记忆策略的描述，以及对学生在运算中的积极方式进行对比，探讨合适的运算教学对学生数感培养的促进和推动作用。
关键词：小学数学；数感；运算；发展心理学；元认知；元记忆
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）26-0056-02
一、前言
数感，即对数（学）的感知与运用能力，中小学阶段主要表现为：理解数的意义，多种方法表示数，明确数的大小关系，能用数来表达和交流信息，为解决问题选择合适的方法，估算结果并对结果做出合理性解释。数感研究始于上世纪70年代，在扩展学生课堂参与度、积极营造数学情境、利用身边具体形象和实践活动进行感悟等方面做了探索并取得了较好的应用性成果。
处于具体运算阶段的学生，数感特征中感受性的强弱，绝对阈限的高低，直接作用着数学学习思维的发展以及各学科抽象逻辑的应用水平。其对多少、远近、大小等的清晰敏锐度也是洞察力和判断力的心理基础。小学阶段贯穿始末的“运算教学”则是数感培育最直接、最有效的渠道，也是最广阔的平台。这个阶段的运算包含了数之间的关系，加减乘除计算，结合具体情境的估算和解释，灵活使用不同方法解决生活中简单的问题，并对结果进行合理性判断。无论从哪方面讲，运算在数感培养中有其不可或缺性。运算的习得与熟练，对数的思维体系和意识能力系统化发展提供了基础保障。
儿童时期的孩子，思维获得了飞跃发展，特别是逻辑思维开始逐渐成熟，抽象思维逐步占据主导，推理系统化，并逐步掌握了守恒，思维具备了可逆性，补偿意识开始萌芽，这些都为数感的加强奠定了心理基础。当然，本文跳出了皮亚杰的阶段认知理论的圈圈，借助发展心理学的相关理论，重点研究小学阶段运算的教与学，对“问题、竞争、认知、记忆、错误”进行探讨，要解决的是由运算带动数感在正常发展中提升的问题（表1）。
img src="http://img1.qikan.com/qkimages/cczl/cczl201726/cczl20172652-1-l.jpg" alt="" />
二、开放问题设计，增强问题的逻辑性
儿童以具体形象思维为主，乐于以直观来理解抽象。此时在运算的教学实际中，教师通常采用先建立数学模型，然后在数数中内化知识，最后再通过运用口诀或简单经验解决问题的模式。至四年级后，形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡。此时，对学生运算能力的训练，是发掘学生巨大潜力和促进学生思维能力发展的最佳手段。这既体现学生在解决实际问题中对理解性和自由性的期待，又能帮助学生借助成功来“获得勤奋感，克服自卑感”，从而完善自己的品格。
在教学“两步计算应用题”时，本文作者曾在所教的两个班级运用了不同的方法。A班，例题：王老师带着500元去买篮球，每只165元，买了3只，还剩多少元？学生独立列式计算，教师指名汇报，集体进行校对、讲评。接着再依次出示几道题，学生基本掌握了此类问题的解法。B班，相同例题，学生依旧独立列式解答，教师讲评。接着，教师板书列式：500-（165×3），让学生自己编出四道这样列式的应用题。学生独立编写，教师指名汇报，教师再相机点评。可以说，B班同学的问题五花八门甚至稀奇古怪，但从思维角度来讲，B班的多样性足以让每个学生体会身边数（学）的丰富，感受数（学）的能量，而对数（学）产生潜意识中的高认可度与接受性，提升了对数的感受性。
不仅在解决问题阶段，在运算的初始建模中，多样性对于方法和自我思维方向的选择，扩大开放性依然是很有效的。例如，菜市场的老大娘未必对数学的计算法则和简便方法有过认知，却在称出斤两后迅速地告知你该付多少，尔后又找零多少，而此时的顾客往往落后于他们的反应。或许有人归功于他们的记忆，但菜价与斤两是两个变量，况且也不太可能在事前列算过相关结果，背诵并不现实。其实，菜市场里的每个人不约而同有着自己的一套成熟的计算模式且运用自如。在此，可简称个性算法。在这样的计算理念中，往往不需要过多的原理，只是自己喜欢，用来顺手，结果正确。不可否认，他们对数的感觉，至少在敏锐度方面是领先的。学生特别是中高年级的学生，是否也能有机会在运算问题中、在日常的练习过程中充分发挥个性算法，驾轻就熟，得出正确结果，解释出结果的合理性呢？教育学者们喜欢对此冠以“张扬个性，释放天性”来褒奖，而教师则只是思考过程中的道理，以及达到目标方式与现有规则的融合。当然，这一点在现在的教学实际中是有遗憾的，因为很少有在校学生有着各式创新思维方式而被鼓励使用甚至加以推广的。虽然网上也曾有过相关统计，运算灵活度高的孩子其思维的可逆性与演绎推理能力的发展要远远快于“死算”的孩子。
三、强化在合作环境下的竞争意识
比起合作，竞争更带有明显的主观能动性与创新意识，并伴随着坚强的意志及强烈的成功欲望。在小学阶段，运算是竞争的最好“格斗场”。不论是日常普遍开展的口算速算这些纯结果类的比拼，还是解读多方法、探究性问題思路的较劲，潜移默化中学生将原有的对数（学）的理解应用图式在做着各种不同的有效的优化与组合，加速了他们日后对问题切入点的把握，他们也更乐于去记下这些证明了自己能力的方法，或是可以记下别人赢取优势的过程，并引以为鉴，这样形成的更多专属个人的认知方法和记忆策略是很重要的。在童年期儿童逻辑推理类别体系化形成初期，这无疑是很好的范式。
在教学第十册“公倍数与公因数”时，教师对竞争的应用非常频繁。由于内容本身是建立在整数乘除法之上，也不涉及更多其他知识基础，所以学生参与面很大，积极度也高。在这个过程中老师始终是设计与仲裁的角色，期间的理解、寻找方法、计算、验证、比对均由孩子们自己完成。挑战这个以往错误率超过30%的单元需要勇气，但竞争给了学生动力，部分学生特别是学困生在失利一两次后也在总结方法，在集中注意力指向的过程中，对数的理解和原概念技能的重组捋清了复杂思维脉络。 当然，竞争中的机械训练或训练强度过大，片面强调解题技巧，忽视通性算法都有可能造成学生思维跑偏，钻牛角尖以及“被放弃”。这时，由于这个年龄段孩子尚无清晰的辩证思维，抽象本质思维水平还处在摸索阶段，教师必须随时调整策略，对问题和方法适当矫正，或分散难度或有效迁移，使学生达到准确掌握知识和技能的要求。
四、有效形成元认知与元记忆
7岁～12岁的儿童，其记忆容量已接近成人水平，又是认知与记忆的密集期和形成期，此时，对于增加“库存量”显然是必要的。本文作者在学习圆周率时，老师就曾将“3.14159265358979”描述成“山顶一狮一虎救二鹿舞三舞把酒吃酒”，以致迄今都记忆犹新。运算的认知能力、运算过程方法的记忆和记忆方法，对提高学生的理解力、判断力和推理能力至关重要，特别是其中的估算和问题简化技巧，对推动主动化认知是相当明显的。当人们的大脑皮层接收指令完成相应发展多变的运算时，调动了更多细胞体神经合作参与，其中整个协调和识别系统的影响是最大的，他们对不断重复的经过产生习惯化，并纳入条件反射系统，服务于更高级的认知与思维。创新意识、辨析求证等高阶数感，便在这样的基础上深化发展。同样，元记忆的积累也在综合各组织的有效管理，以开发和利用更大容量记忆资源。因此，整个小学阶段，利用多种形式和难度的运算来刺激学生，并鼓励其对认知方法和记忆策略进行自我个性化改造，在正确有效的前提下加以推广和加工，不仅是操作性极强的教学方式，也是符合该年龄段孩子好奇心与求知欲的合理学法。作为教师，在引导学生有意注意的同时，还要把握运算中的关键节点，适当提醒复述，将瞬时记忆和短时记忆的内容转化为长时记忆，增大学生知识技能容量，使学生在把握价值取向中体会数的实用性，领悟数的美感。但过于注重学生记忆的发展，看重认知效率，结果也会不太理想。在日常化的“数”的接触中，教师把“数”教“活”的想法，同样对于自我意识逐渐增强的学生起着促进发展的特殊作用。数感的培养是一个过程，重点则在效果的渐渐体现。
学生到了高年级阶段，开始有了自己的想法并尝试提出质疑，特别是当教师的单一模式教学大量重复后，会被学生抵触。本文作者在2016年毕业班的教学中，考前加大练习力度，反复以往的操作，非但无助于结果的改善，学生反而情绪低落造成其他问题的出现。效率与效果在小学阶段特别是运算类教学中基本呈倒“U”型关系（表2）。
五、结束语
综上所述，本文运用发展心理学的基本原理，以运算为视角，对学生数学学习心理展开分析，以小学阶段的运算教学为主要研究对象，通过对问题开放性、合作竞争、认知和记忆策略的描述，以及对学生在运算中的积极方式进行对比，探讨了合适的运算教学法对学生数感培养的促进和推动作用，有助于学生解决问题能力和创造性思维能力的提高。
参考文献：
[1]彭聃龄.普通心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]何忠贤，彭伟强.高效课堂教学与数学能力的培养[M].北京：中国书籍出版社.2011.
[3]孔凡哲，曾崢.数学学习心理学：第2版[M].北京：北京大学出版社，2009.
[4]刘晓琳，黄荣怀.从知识走向智慧：真实学习视域中的智慧教育[J].中国电化教育，2016（03）.
[5]吴向东.创客教育：从知识传承到知识创造[J].中小学信息技术教育，2015（07）.
[6]道靖.认知心理学视角下的卓越小学数学教师的几何素养[J].赤峰学院学报：自然科学版，2016（15）.
关键词：小学数学；数感；运算；发展心理学；元认知；元记忆
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）26-0056-02
一、前言
数感，即对数（学）的感知与运用能力，中小学阶段主要表现为：理解数的意义，多种方法表示数，明确数的大小关系，能用数来表达和交流信息，为解决问题选择合适的方法，估算结果并对结果做出合理性解释。数感研究始于上世纪70年代，在扩展学生课堂参与度、积极营造数学情境、利用身边具体形象和实践活动进行感悟等方面做了探索并取得了较好的应用性成果。
处于具体运算阶段的学生，数感特征中感受性的强弱，绝对阈限的高低，直接作用着数学学习思维的发展以及各学科抽象逻辑的应用水平。其对多少、远近、大小等的清晰敏锐度也是洞察力和判断力的心理基础。小学阶段贯穿始末的“运算教学”则是数感培育最直接、最有效的渠道，也是最广阔的平台。这个阶段的运算包含了数之间的关系，加减乘除计算，结合具体情境的估算和解释，灵活使用不同方法解决生活中简单的问题，并对结果进行合理性判断。无论从哪方面讲，运算在数感培养中有其不可或缺性。运算的习得与熟练，对数的思维体系和意识能力系统化发展提供了基础保障。
儿童时期的孩子，思维获得了飞跃发展，特别是逻辑思维开始逐渐成熟，抽象思维逐步占据主导，推理系统化，并逐步掌握了守恒，思维具备了可逆性，补偿意识开始萌芽，这些都为数感的加强奠定了心理基础。当然，本文跳出了皮亚杰的阶段认知理论的圈圈，借助发展心理学的相关理论，重点研究小学阶段运算的教与学，对“问题、竞争、认知、记忆、错误”进行探讨，要解决的是由运算带动数感在正常发展中提升的问题（表1）。
img src="http://img1.qikan.com/qkimages/cczl/cczl201726/cczl20172652-1-l.jpg" alt="" />
二、开放问题设计，增强问题的逻辑性
儿童以具体形象思维为主，乐于以直观来理解抽象。此时在运算的教学实际中，教师通常采用先建立数学模型，然后在数数中内化知识，最后再通过运用口诀或简单经验解决问题的模式。至四年级后，形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡。此时，对学生运算能力的训练，是发掘学生巨大潜力和促进学生思维能力发展的最佳手段。这既体现学生在解决实际问题中对理解性和自由性的期待，又能帮助学生借助成功来“获得勤奋感，克服自卑感”，从而完善自己的品格。
在教学“两步计算应用题”时，本文作者曾在所教的两个班级运用了不同的方法。A班，例题：王老师带着500元去买篮球，每只165元，买了3只，还剩多少元？学生独立列式计算，教师指名汇报，集体进行校对、讲评。接着再依次出示几道题，学生基本掌握了此类问题的解法。B班，相同例题，学生依旧独立列式解答，教师讲评。接着，教师板书列式：500-（165×3），让学生自己编出四道这样列式的应用题。学生独立编写，教师指名汇报，教师再相机点评。可以说，B班同学的问题五花八门甚至稀奇古怪，但从思维角度来讲，B班的多样性足以让每个学生体会身边数（学）的丰富，感受数（学）的能量，而对数（学）产生潜意识中的高认可度与接受性，提升了对数的感受性。
不仅在解决问题阶段，在运算的初始建模中，多样性对于方法和自我思维方向的选择，扩大开放性依然是很有效的。例如，菜市场的老大娘未必对数学的计算法则和简便方法有过认知，却在称出斤两后迅速地告知你该付多少，尔后又找零多少，而此时的顾客往往落后于他们的反应。或许有人归功于他们的记忆，但菜价与斤两是两个变量，况且也不太可能在事前列算过相关结果，背诵并不现实。其实，菜市场里的每个人不约而同有着自己的一套成熟的计算模式且运用自如。在此，可简称个性算法。在这样的计算理念中，往往不需要过多的原理，只是自己喜欢，用来顺手，结果正确。不可否认，他们对数的感觉，至少在敏锐度方面是领先的。学生特别是中高年级的学生，是否也能有机会在运算问题中、在日常的练习过程中充分发挥个性算法，驾轻就熟，得出正确结果，解释出结果的合理性呢？教育学者们喜欢对此冠以“张扬个性，释放天性”来褒奖，而教师则只是思考过程中的道理，以及达到目标方式与现有规则的融合。当然，这一点在现在的教学实际中是有遗憾的，因为很少有在校学生有着各式创新思维方式而被鼓励使用甚至加以推广的。虽然网上也曾有过相关统计，运算灵活度高的孩子其思维的可逆性与演绎推理能力的发展要远远快于“死算”的孩子。
三、强化在合作环境下的竞争意识
比起合作，竞争更带有明显的主观能动性与创新意识，并伴随着坚强的意志及强烈的成功欲望。在小学阶段，运算是竞争的最好“格斗场”。不论是日常普遍开展的口算速算这些纯结果类的比拼，还是解读多方法、探究性问題思路的较劲，潜移默化中学生将原有的对数（学）的理解应用图式在做着各种不同的有效的优化与组合，加速了他们日后对问题切入点的把握，他们也更乐于去记下这些证明了自己能力的方法，或是可以记下别人赢取优势的过程，并引以为鉴，这样形成的更多专属个人的认知方法和记忆策略是很重要的。在童年期儿童逻辑推理类别体系化形成初期，这无疑是很好的范式。
在教学第十册“公倍数与公因数”时，教师对竞争的应用非常频繁。由于内容本身是建立在整数乘除法之上，也不涉及更多其他知识基础，所以学生参与面很大，积极度也高。在这个过程中老师始终是设计与仲裁的角色，期间的理解、寻找方法、计算、验证、比对均由孩子们自己完成。挑战这个以往错误率超过30%的单元需要勇气，但竞争给了学生动力，部分学生特别是学困生在失利一两次后也在总结方法，在集中注意力指向的过程中，对数的理解和原概念技能的重组捋清了复杂思维脉络。 当然，竞争中的机械训练或训练强度过大，片面强调解题技巧，忽视通性算法都有可能造成学生思维跑偏，钻牛角尖以及“被放弃”。这时，由于这个年龄段孩子尚无清晰的辩证思维，抽象本质思维水平还处在摸索阶段，教师必须随时调整策略，对问题和方法适当矫正，或分散难度或有效迁移，使学生达到准确掌握知识和技能的要求。
四、有效形成元认知与元记忆
7岁～12岁的儿童，其记忆容量已接近成人水平，又是认知与记忆的密集期和形成期，此时，对于增加“库存量”显然是必要的。本文作者在学习圆周率时，老师就曾将“3.14159265358979”描述成“山顶一狮一虎救二鹿舞三舞把酒吃酒”，以致迄今都记忆犹新。运算的认知能力、运算过程方法的记忆和记忆方法，对提高学生的理解力、判断力和推理能力至关重要，特别是其中的估算和问题简化技巧，对推动主动化认知是相当明显的。当人们的大脑皮层接收指令完成相应发展多变的运算时，调动了更多细胞体神经合作参与，其中整个协调和识别系统的影响是最大的，他们对不断重复的经过产生习惯化，并纳入条件反射系统，服务于更高级的认知与思维。创新意识、辨析求证等高阶数感，便在这样的基础上深化发展。同样，元记忆的积累也在综合各组织的有效管理，以开发和利用更大容量记忆资源。因此，整个小学阶段，利用多种形式和难度的运算来刺激学生，并鼓励其对认知方法和记忆策略进行自我个性化改造，在正确有效的前提下加以推广和加工，不仅是操作性极强的教学方式，也是符合该年龄段孩子好奇心与求知欲的合理学法。作为教师，在引导学生有意注意的同时，还要把握运算中的关键节点，适当提醒复述，将瞬时记忆和短时记忆的内容转化为长时记忆，增大学生知识技能容量，使学生在把握价值取向中体会数的实用性，领悟数的美感。但过于注重学生记忆的发展，看重认知效率，结果也会不太理想。在日常化的“数”的接触中，教师把“数”教“活”的想法，同样对于自我意识逐渐增强的学生起着促进发展的特殊作用。数感的培养是一个过程，重点则在效果的渐渐体现。
学生到了高年级阶段，开始有了自己的想法并尝试提出质疑，特别是当教师的单一模式教学大量重复后，会被学生抵触。本文作者在2016年毕业班的教学中，考前加大练习力度，反复以往的操作，非但无助于结果的改善，学生反而情绪低落造成其他问题的出现。效率与效果在小学阶段特别是运算类教学中基本呈倒“U”型关系（表2）。
五、结束语
综上所述，本文运用发展心理学的基本原理，以运算为视角，对学生数学学习心理展开分析，以小学阶段的运算教学为主要研究对象，通过对问题开放性、合作竞争、认知和记忆策略的描述，以及对学生在运算中的积极方式进行对比，探讨了合适的运算教学法对学生数感培养的促进和推动作用，有助于学生解决问题能力和创造性思维能力的提高。
参考文献：
[1]彭聃龄.普通心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]何忠贤，彭伟强.高效课堂教学与数学能力的培养[M].北京：中国书籍出版社.2011.
[3]孔凡哲，曾崢.数学学习心理学：第2版[M].北京：北京大学出版社，2009.
[4]刘晓琳，黄荣怀.从知识走向智慧：真实学习视域中的智慧教育[J].中国电化教育，2016（03）.
[5]吴向东.创客教育：从知识传承到知识创造[J].中小学信息技术教育，2015（07）.
[6]道靖.认知心理学视角下的卓越小学数学教师的几何素养[J].赤峰学院学报：自然科学版，2016（15）.