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一、双杆+导轨的基本特点和规律
情景 如图1，宽为[l]的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中. 质量为[m]、电阻为[r]的导体从高[h]处由静止开始滑下，而且与原来静止在水平轨道上质量为[M]、电阻为[R]的导体始终没有碰撞.
图1
1. 电路特点
两导体同方向运动，开始电动势较大的等效为发电机（电源）；电动势较小的等效为电动机.
2. 电流特点
导体[m]进入磁场切割磁感线，产生感应电动势，回路中形成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体[M]也同向运动，产生反电动势. 根据欧姆定律，电路中的电流[I=Blvm-BlvMR+r=Bl(vm-vM)R+r].
电流随两导体的相对速度[vm-vM]的减小而减小. 当[vM=0]时，电流最大. 当[vm=vM]时，电流[I=0].
3. 安培力、加速度特点
安培力对导体[m]为阻力，对导体[M]为动力，在轨道宽度不变的情况下，两边的安培力大小相等，方向相反，即外力之和为零，系统动量守恒.
安培力的大小[FB=BIl=B2l2(vm-vM)R+r]，随两导体的相对速度[vm-vM]的减小而减小. 当[vM=0]时，安培力最大. 当[vm=vM]时，安培力[FB=0]，由牛顿第二定律，可知加速度[a]随安培力的变化而变化.
4. 速度极值
由机械能守恒定律，导体[m]进入水平轨道时速度的最大值[vmax=v0=2gh].
当两者达到共同速度时，导体[m]的速度达到最小值，导体[M]的速度达最大值. 根据系统动量守恒，有[mv0=(m+M)vv=mv0m+M]
5. 全过程系统产生的热量
当相对速度为零，即[vm=vM=v]时，电流为零，回路不再消耗电能——两导体开始以共同速度[v]匀速运动，全过程中由能量转化和守恒规律，有
[mgh=12(m+M)v2+Q]
系统产生的热量为
[Q=mgh-12(m+M)v2=Mmghm+M]
例1 两根相距为[L]的足够长的金属直角导轨如图2放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为[m]的金属细杆[ab]、[cd]与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数[μ]，导轨电阻不计，回路总电阻为[2R]，整个装置处于磁感应强度大小为[B]、方向竖直向上的匀强磁场中．当[ab]杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，[cd]杆也正好以某一速度向下做匀速运动. 设运动过程中金属细杆[ab]、[cd]与导轨接触良好，重力加速度为[g]. 求：
图2
（1）[ab]杆匀速运动的速度[v1]；
（2）[ab]杆所受拉力[F]；
（3）[ab]杆以[v1]匀速运动时，[cd]杆以[v2]（[v2]已知）匀速运动，则在[cd]杆向下运动[h]过程中，整个回路中产生的焦耳热．
解析 （1）[ab]杆向右运动时，[ab]杆中产生的感应电动势[E=BLv1] ，方向为[a→b]， [cd]杆中的感应电流方向为[d→c]，[cd]杆受到的安培力[F安=BIL=BLBLv12R=B2L2v12R]， 方向水平向右
[cd]杆向下匀速运动，有[mg=μF安]
解以上两式，得[ab]杆匀速运动的速度
[v1=2RmgμB2L2]
（2）[ab]杆所受拉力
[F=F安+μmg=B2L2v12R+μmg=(1+μ2μ)mg]
（3）设[cd]杆以速度[v2]向下运动[h]的过程中，[ab]杆匀速运动了[s]距离，有[sv1=hv2=t]， 得[s=hv1v2]
整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功[Q=F安s=B2L2v1s2R=B2L2v12R⋅hv1v2=2(mg)2hRμ2v2B2L2]
二、“电容、杆+导轨”的基本特点和规律
情景 如图3，光滑水平轨道的间距为[l]，处在大小为[B]、方向竖直向上的匀强磁场中. 导轨上皆有电动势为[E]的电源和电容为[C]的电容器，一根质量为[m]的导体静止在导轨上，若将单刀双掷开关[S]先掷于位置1，对电容器充电；然后掷于位置2，让电容器放电.
图3
1. 电流特点
当电容器对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直到电流为零为止.
2. 运动特点
导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当电流为零时，速度达到最大值，然后开始做匀速运动.
3. 匀速运动的条件
电流[I=0]，即导体的反电动势等于电容器的电压[U=E反=Blvm]
电容器的充电电压为[E]，放电过程中电压降低；导体在加速过程中速度增加，电动势增大. 当导体中的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，导体开始以最大速度[vm]匀速运动.
4. 最大速度的计算
根据电容器的充电电量为[Q0=CE]，放电结束时的电量为[Q=CU=CBlvm]
电容器放电结束时的电量
[ΔQ=Q0－Q=CE－CBlvm ]
根据动量定理，有
[mvm=ΣFΔt=ΣBi lΔt=BlΔQ]
导体的最大速度为[vm=BlCEm+CB2l2]
根据动量定理和动能定理，安培力对导体的冲量
[I=mvm=mBClEm+CB2l2]
安培力对做的功[W=12mv2m=m(BlCE)22(m+CB2l2)2]
例2 如图4，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为[L]，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器[R]）、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关K相连. 整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为[B]. 一质量为[m]，电阻不计的金属棒[ab]横跨在导轨上. 已知电源电动势为[E]，内阻为[r]，电容器的电容为[C]，定值电阻的阻值为[R0]，不计导轨的电阻.
（1）当K接1时，金属棒[ab]在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值[R]多大？
（2）当K接2后，金属棒[ab]从静止开始下落，下落距离[s]时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落[s]的过程中所需的时间为多少？
（3）先把开关K接通2，待[ab]达到稳定速度后，再将开关K接到3. 试通过推导，说明[ab]棒此后的运动性质如何？求[ab]再下落距离[s]时，电容器储存的电能是多少？（设电容器不漏电，此时电容器还没有被击穿）
解析 （1）由[BIL=mg]，[I=ER+r]
得[R=EBLmg-r]
（2）由[mg=B2L2vR0]，得[v=mgR0B2L2]
由动量定理，有[mgt-BILt=mv]
其中[It]=[q=BLsR0]
得[t=B2L2smgR0+mR0B2L2]（或[B4L4s+m2gR02mgR0B2L2]）
（3）K接3后的充电电流
[I=ΔqΔt=CΔUΔt=CBLΔvΔt=CBLΔvΔt=CBLa]
[mg-BIL=ma]
得[a=mgm+CB2L2]=常数，所以[ab]棒的运动性质是“匀加速直线运动”，电流是恒定的.
由[v22-v2=2as]，根据能量转化与守恒，得
[ΔE=mgs-(12mv22-12mv2)][=mgs-m2gsm+CB2L2]
（或[mgsCB2L2m+CB2L2]）
情景 如图1，宽为[l]的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中. 质量为[m]、电阻为[r]的导体从高[h]处由静止开始滑下，而且与原来静止在水平轨道上质量为[M]、电阻为[R]的导体始终没有碰撞.
图1
1. 电路特点
两导体同方向运动，开始电动势较大的等效为发电机（电源）；电动势较小的等效为电动机.
2. 电流特点
导体[m]进入磁场切割磁感线，产生感应电动势，回路中形成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体[M]也同向运动，产生反电动势. 根据欧姆定律，电路中的电流[I=Blvm-BlvMR+r=Bl(vm-vM)R+r].
电流随两导体的相对速度[vm-vM]的减小而减小. 当[vM=0]时，电流最大. 当[vm=vM]时，电流[I=0].
3. 安培力、加速度特点
安培力对导体[m]为阻力，对导体[M]为动力，在轨道宽度不变的情况下，两边的安培力大小相等，方向相反，即外力之和为零，系统动量守恒.
安培力的大小[FB=BIl=B2l2(vm-vM)R+r]，随两导体的相对速度[vm-vM]的减小而减小. 当[vM=0]时，安培力最大. 当[vm=vM]时，安培力[FB=0]，由牛顿第二定律，可知加速度[a]随安培力的变化而变化.
4. 速度极值
由机械能守恒定律，导体[m]进入水平轨道时速度的最大值[vmax=v0=2gh].
当两者达到共同速度时，导体[m]的速度达到最小值，导体[M]的速度达最大值. 根据系统动量守恒，有[mv0=(m+M)vv=mv0m+M]
5. 全过程系统产生的热量
当相对速度为零，即[vm=vM=v]时，电流为零，回路不再消耗电能——两导体开始以共同速度[v]匀速运动，全过程中由能量转化和守恒规律，有
[mgh=12(m+M)v2+Q]
系统产生的热量为
[Q=mgh-12(m+M)v2=Mmghm+M]
例1 两根相距为[L]的足够长的金属直角导轨如图2放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为[m]的金属细杆[ab]、[cd]与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数[μ]，导轨电阻不计，回路总电阻为[2R]，整个装置处于磁感应强度大小为[B]、方向竖直向上的匀强磁场中．当[ab]杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，[cd]杆也正好以某一速度向下做匀速运动. 设运动过程中金属细杆[ab]、[cd]与导轨接触良好，重力加速度为[g]. 求：
图2
（1）[ab]杆匀速运动的速度[v1]；
（2）[ab]杆所受拉力[F]；
（3）[ab]杆以[v1]匀速运动时，[cd]杆以[v2]（[v2]已知）匀速运动，则在[cd]杆向下运动[h]过程中，整个回路中产生的焦耳热．
解析 （1）[ab]杆向右运动时，[ab]杆中产生的感应电动势[E=BLv1] ，方向为[a→b]， [cd]杆中的感应电流方向为[d→c]，[cd]杆受到的安培力[F安=BIL=BLBLv12R=B2L2v12R]， 方向水平向右
[cd]杆向下匀速运动，有[mg=μF安]
解以上两式，得[ab]杆匀速运动的速度
[v1=2RmgμB2L2]
（2）[ab]杆所受拉力
[F=F安+μmg=B2L2v12R+μmg=(1+μ2μ)mg]
（3）设[cd]杆以速度[v2]向下运动[h]的过程中，[ab]杆匀速运动了[s]距离，有[sv1=hv2=t]， 得[s=hv1v2]
整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功[Q=F安s=B2L2v1s2R=B2L2v12R⋅hv1v2=2(mg)2hRμ2v2B2L2]
二、“电容、杆+导轨”的基本特点和规律
情景 如图3，光滑水平轨道的间距为[l]，处在大小为[B]、方向竖直向上的匀强磁场中. 导轨上皆有电动势为[E]的电源和电容为[C]的电容器，一根质量为[m]的导体静止在导轨上，若将单刀双掷开关[S]先掷于位置1，对电容器充电；然后掷于位置2，让电容器放电.
图3
1. 电流特点
当电容器对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直到电流为零为止.
2. 运动特点
导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当电流为零时，速度达到最大值，然后开始做匀速运动.
3. 匀速运动的条件
电流[I=0]，即导体的反电动势等于电容器的电压[U=E反=Blvm]
电容器的充电电压为[E]，放电过程中电压降低；导体在加速过程中速度增加，电动势增大. 当导体中的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，导体开始以最大速度[vm]匀速运动.
4. 最大速度的计算
根据电容器的充电电量为[Q0=CE]，放电结束时的电量为[Q=CU=CBlvm]
电容器放电结束时的电量
[ΔQ=Q0－Q=CE－CBlvm ]
根据动量定理，有
[mvm=ΣFΔt=ΣBi lΔt=BlΔQ]
导体的最大速度为[vm=BlCEm+CB2l2]
根据动量定理和动能定理，安培力对导体的冲量
[I=mvm=mBClEm+CB2l2]
安培力对做的功[W=12mv2m=m(BlCE)22(m+CB2l2)2]
例2 如图4，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为[L]，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器[R]）、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关K相连. 整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为[B]. 一质量为[m]，电阻不计的金属棒[ab]横跨在导轨上. 已知电源电动势为[E]，内阻为[r]，电容器的电容为[C]，定值电阻的阻值为[R0]，不计导轨的电阻.
（1）当K接1时，金属棒[ab]在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值[R]多大？
（2）当K接2后，金属棒[ab]从静止开始下落，下落距离[s]时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落[s]的过程中所需的时间为多少？
（3）先把开关K接通2，待[ab]达到稳定速度后，再将开关K接到3. 试通过推导，说明[ab]棒此后的运动性质如何？求[ab]再下落距离[s]时，电容器储存的电能是多少？（设电容器不漏电，此时电容器还没有被击穿）
解析 （1）由[BIL=mg]，[I=ER+r]
得[R=EBLmg-r]
（2）由[mg=B2L2vR0]，得[v=mgR0B2L2]
由动量定理，有[mgt-BILt=mv]
其中[It]=[q=BLsR0]
得[t=B2L2smgR0+mR0B2L2]（或[B4L4s+m2gR02mgR0B2L2]）
（3）K接3后的充电电流
[I=ΔqΔt=CΔUΔt=CBLΔvΔt=CBLΔvΔt=CBLa]
[mg-BIL=ma]
得[a=mgm+CB2L2]=常数，所以[ab]棒的运动性质是“匀加速直线运动”，电流是恒定的.
由[v22-v2=2as]，根据能量转化与守恒，得
[ΔE=mgs-(12mv22-12mv2)][=mgs-m2gsm+CB2L2]
（或[mgsCB2L2m+CB2L2]）