论文部分内容阅读
[摘 要]通过对“三角形三边的关系”这节课教学的重新推敲、设计，我们一直思考：到底怎样才能让学生经历有效的课堂学习呢？我们认为有效的方法应该是教师结合学生的生活实际，精心安排学习流程，引导学生有效地进行数学思考。
[关键词]数学教学 思维 教学设想 教学片断 问题
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-022
困惑与问题提出：
“三角形三边的关系”是人教版数学教材四年级“三角形”单元中第二课时的教学内容，是在学生初步了解三角形意义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边之和大于第三边。从我们收集到的教学资料（如设计、实录、评析等）来看，许多专家学者与名师大都按以下的思路进行教学设计和执教：首先从操作入手，让学生通过摆小棒活动发现并判断是不是“任意的三条线段可以围成三角形”，在得到“不是”这一结论后，再去研究“满足什么条件的三条线段才能围成三角形”这一问题。学生在研究时要先从反例入手，明白“任意的三条线段不能围成三角形的原因是因为其中的两条线段长度之和没有大于第三条线段的长”，继而研究“能围成三角形的三条线段的长度之间有怎样关系”的问题。平心而论，这种以引导学生开展探究活动为主的教学方式若运用得当，确实能收到较好的教学效果。可在实际的课堂教学中，许多教师借鉴这种方式进行教学时却出现了学生对活动中的问题不明、目的不清和操作混乱等问题，最后导致教学因时间关系只能草草收场。
这些问题引起了许多学者和一线教师的疑惑，主要有以下两个方面：第一，从学习课题的名称来思考，这节课学习和研究的重点应该是“在一个三角形内三条边的长度应该满足怎样的关系”，而不是重点研究“满足怎样条件的三条线段（或小棒）可以围成三角形”，或者说应该推敲这两个知识点在教学中的主次应该怎么样安排。第二，从学生的学习过程来看，这样的教学对学生的思维水平要求过高。特别是在思考问题的过程中要经历的转折太多，既要发现有的小棒组合不能围成三角形，又要明白其中的原因；既要探索三条线段能围成三角形的条件，又要说明三角形中三边的关系。学生经历这样的学习过程后，有可能对本应重点理解的三角形三边关系反倒是模糊。其实，不仅是学生，就连教师在平常教学中也经常忽视条件与命题之间的关系，如有教师命制的考题“一个三角形的三条边分别是1、1、2，请判断它能围成三角形吗”就让众人目瞪口呆。
为此，我们提出这个课例的教学问题并不是要否定上述的教学方式，而是探究怎样设计更为简洁的教学流程，让学生的思维过程更加顺其自然。所以，我们不妨再通过研读和分析教材，寻找和推敲相对简约版的教学设计。
分析与教学设想：
在人教版新修订的四年级数学教材中，先是出示一个情境图（小明家、学校、邮局和商店的路线图），再用学生的语言说出自己的体会与困惑，并用文字说明了“两点间连线”“线段”“最短”和“距离”等事实与概念。这就给我们提供了一种教学思路：先从学生的生活现实出发，引导他们关注一个事实（近路与距离），再将其抽象成一个数学问题（三角形三边的关系）进行研究；然后借助画三角形和量、算其边长数据及简单的比较研究等活动，通过归纳得到相应的结论；接着利用摆小棒的活动，进一步说明结论的正确性，让学生理解“满足怎样条件的三条线段能围成三角形”这一知识点；最后通过练习和巩固，解决简单的问题。按这种教学思路，学生的思维主要经历从生活经验的提取到数学原理被发现的抽象过程，从研究若干个三角形的特殊例证到一般结论被证实的归纳过程，从而显得更为简单和自然。当然，这些仅是设想，还需要实践。
1.提取生活经验，引出学习课题
首先出示课本情境图，提出“从小明家到学校有几条路”“哪一条路最近呢”“说说你的理由”等问题，引发学生的思考和交流，并鼓励学生结合生活经验用自己的话来描述走拐弯的路远、走直路近，初步感悟两点间所有的连线中线段最短，然后给出“这条线段的长度叫做两点间的距离”等数学概念。
教学片断：
师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪一条路最近？
生1：有三条路可走，走中间这条路最近。
师：为什么？
生2：走拐弯的路远，走直路近。
师：其实，这里的“路近”“直路”就是数学中所说“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”的知识。
……
2.实施数学抽象，提出数学问题
接下来通过两次数学抽象，即将实际情境抽象成三角形和将三角形三边的长度抽象成用字母表示，再根据事实经验和不等式，提出探究三角形三边之长有何关系的数学问题。
第一次抽象（通过板书演示）：连接小明家、商店、学校三地，可以近似地看成一个什么图形？连接小明家、邮局、学校三地，同样可以近似地看成一个什么图形？（这里要注意引导学生将家、学校等地抽象看成点，再连点成线得到三角形）
第二次抽象：给三角形三条边分别赋予字母a、b、c后，根据事实经验可以得到一组不等式，即a b>c、a c>b、b c>a，这实质上说明了“三角形中两条边的和要比第三边大（长）”。那么，是不是所有三角形的三条边都有这样的关系呢？由此引出探究三角形三边的长度应该有什么关系的数学问题。
教学片断：
师（指着画好的三角形）：如果用字母a、b、c分别表示三角形的三条边，根据刚才上学路线的远近想一想，这三条边的长度之间有什么关系？你们能用字母式表示吗？
生1：a b>c。
师：如果变化一下问题，问从小明家去邮局哪条路最近呢？想一想，在这个三角形中，我们又可以得到哪些关系呢？
生2：可以得到a c>b，b c>a。 师：我们找到的三组关系都说明了“在这个三角形中两边的和比第三边长”，那么这种现象是个别的还是在所有的三角形中都存在呢？这个问题值得我们去研究。
（引出课题）
……
3.画图计算比较，归纳得出结论
组织学生开展实践探究活动，要求同桌两人在草稿纸上先画出一个三角形，再量出三条边的长度填入表格中，然后根据数据计算出三角形任意两条边的和，并与第三条边的长度进行比较。接着让学生汇报交流探究的问题，通过每组学生的具体例证，引导学生归纳得出“在三角形中较短的两条边的和一定比第三边长”或“三角形中任意两边的和大于第三边”的结论。
教学片断：
（安排探究活动，要求同桌两人在草稿纸上先画一个三角形，再量出三条边的长度，然后填表计算和比较）
师：结合你们的探究来说说，在你们画的三角形中三条边的长度之间有着怎样的关系？
生1：三角形中两边的和大于第三边。
师：还可以怎么说？
生2：三角形中任意两边的和大于第三边。
……
4.借助操作明理，巩固拓展结论
虽然列举的例子都说明了三角形中三条边的关系，但我们无法列举完所有的三角形，因此我们不妨换一个思路来继续思考这个问题。课堂上，教师提供4根小棒，长度分别为2cm、2cm、1cm、4cm，要求学生从中任选三根，试摆出三角形开展研究。这样设计教学，使学生发现能围成三角形的三条边长关系符合前面得到的结论，对学生来说起到巩固结论的作用；对于不能围成三角形的情况，可适当引导学生结合小棒长度的关系说明原因即可，这样就起到完善结论的作用，同时可直接告诉学生这是判断三条边是否能围成三角形的基本方法。
教学片断：
师：我们再研究一组小棒（长度分别为1cm、2cm、4cm），通过试一试，大家知道它们不能围成一个三角形，你们怎么看待这个问题？
生1：感觉其中两条边加起来不够长。
师（用课件动态演示这组小棒围不成三角形的过程）：提醒大家特别注意，这组小棒的长度之间有什么特点？
生2：有两根小棒的长度之和小于另一根小棒的长度。
生3：这个时候它们（小棒）根本就不能围成三角形，所以它们更不可能是三角形的三条边。
师：那怎样改变这些小棒的长度，才能使它们围成三角形呢？（生思考）
师（应学生要求演示改变短边的长，如把1cm延长到3cm）：现在可以围成三角形了吗？（生答略）此时，它们各边的长度及关系又是怎样的呢？
生4：在围成的三角形中，任意两边的和大于第三边的长度。
师：通过这个活动，验证了我们前面所获得结论的正确性，即在一个三角形中任意两边的和都大于第三边的长度，其实这也是判断三条线段是否能围成三角形的方法。
……
[说明：这个环节是学生学习的难点，所以对于学习能力一般的学生，教学时可以在学生得到初步结论后，直接告诉他们这也可以作为判断三条线段是否能围成三角形的方法，从而降低学生的思维难度。]
5.尝试练习运用，解决简单问题
（1）完成基本练习。（略）
（2）给出两条不同长度的纸条，要将其中一条剪成2条，使得3条纸条能围成三角形，应该怎么做？
……
通过对“三角形三边的关系”这节课教学的重新推敲、设计，我们一直思考：到底怎样才能让学生经历有效的课堂学习呢？我们认为有效的方法应该是教师结合学生的生活实际，精心安排学习流程，引导学生有效地进行数学思考。如在上述简约版的教学设想中，“从生活经验中抽象出数学问题”的抽象思维引领、“从量、算边长研究具体的例证到归纳一般结论”的归纳思维方式的运用，以及“得到结论后运用结论解决简单问题”的演绎思维训练等，都是对实践“四基”理念的初步尝试。因此，在数学教学中，教师要特别注意对学生进行思维训练的科学性、辨证性，善于处理好教学中有关经验与新知、思考时顺序与难度、探究中主与次等要素的关系，努力提升常态教学的有效性。
（责编 杜 华）
[关键词]数学教学 思维 教学设想 教学片断 问题
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-022
困惑与问题提出：
“三角形三边的关系”是人教版数学教材四年级“三角形”单元中第二课时的教学内容，是在学生初步了解三角形意义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边之和大于第三边。从我们收集到的教学资料（如设计、实录、评析等）来看，许多专家学者与名师大都按以下的思路进行教学设计和执教：首先从操作入手，让学生通过摆小棒活动发现并判断是不是“任意的三条线段可以围成三角形”，在得到“不是”这一结论后，再去研究“满足什么条件的三条线段才能围成三角形”这一问题。学生在研究时要先从反例入手，明白“任意的三条线段不能围成三角形的原因是因为其中的两条线段长度之和没有大于第三条线段的长”，继而研究“能围成三角形的三条线段的长度之间有怎样关系”的问题。平心而论，这种以引导学生开展探究活动为主的教学方式若运用得当，确实能收到较好的教学效果。可在实际的课堂教学中，许多教师借鉴这种方式进行教学时却出现了学生对活动中的问题不明、目的不清和操作混乱等问题，最后导致教学因时间关系只能草草收场。
这些问题引起了许多学者和一线教师的疑惑，主要有以下两个方面：第一，从学习课题的名称来思考，这节课学习和研究的重点应该是“在一个三角形内三条边的长度应该满足怎样的关系”，而不是重点研究“满足怎样条件的三条线段（或小棒）可以围成三角形”，或者说应该推敲这两个知识点在教学中的主次应该怎么样安排。第二，从学生的学习过程来看，这样的教学对学生的思维水平要求过高。特别是在思考问题的过程中要经历的转折太多，既要发现有的小棒组合不能围成三角形，又要明白其中的原因；既要探索三条线段能围成三角形的条件，又要说明三角形中三边的关系。学生经历这样的学习过程后，有可能对本应重点理解的三角形三边关系反倒是模糊。其实，不仅是学生，就连教师在平常教学中也经常忽视条件与命题之间的关系，如有教师命制的考题“一个三角形的三条边分别是1、1、2，请判断它能围成三角形吗”就让众人目瞪口呆。
为此，我们提出这个课例的教学问题并不是要否定上述的教学方式，而是探究怎样设计更为简洁的教学流程，让学生的思维过程更加顺其自然。所以，我们不妨再通过研读和分析教材，寻找和推敲相对简约版的教学设计。
分析与教学设想：
在人教版新修订的四年级数学教材中，先是出示一个情境图（小明家、学校、邮局和商店的路线图），再用学生的语言说出自己的体会与困惑，并用文字说明了“两点间连线”“线段”“最短”和“距离”等事实与概念。这就给我们提供了一种教学思路：先从学生的生活现实出发，引导他们关注一个事实（近路与距离），再将其抽象成一个数学问题（三角形三边的关系）进行研究；然后借助画三角形和量、算其边长数据及简单的比较研究等活动，通过归纳得到相应的结论；接着利用摆小棒的活动，进一步说明结论的正确性，让学生理解“满足怎样条件的三条线段能围成三角形”这一知识点；最后通过练习和巩固，解决简单的问题。按这种教学思路，学生的思维主要经历从生活经验的提取到数学原理被发现的抽象过程，从研究若干个三角形的特殊例证到一般结论被证实的归纳过程，从而显得更为简单和自然。当然，这些仅是设想，还需要实践。
1.提取生活经验，引出学习课题
首先出示课本情境图，提出“从小明家到学校有几条路”“哪一条路最近呢”“说说你的理由”等问题，引发学生的思考和交流，并鼓励学生结合生活经验用自己的话来描述走拐弯的路远、走直路近，初步感悟两点间所有的连线中线段最短，然后给出“这条线段的长度叫做两点间的距离”等数学概念。
教学片断：
师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪一条路最近？
生1：有三条路可走，走中间这条路最近。
师：为什么？
生2：走拐弯的路远，走直路近。
师：其实，这里的“路近”“直路”就是数学中所说“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”的知识。
……
2.实施数学抽象，提出数学问题
接下来通过两次数学抽象，即将实际情境抽象成三角形和将三角形三边的长度抽象成用字母表示，再根据事实经验和不等式，提出探究三角形三边之长有何关系的数学问题。
第一次抽象（通过板书演示）：连接小明家、商店、学校三地，可以近似地看成一个什么图形？连接小明家、邮局、学校三地，同样可以近似地看成一个什么图形？（这里要注意引导学生将家、学校等地抽象看成点，再连点成线得到三角形）
第二次抽象：给三角形三条边分别赋予字母a、b、c后，根据事实经验可以得到一组不等式，即a b>c、a c>b、b c>a，这实质上说明了“三角形中两条边的和要比第三边大（长）”。那么，是不是所有三角形的三条边都有这样的关系呢？由此引出探究三角形三边的长度应该有什么关系的数学问题。
教学片断：
师（指着画好的三角形）：如果用字母a、b、c分别表示三角形的三条边，根据刚才上学路线的远近想一想，这三条边的长度之间有什么关系？你们能用字母式表示吗？
生1：a b>c。
师：如果变化一下问题，问从小明家去邮局哪条路最近呢？想一想，在这个三角形中，我们又可以得到哪些关系呢？
生2：可以得到a c>b，b c>a。 师：我们找到的三组关系都说明了“在这个三角形中两边的和比第三边长”，那么这种现象是个别的还是在所有的三角形中都存在呢？这个问题值得我们去研究。
（引出课题）
……
3.画图计算比较，归纳得出结论
组织学生开展实践探究活动，要求同桌两人在草稿纸上先画出一个三角形，再量出三条边的长度填入表格中，然后根据数据计算出三角形任意两条边的和，并与第三条边的长度进行比较。接着让学生汇报交流探究的问题，通过每组学生的具体例证，引导学生归纳得出“在三角形中较短的两条边的和一定比第三边长”或“三角形中任意两边的和大于第三边”的结论。
教学片断：
（安排探究活动，要求同桌两人在草稿纸上先画一个三角形，再量出三条边的长度，然后填表计算和比较）
师：结合你们的探究来说说，在你们画的三角形中三条边的长度之间有着怎样的关系？
生1：三角形中两边的和大于第三边。
师：还可以怎么说？
生2：三角形中任意两边的和大于第三边。
……
4.借助操作明理，巩固拓展结论
虽然列举的例子都说明了三角形中三条边的关系，但我们无法列举完所有的三角形，因此我们不妨换一个思路来继续思考这个问题。课堂上，教师提供4根小棒，长度分别为2cm、2cm、1cm、4cm，要求学生从中任选三根，试摆出三角形开展研究。这样设计教学，使学生发现能围成三角形的三条边长关系符合前面得到的结论，对学生来说起到巩固结论的作用；对于不能围成三角形的情况，可适当引导学生结合小棒长度的关系说明原因即可，这样就起到完善结论的作用，同时可直接告诉学生这是判断三条边是否能围成三角形的基本方法。
教学片断：
师：我们再研究一组小棒（长度分别为1cm、2cm、4cm），通过试一试，大家知道它们不能围成一个三角形，你们怎么看待这个问题？
生1：感觉其中两条边加起来不够长。
师（用课件动态演示这组小棒围不成三角形的过程）：提醒大家特别注意，这组小棒的长度之间有什么特点？
生2：有两根小棒的长度之和小于另一根小棒的长度。
生3：这个时候它们（小棒）根本就不能围成三角形，所以它们更不可能是三角形的三条边。
师：那怎样改变这些小棒的长度，才能使它们围成三角形呢？（生思考）
师（应学生要求演示改变短边的长，如把1cm延长到3cm）：现在可以围成三角形了吗？（生答略）此时，它们各边的长度及关系又是怎样的呢？
生4：在围成的三角形中，任意两边的和大于第三边的长度。
师：通过这个活动，验证了我们前面所获得结论的正确性，即在一个三角形中任意两边的和都大于第三边的长度，其实这也是判断三条线段是否能围成三角形的方法。
……
[说明：这个环节是学生学习的难点，所以对于学习能力一般的学生，教学时可以在学生得到初步结论后，直接告诉他们这也可以作为判断三条线段是否能围成三角形的方法，从而降低学生的思维难度。]
5.尝试练习运用，解决简单问题
（1）完成基本练习。（略）
（2）给出两条不同长度的纸条，要将其中一条剪成2条，使得3条纸条能围成三角形，应该怎么做？
……
通过对“三角形三边的关系”这节课教学的重新推敲、设计，我们一直思考：到底怎样才能让学生经历有效的课堂学习呢？我们认为有效的方法应该是教师结合学生的生活实际，精心安排学习流程，引导学生有效地进行数学思考。如在上述简约版的教学设想中，“从生活经验中抽象出数学问题”的抽象思维引领、“从量、算边长研究具体的例证到归纳一般结论”的归纳思维方式的运用，以及“得到结论后运用结论解决简单问题”的演绎思维训练等，都是对实践“四基”理念的初步尝试。因此，在数学教学中，教师要特别注意对学生进行思维训练的科学性、辨证性，善于处理好教学中有关经验与新知、思考时顺序与难度、探究中主与次等要素的关系，努力提升常态教学的有效性。
（责编 杜 华）