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高中数学难点较为困难，在很大程度上是因为学生对数学难点知识的理解出现了认知偏差，总结出不同知识难点学生认知偏差情况能有效改善学生的学习情况，提高学生整体数学的学习水平，同时帮助教师充分理解数学难点内容，了解学生的学习心理，实现高中教学有效性。
一、高中数学中数列的难点及认知偏差
高中数学数列教学中涉及了等差数列与等比数列，等差数列主要是通过对通项公式推导过程的概括，来表现出数学思想与方法。一般题例中对等差数列的前n项和进行求解，前n项和表达公式，或者是给出有关数据对数列通项公式进行求解等等。下文结合具体错例进行分析。
例题1：（前n项和求解）已知数列1，4，7，10，…，3n 7，其中后一项比前一项大3。（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1 4 … （3n-5）是该数列的前几项之和。
有的学生会给出答案（1）an=3n 7；（2）1 4 … （3n-5）。在（1）的解答中，如果设n=1，a1=10≠1，很明显显然3n 7并不是该数列的通项公式。经过分析发现，如果题目数列中最后一项的出现含n的代数式，学生就会直接把该代数式当作是数列的通项公式。其实，这只是一个用来迷惑学生的“陷阱”，在实际教学中教师应当充分强调数列通项公式的真正含义，避免学生对数列通项公式有这样的认知偏差，影响学生解题能力的提高。这个题目的正确答案应当是（1）an=3n-2；（2）1 4 … （3n-5）是该数列的前n-1项之和。
在等差的学习中，学生很容易出现对公式理解与应用的认知偏差，出现这种偏差究其原因就是学生对各个数列公式的理解不到位导致的，因此教师要引导学生在实际做题中不管遇到哪个公式或是公式使用错误都要及时记录，避免同样的错误出现第二次。教师可以引导学生通过小学讨论的方式，总结出公式的推导与应用方法，加深学生对公式理解，优化学生的数列解题效率。
还有等比数列的解题中也会考察到学生对等比数列前n项和公式的求解与推导。
例题2：已知数列{an}的前n项和Sn=a·qn，其中a≠0，q≠1，q是非零常数，则{an}是（ ）A.等差数列；B.等比数列；C.既不是等差数列，也不是等比数列；D.既是等差数列，也是等比数列。
有的学生会出现选择B，an 1=SN 1-SN=a·qn 1-a·qn=a·qn（q-1），所以an=a·qn-1
（q-1），所以（常数），由此可以推出{an}是等比数列，故选B。会出现这个错解的原因是学生在实际解题中忽视了an=SN-SN-1中的隐含条件n>1，继而导致了错误出现，在实际讲解中要注意对首项的讨论。其实这个题目的正解应该是：当n=1时，a1=S1=a·q；当n>1时，an=SN-
SN-1=a·qn-1（q-1），由此得出（常数），但是，因此{an}既不是等差数列，也不是等比数列，故答案选C。
对于等比数列来说很容易出现对通项公式与求和公式的认知偏差，在具体解题中学生容易出现对公比是1的忽略，究其原因还是对各个公式的劣迹不够透彻，进而出现在实际做题中不知道使用哪个公式，或者是记错公式的情况，导致解题错误，因此教师要强调让学生充分理解与掌握等比数列通项公式的推导过程，了解等比数列的前n项和与数列通项之间的关系。
二、高中数学中立体几何的难点及认知偏差
对于立体几何的考察会涉及到直线、平面平行或者垂直的判定以及其性质。
例题3：a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（ ）。A.有且只有一个；B.一个面或无数个；C.可能不存在；D.可能有无数个。
就这个例题来说，有的学生会选出错选A，究其原因是对直线与平面垂直的判定、性质定理理解不到位。過a与b垂直的平面条件不清教师在实际教学中着重加强对定理总结，一部分定理、公式较多，学生很容易出现混记、记错的情况，教师需要对直线、平面垂直判定等内容进行总结与指导。其实该题的正解应当是C。
例题4：由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别是A，B，C，O为ΔABC的外心，求证：OP⊥α。
对于这个题有的学生会给出错解，因O为ΔABC的外心，所以OA=OB=OC，又因为PA=PB=PC，PO公用，因此ΔPOA，ΔPOB，ΔPOC都是全等的，因
此∠POA=∠POB=∠POC=，得出OP⊥α。对于这个错解中∠POA=∠POB
=∠POC=这个观念是正确的，但是没有说出相关证明，解题步骤缺乏学生对定理的明确证明，有的结论是不能被当作定理来使用的，教师在实际教学中务必要强调，学生有关在实际解题中定理能被直接应用，而有的结论是需要进行证明才能应用的。
如图1所示，这个题目的正解是在取BC的中点D，连接PD、OD，因PB=PC，OB=OC，得出BC⊥PD，BC⊥OD，又得BC⊥面POD，进而得出BC⊥PO；同理可得，AB⊥PO，得出PO⊥α。
立体几何的认知偏差可能是学生对有关判定定理、性质定理等掌握的不到位，教师在实际教学中应当对有关定理进行反复强调，加深学生对其的印象与理解，可以总结思维导图，帮助学生对有关判定定理、性质定理等进行熟练理解与掌握。还有就是立体几何的解题需要学生具备一定空间想象力，缺乏空间想象力可能是学生立体几何题出现错解的有一个重要的认知偏差原因。
三、高中数学中集合的难点及认知偏差
集合部分的考察主要是对新概念以及有关新符号的区别与理解，像元素和集合、属于和包含、交集和并集等概念以及有关符号的表示等内容。还有就是在具体的集合中，选择适当的方式，像列举法和描述法。
例题5：已知A={x|x2-3x 2=0}，B= {x|ax-2=0}，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。
有的学生给出错误解答，由于x2-3x=2=0得出x=1或者x=2，当x=1时，a=1。给出这样错解的原因是学生只注意到了B为非空集合，实际上B=φ，仍然满足A∪B=A，当a=0时，B=φ是与题设相符合的，由此可以得到C={0，1，2}。在实际教学中教师应当强调空集的重要性，避免学生在实际解题过程中出现漏解的情况。正确的解答是，因A∪B=A，得BA，又得出A={x|x2-3x 2=0}={1，2}，得B=φ或者{1}或者是{2}，又得C={0，1，2}。
集合是高中数学中的重难点知识，教师要明确集合教学的重点，引导学生务必要掌握各个符号的辨别。解决有关A∩B=φ、A∪B=φ以及AB等结合问题，还有重要空集的情况避免漏解出现，需要在实际解题中进行全方位、多角度的思考与审视。
四、高中数学中函数的难点及认知偏差
函数符号y=f（x）是学生难以理解的一个抽象符号，其含义是在定义域中任意x，在对应关系f的作用下可以得到y。
例题6：已知f（x） =3x 4，求函数f-1（x 1）的解析式。
对于这个例题，学生会给出错解，由于已知得到f（x 1）=3（x 1） 4=3x 7，
得出y=3x 7，即x=，因此f -1（x 1）=，这个题错解的原因是将f-1（x 1）错误地认为是f （x 1）的反函数，是因函数表达式理解不够透彻导致的，实际上f（x 1）和f -1（x 1）不是互为反函数，一般地应该是f（x）先求出f -1（x），然后再求出f -1（x 1）的值，正解是因为f（x）
=3x 4的反函数是f -1（x）=，得f -1（x 1）=。
以上例题说明学生的认知偏差是说f（x）是一个十分抽象的数学符号，学生对函数概念与有关符号不能很好地理解，对定义域的理解也不够透彻，还有就是教师在实际讲解中十分不明确，没有对f（x）的符号意义进行透彻讲解。在实际教学中，学生可以通过具体的例子进行分析，动手操作来逐渐掌握函数的真正内涵。
总之，从解题错例中分析高中数学难点及认知偏差，教师能更加了解学生的解题思路，提高高中数学教学质量与效率，增强学生的解题能力。
一、高中数学中数列的难点及认知偏差
高中数学数列教学中涉及了等差数列与等比数列，等差数列主要是通过对通项公式推导过程的概括，来表现出数学思想与方法。一般题例中对等差数列的前n项和进行求解，前n项和表达公式，或者是给出有关数据对数列通项公式进行求解等等。下文结合具体错例进行分析。
例题1：（前n项和求解）已知数列1，4，7，10，…，3n 7，其中后一项比前一项大3。（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1 4 … （3n-5）是该数列的前几项之和。
有的学生会给出答案（1）an=3n 7；（2）1 4 … （3n-5）。在（1）的解答中，如果设n=1，a1=10≠1，很明显显然3n 7并不是该数列的通项公式。经过分析发现，如果题目数列中最后一项的出现含n的代数式，学生就会直接把该代数式当作是数列的通项公式。其实，这只是一个用来迷惑学生的“陷阱”，在实际教学中教师应当充分强调数列通项公式的真正含义，避免学生对数列通项公式有这样的认知偏差，影响学生解题能力的提高。这个题目的正确答案应当是（1）an=3n-2；（2）1 4 … （3n-5）是该数列的前n-1项之和。
在等差的学习中，学生很容易出现对公式理解与应用的认知偏差，出现这种偏差究其原因就是学生对各个数列公式的理解不到位导致的，因此教师要引导学生在实际做题中不管遇到哪个公式或是公式使用错误都要及时记录，避免同样的错误出现第二次。教师可以引导学生通过小学讨论的方式，总结出公式的推导与应用方法，加深学生对公式理解，优化学生的数列解题效率。
还有等比数列的解题中也会考察到学生对等比数列前n项和公式的求解与推导。
例题2：已知数列{an}的前n项和Sn=a·qn，其中a≠0，q≠1，q是非零常数，则{an}是（ ）A.等差数列；B.等比数列；C.既不是等差数列，也不是等比数列；D.既是等差数列，也是等比数列。
有的学生会出现选择B，an 1=SN 1-SN=a·qn 1-a·qn=a·qn（q-1），所以an=a·qn-1
（q-1），所以（常数），由此可以推出{an}是等比数列，故选B。会出现这个错解的原因是学生在实际解题中忽视了an=SN-SN-1中的隐含条件n>1，继而导致了错误出现，在实际讲解中要注意对首项的讨论。其实这个题目的正解应该是：当n=1时，a1=S1=a·q；当n>1时，an=SN-
SN-1=a·qn-1（q-1），由此得出（常数），但是，因此{an}既不是等差数列，也不是等比数列，故答案选C。
对于等比数列来说很容易出现对通项公式与求和公式的认知偏差，在具体解题中学生容易出现对公比是1的忽略，究其原因还是对各个公式的劣迹不够透彻，进而出现在实际做题中不知道使用哪个公式，或者是记错公式的情况，导致解题错误，因此教师要强调让学生充分理解与掌握等比数列通项公式的推导过程，了解等比数列的前n项和与数列通项之间的关系。
二、高中数学中立体几何的难点及认知偏差
对于立体几何的考察会涉及到直线、平面平行或者垂直的判定以及其性质。
例题3：a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（ ）。A.有且只有一个；B.一个面或无数个；C.可能不存在；D.可能有无数个。
就这个例题来说，有的学生会选出错选A，究其原因是对直线与平面垂直的判定、性质定理理解不到位。過a与b垂直的平面条件不清教师在实际教学中着重加强对定理总结，一部分定理、公式较多，学生很容易出现混记、记错的情况，教师需要对直线、平面垂直判定等内容进行总结与指导。其实该题的正解应当是C。
例题4：由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别是A，B，C，O为ΔABC的外心，求证：OP⊥α。
对于这个题有的学生会给出错解，因O为ΔABC的外心，所以OA=OB=OC，又因为PA=PB=PC，PO公用，因此ΔPOA，ΔPOB，ΔPOC都是全等的，因
此∠POA=∠POB=∠POC=，得出OP⊥α。对于这个错解中∠POA=∠POB
=∠POC=这个观念是正确的，但是没有说出相关证明，解题步骤缺乏学生对定理的明确证明，有的结论是不能被当作定理来使用的，教师在实际教学中务必要强调，学生有关在实际解题中定理能被直接应用，而有的结论是需要进行证明才能应用的。
如图1所示，这个题目的正解是在取BC的中点D，连接PD、OD，因PB=PC，OB=OC，得出BC⊥PD，BC⊥OD，又得BC⊥面POD，进而得出BC⊥PO；同理可得，AB⊥PO，得出PO⊥α。
立体几何的认知偏差可能是学生对有关判定定理、性质定理等掌握的不到位，教师在实际教学中应当对有关定理进行反复强调，加深学生对其的印象与理解，可以总结思维导图，帮助学生对有关判定定理、性质定理等进行熟练理解与掌握。还有就是立体几何的解题需要学生具备一定空间想象力，缺乏空间想象力可能是学生立体几何题出现错解的有一个重要的认知偏差原因。
三、高中数学中集合的难点及认知偏差
集合部分的考察主要是对新概念以及有关新符号的区别与理解，像元素和集合、属于和包含、交集和并集等概念以及有关符号的表示等内容。还有就是在具体的集合中，选择适当的方式，像列举法和描述法。
例题5：已知A={x|x2-3x 2=0}，B= {x|ax-2=0}，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。
有的学生给出错误解答，由于x2-3x=2=0得出x=1或者x=2，当x=1时，a=1。给出这样错解的原因是学生只注意到了B为非空集合，实际上B=φ，仍然满足A∪B=A，当a=0时，B=φ是与题设相符合的，由此可以得到C={0，1，2}。在实际教学中教师应当强调空集的重要性，避免学生在实际解题过程中出现漏解的情况。正确的解答是，因A∪B=A，得BA，又得出A={x|x2-3x 2=0}={1，2}，得B=φ或者{1}或者是{2}，又得C={0，1，2}。
集合是高中数学中的重难点知识，教师要明确集合教学的重点，引导学生务必要掌握各个符号的辨别。解决有关A∩B=φ、A∪B=φ以及AB等结合问题，还有重要空集的情况避免漏解出现，需要在实际解题中进行全方位、多角度的思考与审视。
四、高中数学中函数的难点及认知偏差
函数符号y=f（x）是学生难以理解的一个抽象符号，其含义是在定义域中任意x，在对应关系f的作用下可以得到y。
例题6：已知f（x） =3x 4，求函数f-1（x 1）的解析式。
对于这个例题，学生会给出错解，由于已知得到f（x 1）=3（x 1） 4=3x 7，
得出y=3x 7，即x=，因此f -1（x 1）=，这个题错解的原因是将f-1（x 1）错误地认为是f （x 1）的反函数，是因函数表达式理解不够透彻导致的，实际上f（x 1）和f -1（x 1）不是互为反函数，一般地应该是f（x）先求出f -1（x），然后再求出f -1（x 1）的值，正解是因为f（x）
=3x 4的反函数是f -1（x）=，得f -1（x 1）=。
以上例题说明学生的认知偏差是说f（x）是一个十分抽象的数学符号，学生对函数概念与有关符号不能很好地理解，对定义域的理解也不够透彻，还有就是教师在实际讲解中十分不明确，没有对f（x）的符号意义进行透彻讲解。在实际教学中，学生可以通过具体的例子进行分析，动手操作来逐渐掌握函数的真正内涵。
总之，从解题错例中分析高中数学难点及认知偏差，教师能更加了解学生的解题思路，提高高中数学教学质量与效率，增强学生的解题能力。