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编者按：自从第一只成功市场化运做的交易所基金（Exchange-TradedFunds，ETFs）——Spiders于1993年产生以来，不到10年的时间，ETFs资产规模迅速膨胀。截止到2002年8月底，全球范围内已有257只ETF，总资产值超过1242亿美元，成为全球基金业发展中越来越重要的组成部分。
ETFs的成功，并非一蹴而就。ETFs共经历了投资组合保险（PortfolioInsurance）→超级基金（SuperTrust）→交易所基金（ETFs）3个阶段。前两个阶段由于金融产品自身的内在缺陷或者受市场竞争的影响，均以失败告终。ETFs则汲取了前两个阶段的教训，取得了成功。回溯ETFs的发展历程，可以从理论上了解金融工程的核心——无套利思想和组合分解技术，了解金融产品设计实务及走向市场时所面临的管制、竞争、以及技术问题。这对于发展适应我国投资者需求的ETFs或其他金融产品很有借鉴意义。
本栏目推出的“从组合保险到交易所交易基金”系列文章，将分3篇详细阐述组合保险、超级基金、ETFs的金融工程原理以及实际运作时遇到的问题。本期文章主要追溯ETF最初的发展源头——组合保险的原理及运作。
本栏目主持人宋逢明教授通过本刊向热心读者发出邀请，欢迎致力于金融工程研究和开发的同仁及对金融工程有浓厚兴趣的人士，参与本栏目在这个平台上，对共同关心的问题进行探讨。
投资组合保险（PortfolioInsurance，PI）是一种交易策略，利用期权定价理论中的动态复制技术为投资者在股票市场下跌时提供保护。PI在20世纪80年代早期和中期取得了成功。加州大学伯克利分校的两位教授Leland和Rubinstein，是期权和金融工程方面的专家。他们于1976年开始合作，致力于将期权理论中的最新理念应用于解决投资经理面临的各种难题。1981年，他们联合曾在华尔街工作的O‘Brien，成立了LOR公司，将其成果商业化，利用PI交易策略为客户管理资产。从1981年到1987年，LOR公司管理（直接或者授权管理）的资产从3000万美元增长到500亿美元。
投资组合保险的两类潜在需求者
投资组合保险在20世纪80年代早、中期存在两类潜在需求者：一类是希望获得平均预期收益的投资者，但是随着财富的增加，其风险厌恶程度比平均水平上升得更快，比如养老基金、捐赠基金等。养老基金计划的体制结构承担损失的能力很差。对于养老基金的管理者来说，由于资产配置不当导致的资产贬值可能会危及他们的饭碗，但是资产的突然增值并不能为他们带来与之对称的事业上的好处。这种不对称的结果，使得PI对于养老基金的投资者很有吸引力。
另一类是对收益的预期比平均水平更乐观，但是这类投资者希望减少部分或者所有市场下跌的风险同时又不丧失市场上升的好处，比如认为能够通过选股优势获得高于市场回报的基金经理。使用期货或远期合约能够消除所有的风险，但是享受不到市场上升的好处。PI或者期权可以避免这方面的缺陷。但1980年代早中期还没有期权，3年期S&P500指数卖权直至1991年才在交易所交易，PI就成为20世纪80年代为投资者提供的卖权的替代品。
投资组合保险原理——用股票和无风险证券组合动态复制卖权
投资组合保险（PI）的原理是金融工程典型的动态无套利均衡分析。它的依据是Black-Scholes期权定价模型。
卖权（看跌期权）P、标的物股票S和无风险证券L的无套利关系如下：
我们定义Delta为期权的价格变化对其标的资产价格变化的比率，即Delta=。这个关系式表明：用Delta份标的物股票和价值L的无风险证券复制出卖权P。为了使复制全过程成立，必须始终动态保持住以上关系，也就是说，必须不断调整Delta和L。因此，这种复制过程通常也被称为Delta复制。
这个原理还可以通过图1来理解：
图1中曲线表示卖权的价值，它与标的物价格呈反向变动，但并非线性关系。因此采用数额不断调整的标的物的空头和无风险证券组合来复制卖权的收益状况，如图1中黑线所示。
举例：复制卖权的过程
Black-Scholes期权定价公式中的卖权定价是：
设S为一股票（不考虑市场摩擦产生的交易成本，股票不分红），无风险利率rf=10%，标的股票波动率σ=20%，标的股票现在的价格S=100，卖权执行价X=100，到期日T=3。则这样一份欧式三年期卖权现在的价值根据上面的期权定价公式应为P=3.1567。
（1）用股票空头和无风险证券多头复制卖权：
本例中Delta=-0.14935。
（a）卖空0.14935单位的S：-14.935
（b）买入价值为18.0917的无风险证券
复制组合的价值：18.0917-14.935=3.1567，与看跌期权价值相等。
（2）当S价格下跌1%即S=99时：
根据期权公式计算出的卖权价值变为：3.30947
此时（1）步中（a）项的价值变为：-14.935*0.99=-14.78565
复制组合的价值变为：18.0917-14.78565=3.30605，与看跌期权的价值基本相等。
其中的微小差别是由Delta的改变引起的，Delta变为：-0.156196。因此需要对复制组合进行调整。此调整属于自融资交易。
（a‘）在（1）步中（a）项的基础上再卖空价值为（0.156196*99-14.78565）=0.677754的股票S：-0.156196*99=-15.4634
（b‘）将在（a‘）中卖空所得投入无风险证券：18.0917+0.677754=18.76945
调整后复制组合的价值为：18.76945-15.4634=3.30605。
（3）当S价格上涨1%即S=101时：
根据期权公式计算出的卖权价值变为：3.01068
此时（1）步中（a）项的价值变为：-14.935*1.01=-15.08435
复制组合的价值变为：18.0917-15.08435=3.00735，与看跌期权的价值基本相等。
其中的微小差别也是由Delta的改变引起的，Delta变为：-0.142771。因此需要对复制组合进行调整。调整同样属于自融资交易。
（a‘‘）在（1）步中（a）项的基础上买入价值为（15.08435-0.142771*101）=0.66453的股票S：-0.142771*101=-14.41982
（b‘‘）卖出0.66453的无风险证券，将所得资金投入（a‘‘）：18.0917-0.66453=17.42717
调整后复制组合的价值为：17.42717-14.41982=3.00735。
可见在标的物价格变化较小时，复制组合和它模拟的看跌期权价值有较好的吻合。
需要说明的是，在实际进行投资组合保险时，LOR公司并非直接买卖股票，而是通过指数期货来完成保险操作的。其原理如下：
首先，远期价格与现价之间存在着以下无套利关系：F=。在前面的动态复制过程中，看跌期权的复制是通过卖空标的资产同时投资于无风险证券来实现的，这实际上与现在就卖出远期合约是等价的。将上式代入期权定价公式得：
也就是说，这时为动态复制看跌期权，需要卖出远期合约的金额为所要保值的投资组合金额的倍。
由于期货和远期合约具有密切的关系，因此可以用指数期货来取代远期合约。指数期货曾经极大地促进了投资组合保险的发展，因为它既可以不触动客户的投资组合，又可以大大降低成本（当时交易一轮股票的成本大约是60-80个基本点，而交易一轮指数期货的成本大约是6-8个基本点）。
投资组合保险的内在缺陷
令人遗憾的是，在1987年10月19日“黑色星期一”，美国股市发生崩盘时，投资组合保险并没有如投资者预期的那样完全弥补资产下跌的损失。这次市场暴跌将PI这种交易策略的内在缺陷非常明显地暴露了出来。
我们继续用前面的例子来加以说明：
假定出现状况（1）：S价格下跌25%：
根据期权定价公式计算出卖权的价值为9.79743。
此时上面（1）中（a）项的价值变为：-14.935*0.75=-11.20125
复制组合的价值变为：18.0917-11.20125=6.89045，与看跌期权的价值发生了较大的偏差。
问题在哪里呢？其实，是价格的巨大变化使得Delta发生了巨大的变化，来不及调整复制组合使得复制效果变得很差。
在上面的例子中，Delta变为-0.417316。需要对复制组合进行调整：再卖空价值为（0.417316*75-11.20125）=20.09745的证券组合S投资于无风险资产，并补入资金（9.79743-6.89045）=2.90698，投资于无风险资产，才能复制这一看跌期权。
我们同样可以通过图来解释这个问题：
图2中的曲线是看跌期权价值随标的物价值变化的函数。标的物当时价格为S，曲线在横坐标为S处的切线的斜率为Delta。复制期权实际上如上例所示：卖空Delta*S的标的资产（为方便起见，这里对Delta取绝对值），购买价值为L的无风险证券，复制组合实际上是L-Delta*S。当S变化时，切线会发生旋转，Delta和L都会发生变化，这也就是动态调整过程。可见，标的物和无风险证券的静态组合只能复制直线的收益状况，连续不断调整的动态复制组合才可以复制出曲线的收益状况。
图2中的切线实际上是静态的复制组合随标的物价值变化的函数。当标的物价格变化、复制组合还来不及调整时，复制组合的价值随标的物价格的变化而在这条切线上变化，而期权的变化情况却为图中所示的曲线。由于交易成本的存在，不可能每时每刻都对复制组合进行调整，所以，在两次调整之间，这种复制实际上是用切线来复制曲线。
当标的物价格的变化比较小时，即价格在切点附近变化时，切线和曲线吻合的较好，可以近似地用切线来代替曲线，这种复制的效果比较好。但是当价格发生跳跃性变化，或者由于交易成本太高而不能很频繁地调整复制头寸，使得两次调整之间标的物价格变化较大，复制的效果就会很差。比如图2中标的物价格突然从S下降到S‘，复制组合的价值的上升幅度会比所要复制的期权价值的上升幅度低出很大一块来。这部分实际上是投资者所面临的损失。
在1987年的股市崩盘中，S&P500指数和道琼斯指数在6天里下跌了三分之一，价格发生了跳跃性的巨大波动，而复制组合的头寸来不及调整，导致了投资者的损失不能够得到完全弥补。
投资组合保险外在缺陷
除了以上揭示的内在缺陷，“黑色星期一”还暴露了投资组合保险这种Delta避险策略所存在的其他问题。
第一，PI策略可能会增加市场的波动率。当市场价格下跌时，将使得证券组合管理者要么卖出股票，要么卖出指数期货合约。这可能加速市场价格的下跌。出售股票很可能会直接迫使指数进一步下降；出售指数期货合约有可能驱使指数期货价格下跌，根据套利机制，这将对股票产生出售压力，从而驱使市场指数也下降。同样，当市场价格上涨时，这些证券组合保险策略促使投资者或买入股票或买入期货合约，于是更加剧了市场价格上涨。实际上，新闻界和负责研究股市崩溃的总统委员会都认为正是由于PI的存在，加剧了股市的崩溃。
第二，股票指数的巨幅下跌以及指数期货交易无法进行，都使得PI的使用者无法连续、动态地复制看跌期权。因为指数套利者用于联系期货市场和股市市场的自动交易系统DOT（DesignatedOrderTurnaround）当时出现延缓。
第三，指数期货理论上和实际上的价格偏差，使得期货和股市之间的套利机制被打破，导致基点差风险。
第四，预期的波动率突然增大，导致使用期权避险的成本突然增加。S&P500指数在股市崩盘时，波动率由20%飙升至60%。剧烈的波动又引起期权价值的上升，需要投入新的资金于复制组合中。
仍使用前面的例子加以说明：
股票波动率σ=20%时，看跌期权价值为：3.1567。卖空0.14935单位的S：-14.935，买入价值为18.0917的无风险证券可以复制出这一期权。
当σ=60%时，看跌期权价值变为：22.8598，Delta变为：0.209462。需要再卖空（20.9462-14.935）=6.0112单位的标的资产购买无风险证券，并且再投入资金（22.8598-3.1567）=19.7031用于购买无风险证券，才能复制这一看跌期权。
第五，动态复制策略为客户带来流动性需求问题，使之蒙受损失。市场的快速反弹同样会对PI的使用者不利。当市场下跌时，LOR已经为客户设置了大量的期货空头头寸，而当市场指数上涨时，客户需要为指数期货空头追加保证金，而期货市场的结算标准又要求客户在一天之内筹集到这些资金，那些手头没有空余资金的客户只能出售股票来筹集资金，但股票交易是在5天内结算，这样，出售的股票不能立刻换回现金，无法满足期货方面融资需求，投资者或者被迫去寻找其他现金来源，或者以特殊条件结算，低价抛售股票。
结语
投资组合保险失败了两位教授创办的LOR公司也受到重创，旗下管理的资产从500亿美元急剧缩水到100亿美元。然而，LOR公司并没有气馁，他们抓住新的市场需求，设计出新产品——超级基金（SuperTrust）来代替组合保险。
ETFs的成功，并非一蹴而就。ETFs共经历了投资组合保险（PortfolioInsurance）→超级基金（SuperTrust）→交易所基金（ETFs）3个阶段。前两个阶段由于金融产品自身的内在缺陷或者受市场竞争的影响，均以失败告终。ETFs则汲取了前两个阶段的教训，取得了成功。回溯ETFs的发展历程，可以从理论上了解金融工程的核心——无套利思想和组合分解技术，了解金融产品设计实务及走向市场时所面临的管制、竞争、以及技术问题。这对于发展适应我国投资者需求的ETFs或其他金融产品很有借鉴意义。
本栏目推出的“从组合保险到交易所交易基金”系列文章，将分3篇详细阐述组合保险、超级基金、ETFs的金融工程原理以及实际运作时遇到的问题。本期文章主要追溯ETF最初的发展源头——组合保险的原理及运作。
本栏目主持人宋逢明教授通过本刊向热心读者发出邀请，欢迎致力于金融工程研究和开发的同仁及对金融工程有浓厚兴趣的人士，参与本栏目在这个平台上，对共同关心的问题进行探讨。
投资组合保险（PortfolioInsurance，PI）是一种交易策略，利用期权定价理论中的动态复制技术为投资者在股票市场下跌时提供保护。PI在20世纪80年代早期和中期取得了成功。加州大学伯克利分校的两位教授Leland和Rubinstein，是期权和金融工程方面的专家。他们于1976年开始合作，致力于将期权理论中的最新理念应用于解决投资经理面临的各种难题。1981年，他们联合曾在华尔街工作的O‘Brien，成立了LOR公司，将其成果商业化，利用PI交易策略为客户管理资产。从1981年到1987年，LOR公司管理（直接或者授权管理）的资产从3000万美元增长到500亿美元。
投资组合保险的两类潜在需求者
投资组合保险在20世纪80年代早、中期存在两类潜在需求者：一类是希望获得平均预期收益的投资者，但是随着财富的增加，其风险厌恶程度比平均水平上升得更快，比如养老基金、捐赠基金等。养老基金计划的体制结构承担损失的能力很差。对于养老基金的管理者来说，由于资产配置不当导致的资产贬值可能会危及他们的饭碗，但是资产的突然增值并不能为他们带来与之对称的事业上的好处。这种不对称的结果，使得PI对于养老基金的投资者很有吸引力。
另一类是对收益的预期比平均水平更乐观，但是这类投资者希望减少部分或者所有市场下跌的风险同时又不丧失市场上升的好处，比如认为能够通过选股优势获得高于市场回报的基金经理。使用期货或远期合约能够消除所有的风险，但是享受不到市场上升的好处。PI或者期权可以避免这方面的缺陷。但1980年代早中期还没有期权，3年期S&P500指数卖权直至1991年才在交易所交易，PI就成为20世纪80年代为投资者提供的卖权的替代品。
投资组合保险原理——用股票和无风险证券组合动态复制卖权
投资组合保险（PI）的原理是金融工程典型的动态无套利均衡分析。它的依据是Black-Scholes期权定价模型。
卖权（看跌期权）P、标的物股票S和无风险证券L的无套利关系如下：
我们定义Delta为期权的价格变化对其标的资产价格变化的比率，即Delta=。这个关系式表明：用Delta份标的物股票和价值L的无风险证券复制出卖权P。为了使复制全过程成立，必须始终动态保持住以上关系，也就是说，必须不断调整Delta和L。因此，这种复制过程通常也被称为Delta复制。
这个原理还可以通过图1来理解：
图1中曲线表示卖权的价值，它与标的物价格呈反向变动，但并非线性关系。因此采用数额不断调整的标的物的空头和无风险证券组合来复制卖权的收益状况，如图1中黑线所示。
举例：复制卖权的过程
Black-Scholes期权定价公式中的卖权定价是：
设S为一股票（不考虑市场摩擦产生的交易成本，股票不分红），无风险利率rf=10%，标的股票波动率σ=20%，标的股票现在的价格S=100，卖权执行价X=100，到期日T=3。则这样一份欧式三年期卖权现在的价值根据上面的期权定价公式应为P=3.1567。
（1）用股票空头和无风险证券多头复制卖权：
本例中Delta=-0.14935。
（a）卖空0.14935单位的S：-14.935
（b）买入价值为18.0917的无风险证券
复制组合的价值：18.0917-14.935=3.1567，与看跌期权价值相等。
（2）当S价格下跌1%即S=99时：
根据期权公式计算出的卖权价值变为：3.30947
此时（1）步中（a）项的价值变为：-14.935*0.99=-14.78565
复制组合的价值变为：18.0917-14.78565=3.30605，与看跌期权的价值基本相等。
其中的微小差别是由Delta的改变引起的，Delta变为：-0.156196。因此需要对复制组合进行调整。此调整属于自融资交易。
（a‘）在（1）步中（a）项的基础上再卖空价值为（0.156196*99-14.78565）=0.677754的股票S：-0.156196*99=-15.4634
（b‘）将在（a‘）中卖空所得投入无风险证券：18.0917+0.677754=18.76945
调整后复制组合的价值为：18.76945-15.4634=3.30605。
（3）当S价格上涨1%即S=101时：
根据期权公式计算出的卖权价值变为：3.01068
此时（1）步中（a）项的价值变为：-14.935*1.01=-15.08435
复制组合的价值变为：18.0917-15.08435=3.00735，与看跌期权的价值基本相等。
其中的微小差别也是由Delta的改变引起的，Delta变为：-0.142771。因此需要对复制组合进行调整。调整同样属于自融资交易。
（a‘‘）在（1）步中（a）项的基础上买入价值为（15.08435-0.142771*101）=0.66453的股票S：-0.142771*101=-14.41982
（b‘‘）卖出0.66453的无风险证券，将所得资金投入（a‘‘）：18.0917-0.66453=17.42717
调整后复制组合的价值为：17.42717-14.41982=3.00735。
可见在标的物价格变化较小时，复制组合和它模拟的看跌期权价值有较好的吻合。
需要说明的是，在实际进行投资组合保险时，LOR公司并非直接买卖股票，而是通过指数期货来完成保险操作的。其原理如下：
首先，远期价格与现价之间存在着以下无套利关系：F=。在前面的动态复制过程中，看跌期权的复制是通过卖空标的资产同时投资于无风险证券来实现的，这实际上与现在就卖出远期合约是等价的。将上式代入期权定价公式得：
也就是说，这时为动态复制看跌期权，需要卖出远期合约的金额为所要保值的投资组合金额的倍。
由于期货和远期合约具有密切的关系，因此可以用指数期货来取代远期合约。指数期货曾经极大地促进了投资组合保险的发展，因为它既可以不触动客户的投资组合，又可以大大降低成本（当时交易一轮股票的成本大约是60-80个基本点，而交易一轮指数期货的成本大约是6-8个基本点）。
投资组合保险的内在缺陷
令人遗憾的是，在1987年10月19日“黑色星期一”，美国股市发生崩盘时，投资组合保险并没有如投资者预期的那样完全弥补资产下跌的损失。这次市场暴跌将PI这种交易策略的内在缺陷非常明显地暴露了出来。
我们继续用前面的例子来加以说明：
假定出现状况（1）：S价格下跌25%：
根据期权定价公式计算出卖权的价值为9.79743。
此时上面（1）中（a）项的价值变为：-14.935*0.75=-11.20125
复制组合的价值变为：18.0917-11.20125=6.89045，与看跌期权的价值发生了较大的偏差。
问题在哪里呢？其实，是价格的巨大变化使得Delta发生了巨大的变化，来不及调整复制组合使得复制效果变得很差。
在上面的例子中，Delta变为-0.417316。需要对复制组合进行调整：再卖空价值为（0.417316*75-11.20125）=20.09745的证券组合S投资于无风险资产，并补入资金（9.79743-6.89045）=2.90698，投资于无风险资产，才能复制这一看跌期权。
我们同样可以通过图来解释这个问题：
图2中的曲线是看跌期权价值随标的物价值变化的函数。标的物当时价格为S，曲线在横坐标为S处的切线的斜率为Delta。复制期权实际上如上例所示：卖空Delta*S的标的资产（为方便起见，这里对Delta取绝对值），购买价值为L的无风险证券，复制组合实际上是L-Delta*S。当S变化时，切线会发生旋转，Delta和L都会发生变化，这也就是动态调整过程。可见，标的物和无风险证券的静态组合只能复制直线的收益状况，连续不断调整的动态复制组合才可以复制出曲线的收益状况。
图2中的切线实际上是静态的复制组合随标的物价值变化的函数。当标的物价格变化、复制组合还来不及调整时，复制组合的价值随标的物价格的变化而在这条切线上变化，而期权的变化情况却为图中所示的曲线。由于交易成本的存在，不可能每时每刻都对复制组合进行调整，所以，在两次调整之间，这种复制实际上是用切线来复制曲线。
当标的物价格的变化比较小时，即价格在切点附近变化时，切线和曲线吻合的较好，可以近似地用切线来代替曲线，这种复制的效果比较好。但是当价格发生跳跃性变化，或者由于交易成本太高而不能很频繁地调整复制头寸，使得两次调整之间标的物价格变化较大，复制的效果就会很差。比如图2中标的物价格突然从S下降到S‘，复制组合的价值的上升幅度会比所要复制的期权价值的上升幅度低出很大一块来。这部分实际上是投资者所面临的损失。
在1987年的股市崩盘中，S&P500指数和道琼斯指数在6天里下跌了三分之一，价格发生了跳跃性的巨大波动，而复制组合的头寸来不及调整，导致了投资者的损失不能够得到完全弥补。
投资组合保险外在缺陷
除了以上揭示的内在缺陷，“黑色星期一”还暴露了投资组合保险这种Delta避险策略所存在的其他问题。
第一，PI策略可能会增加市场的波动率。当市场价格下跌时，将使得证券组合管理者要么卖出股票，要么卖出指数期货合约。这可能加速市场价格的下跌。出售股票很可能会直接迫使指数进一步下降；出售指数期货合约有可能驱使指数期货价格下跌，根据套利机制，这将对股票产生出售压力，从而驱使市场指数也下降。同样，当市场价格上涨时，这些证券组合保险策略促使投资者或买入股票或买入期货合约，于是更加剧了市场价格上涨。实际上，新闻界和负责研究股市崩溃的总统委员会都认为正是由于PI的存在，加剧了股市的崩溃。
第二，股票指数的巨幅下跌以及指数期货交易无法进行，都使得PI的使用者无法连续、动态地复制看跌期权。因为指数套利者用于联系期货市场和股市市场的自动交易系统DOT（DesignatedOrderTurnaround）当时出现延缓。
第三，指数期货理论上和实际上的价格偏差，使得期货和股市之间的套利机制被打破，导致基点差风险。
第四，预期的波动率突然增大，导致使用期权避险的成本突然增加。S&P500指数在股市崩盘时，波动率由20%飙升至60%。剧烈的波动又引起期权价值的上升，需要投入新的资金于复制组合中。
仍使用前面的例子加以说明：
股票波动率σ=20%时，看跌期权价值为：3.1567。卖空0.14935单位的S：-14.935，买入价值为18.0917的无风险证券可以复制出这一期权。
当σ=60%时，看跌期权价值变为：22.8598，Delta变为：0.209462。需要再卖空（20.9462-14.935）=6.0112单位的标的资产购买无风险证券，并且再投入资金（22.8598-3.1567）=19.7031用于购买无风险证券，才能复制这一看跌期权。
第五，动态复制策略为客户带来流动性需求问题，使之蒙受损失。市场的快速反弹同样会对PI的使用者不利。当市场下跌时，LOR已经为客户设置了大量的期货空头头寸，而当市场指数上涨时，客户需要为指数期货空头追加保证金，而期货市场的结算标准又要求客户在一天之内筹集到这些资金，那些手头没有空余资金的客户只能出售股票来筹集资金，但股票交易是在5天内结算，这样，出售的股票不能立刻换回现金，无法满足期货方面融资需求，投资者或者被迫去寻找其他现金来源，或者以特殊条件结算，低价抛售股票。
结语
投资组合保险失败了两位教授创办的LOR公司也受到重创，旗下管理的资产从500亿美元急剧缩水到100亿美元。然而，LOR公司并没有气馁，他们抓住新的市场需求，设计出新产品——超级基金（SuperTrust）来代替组合保险。