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摘要数学问题的解决,实质上是一个不断变换问题的过程,也即实现从未知向已知的转化,从待解决的问题向已解决的问题转化,从复杂问题向简单问题的转化过程。在实际解题时,应多注意反思——“思则变”、“变则通”。
关键词变换变形转化
中图分类号:G633.6文献标识码:A
G·波利亚认为,数学解题就是命题的连续变换,而命题的连续变换,就是数学基本思想方法反复运用的过程。数学问题都有它有自身的规律,解数学题就应该掌握好解题的规律性,并通过解题学会更多的知识和方法,从而加强数学思想方法对探求思路的驾驭能力,以提高自身的数学素养。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答“解题意味着什么?”时也说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”在教学中注意对学生进行转化与化归思想的培养,不断的变换问题,可提高学生的思维水平,能够更深刻地理解数学,灵活地运用数学,从而培养他们的创新能力。下文对数学解题中常涉及的一些变换作一些探讨。
1 恒等变换
通过施行恒等变换,化高为低,化新为旧,化复杂为简单,化陌生为熟悉,是解题的常用手段。
2 求同变换
“分析差异,实施变形,消除差异”,在证明、化简、求值等方面都具有普遍的指导意义。其着眼点就是“统一”。当我们用这种方法去处理问题时,会使问题的条件与结论变得更加匀称、恰当,从而使问题得到解决。
例2.证明=sin2€%a
思考一:从角入手,都变为单角
左边= = … =sin2€%a=右边
思考二:从函数入手,统化为弦
左边= = … =右边
思考三:从函数入手,统化切
令tan= t 则右边=sin€%acos€%a=·· = … =左边
思考四:从运算入手,左边为商,右边为积,依由繁到简应化左为右。
将条件与结论统一是关键,在处理三角函数问题时,化异名为同名,统化弦、统化切,力求统一时转化思维的一种重要方法。教学中要引导学生选好切入点实行转化,进一步提高他们的思维水平。
3 对称变换
对称变换是一种在保持一定不变性下的变换,有限次地重复施行这一变换,可使对象回复到自身,一个集合在一定的对称变换下的不变性叫做对称性。几何中的轴对称和中心对称是最直观的对称,还有平面图形绕其内一定点旋转一定的角度的变换,也是常见的对称变换。代数中的对称也有实数与其相反数的对称,复数与共轭复数的对称,还有象对称多项式,轮换对称多项式等。函数的周期性也可以看成对称性,因为周期函数的图象是无限延伸的曲线,在一定的平移下可重合于自身,从而表现出整体的不变性。函数或代数式的对称性基于对称原理:如果一个函数(代数式)中的若干个变量具有对称性,则这个函数(代数式)的极值往往在这些变量相等时取得,至于它是最大值还是最小值,或由问题本身决定,或靠理论作出判断。
例3.在锐角三角形ABC的三边BC、CA、AB上各取一点D、E、F,使DE+EF+FD有最小值。
分析:在⊿ABC中,关键在于确定BC上D的位置,假设D点已作出,作D关于AB、AC的对称点D1、D2,连D1D2,交AB、AC于F、E两点,则⊿DEF的周长是以D为顶点的三角形之中周长最小的。
DE+EF+FD= D1D2,连AD1、AD2、AD。
由 AD1=AD,∠D1AB=∠DAB
AD2=AD,∠D2AB=∠DAB
∠D1AD2=2∠BAC
在⊿D1A D2中,D1D22 = AD12 +AD22 -2AD12 AD2cos∠D1AD2
=4 AD2 sin 2∠BAC
∴ D1D2 =2ADsin∠BAC,∠BAC为定值,要使D1D2最小,只要使AD有最小值,因此点D应是点A在BC上的射影。
解:作AD⊥BC于D,作D关于AB、AC的对称点 D1、 D2,连D1D2,交AB、AC于F、E两点,则D、E、F 三点即为所求。
4 切入变换
同一问题,因思考问题切入的角度不同,解法也不同。
例4. 如图1所示,客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发,以速度v沿直线匀速航行,将货物送达客轮。已知,AB⊥BC且AB=BC=50海里。若两轮船同时起航出发,则两船相遇之处距C点____海里(结果精确到小数点后1位)。(2000年上海)
思考一:首先,容易判断两船相遇的地点不会在线段AB上。
设两船经过时间t,相遇在BC上的一点E处。
由题意得|DE|=vt ,|CE|=100-2vt ,|CD|=25,∠DCE45€啊?
在三角形△DCE中,利用余弦定理可求得vt的值,进而求出CE的长度约为40.8海里。
思考二:建立一个直角坐标系利用距离公式来解题,情况又会怎样呢?
如图2,以点B为坐标原点,AB、BC所在的直线为坐标轴建立直角坐标系, 则点D(-25,25).
设,E(0,y)根据题意有
=.
解上述方程可求得y≈9.17,而CE=50-Y=40.8
思考三:将直角三角形补成一个正方形(如图3)
延长ED交正方形的边于F, 如果货轮以2v的速度从点F航行至点E,与货轮从点D出发以速度v航行至点E所需的时间相等。由此可得|EF|=|AB|+|BE|.于是有以下解法:
设|CE|=x,则由对称性知|FA|=x,
于是由勾股定理得:
|EF|2=502+(50-2x)2 ,
|AB|+|BE|=100-x,
所以502+(50-2x)2=(100-x)2,
解得x≈40.8
所以,两船相遇之处距C点约40.8海里.
关键词变换变形转化
中图分类号:G633.6文献标识码:A
G·波利亚认为,数学解题就是命题的连续变换,而命题的连续变换,就是数学基本思想方法反复运用的过程。数学问题都有它有自身的规律,解数学题就应该掌握好解题的规律性,并通过解题学会更多的知识和方法,从而加强数学思想方法对探求思路的驾驭能力,以提高自身的数学素养。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答“解题意味着什么?”时也说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”在教学中注意对学生进行转化与化归思想的培养,不断的变换问题,可提高学生的思维水平,能够更深刻地理解数学,灵活地运用数学,从而培养他们的创新能力。下文对数学解题中常涉及的一些变换作一些探讨。
1 恒等变换
通过施行恒等变换,化高为低,化新为旧,化复杂为简单,化陌生为熟悉,是解题的常用手段。
2 求同变换
“分析差异,实施变形,消除差异”,在证明、化简、求值等方面都具有普遍的指导意义。其着眼点就是“统一”。当我们用这种方法去处理问题时,会使问题的条件与结论变得更加匀称、恰当,从而使问题得到解决。
例2.证明=sin2€%a
思考一:从角入手,都变为单角
左边= = … =sin2€%a=右边
思考二:从函数入手,统化为弦
左边= = … =右边
思考三:从函数入手,统化切
令tan= t 则右边=sin€%acos€%a=·· = … =左边
思考四:从运算入手,左边为商,右边为积,依由繁到简应化左为右。
将条件与结论统一是关键,在处理三角函数问题时,化异名为同名,统化弦、统化切,力求统一时转化思维的一种重要方法。教学中要引导学生选好切入点实行转化,进一步提高他们的思维水平。
3 对称变换
对称变换是一种在保持一定不变性下的变换,有限次地重复施行这一变换,可使对象回复到自身,一个集合在一定的对称变换下的不变性叫做对称性。几何中的轴对称和中心对称是最直观的对称,还有平面图形绕其内一定点旋转一定的角度的变换,也是常见的对称变换。代数中的对称也有实数与其相反数的对称,复数与共轭复数的对称,还有象对称多项式,轮换对称多项式等。函数的周期性也可以看成对称性,因为周期函数的图象是无限延伸的曲线,在一定的平移下可重合于自身,从而表现出整体的不变性。函数或代数式的对称性基于对称原理:如果一个函数(代数式)中的若干个变量具有对称性,则这个函数(代数式)的极值往往在这些变量相等时取得,至于它是最大值还是最小值,或由问题本身决定,或靠理论作出判断。
例3.在锐角三角形ABC的三边BC、CA、AB上各取一点D、E、F,使DE+EF+FD有最小值。
分析:在⊿ABC中,关键在于确定BC上D的位置,假设D点已作出,作D关于AB、AC的对称点D1、D2,连D1D2,交AB、AC于F、E两点,则⊿DEF的周长是以D为顶点的三角形之中周长最小的。
DE+EF+FD= D1D2,连AD1、AD2、AD。
由 AD1=AD,∠D1AB=∠DAB
AD2=AD,∠D2AB=∠DAB
∠D1AD2=2∠BAC
在⊿D1A D2中,D1D22 = AD12 +AD22 -2AD12 AD2cos∠D1AD2
=4 AD2 sin 2∠BAC
∴ D1D2 =2ADsin∠BAC,∠BAC为定值,要使D1D2最小,只要使AD有最小值,因此点D应是点A在BC上的射影。
解:作AD⊥BC于D,作D关于AB、AC的对称点 D1、 D2,连D1D2,交AB、AC于F、E两点,则D、E、F 三点即为所求。
4 切入变换
同一问题,因思考问题切入的角度不同,解法也不同。
例4. 如图1所示,客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发,以速度v沿直线匀速航行,将货物送达客轮。已知,AB⊥BC且AB=BC=50海里。若两轮船同时起航出发,则两船相遇之处距C点____海里(结果精确到小数点后1位)。(2000年上海)
思考一:首先,容易判断两船相遇的地点不会在线段AB上。
设两船经过时间t,相遇在BC上的一点E处。
由题意得|DE|=vt ,|CE|=100-2vt ,|CD|=25,∠DCE45€啊?
在三角形△DCE中,利用余弦定理可求得vt的值,进而求出CE的长度约为40.8海里。
思考二:建立一个直角坐标系利用距离公式来解题,情况又会怎样呢?
如图2,以点B为坐标原点,AB、BC所在的直线为坐标轴建立直角坐标系, 则点D(-25,25).
设,E(0,y)根据题意有
=.
解上述方程可求得y≈9.17,而CE=50-Y=40.8
思考三:将直角三角形补成一个正方形(如图3)
延长ED交正方形的边于F, 如果货轮以2v的速度从点F航行至点E,与货轮从点D出发以速度v航行至点E所需的时间相等。由此可得|EF|=|AB|+|BE|.于是有以下解法:
设|CE|=x,则由对称性知|FA|=x,
于是由勾股定理得:
|EF|2=502+(50-2x)2 ,
|AB|+|BE|=100-x,
所以502+(50-2x)2=(100-x)2,
解得x≈40.8
所以,两船相遇之处距C点约40.8海里.