用待定系数法求二次函数的解析式是《二次函数》这一章的难点，若能根据已知条件灵活地选用二次函数的七种类型求其解析式，将有利于培养学生的思维灵活性。下面举例说明。
　　1 用y=ax²求二次函数的解析式。（原点式） 因为y=ax²抛物线的顶点为原点，所以当抛物线的顶点在原点时，可设它的解析式为y=ax²。
　　例1 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，4），求抛物线的解析式。
　　分析：由于抛物线的顶点为原点，所以可设它的解析式为y=ax²。又因为过点A（2，4），将A点入即可求得a=1，所以抛物线的解析式为y=x²。
　　2 用y=ax²+k 求二次函数的解析式。（y轴式） 若已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴时，用y=ax²+k求解析式较方便。
　　例2 已知抛物线以y轴为对称轴，且经过（1，1），（2，7）两点，求抛物线的解析式。
　　分析：由于抛物线以y轴为对称轴，故可设抛物线的解析式为y=ax²+k。将所给的两点坐标代入解析式中，可得a=2，k=-1，所以抛物线的解析式为y=2x²-1。
　　3 用y=a(x+h)²求二次函数的解析式。（最值式） 若已知抛物线的顶点在x轴上或最大（小）值为0时，可设它的解析式为y=a(x+h)²较方便。
　　例3 已知二次函数的最小值为0，它的图象经过（1，2）、（0，8）两点，求二次函数的解析式。
　　分析：由于二次函数的最小值为0，故可设其解析式为y=a(x+h)²。将两点坐标代入式中，可求得a=2、h=-2或a=18、h=-2/3。所以二次函数的解析式为y=2(x-2)²或y=18(x-2/3)²。
　　4 y=a(x+h)²+k求二次函数的解析式。（顶点式）
　　当已知二次函数的图象的顶点坐标或对称轴为直线x=b（b≠0）时利用y=a(x+h)²+k求二次函数的解析式较为方便。
　　例4 已知二次函数的对称轴为直线X=2，且经过A（0，3），B（3，6），求二次函数的解析式。
　　分析：由于，二次函数的对称轴为直线X=2，故可设其解析式为y=a(x-2)²+k，再将A，B两点的坐标代入式中，可得a=-1，k=7。所以二次函数的解析式为y=-(x-2)²+7。
　　5 用y=a(x-x1)(x-x²)求二次函数的解析式。（两根式；交点式） 若一元二次方程ax²+bx+c=0，的两个实数根为x¹、x²，则二次三项式ax²+bx+c可分解为a（x-x¹）（x-x²），故二次函数y=ax²+bx+c可变为y=a（x-x¹）（x-x²），所以求此类二次函数的解析式时，只需求出式中的系数a即可。我们还知道方程ax²+bx+c=0的两根x¹、x²就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点坐标。因此当已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标或一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根时，用y=a(x-x¹)(x-x²) 求二次函数的解析式十分方便。
　　例5 已知，方程ax²+bx+c=0的两根为-3、4，且抛物线y=ax²+bx+c经过点p（-1，-20），求抛物线的解析式。
　　分析：因为方程ax²+bx+c=0的两根为-3、4，所以可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4)，再将点p的坐标代入式中，可得a=2，因此，抛物线的解析式为y=2(x+3)(x-4)，即y=2x²-2x-14。
　　6 用y=a(x-x¹)(x-x²) +M求二次函数的解析式。（对称点式）
　　当已知二次函数的图象的两点坐标关于对称轴对称时利用y=a(x-x¹)(x-x²) +M求二次函数的解析式较为方便。
　　例7 已知抛物线y=ax²+bx+c经过（-2，5）、（4，5）、（1，18）三点，求它的解析式。
　　设其解析式为y=a(x-x¹)(x-x²) +M得y=a(x+2)(x-4) +5，将点（1，18）代入可得a=-13/9。所以抛物线的解析式为y=-13/9 (x+2)(x-4) +5。
　　7 用y=ax²+bx+c求二次函数的解析式。（三点式；一般式）
　　当已知二次函数经过任意三点坐标时，利用y=ax²+bx+c求二次函数的解析式较为方便。举例略。
　　 所以，在用待定系数法求二次函数的解析式时，如果能根据题目的已知条件灵活地选用二次函数的七种类型求其解析式，可简化运算，简便地求出二次函数的解析式，更有利于学生思维灵活性的培养。
　　
　　收稿日期：2009-03-03