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本文给出不等式x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的一个加权推广,并用于证明三角形中的几个不等式。定理设p、q、r为正实数,x、y、z为任意实数,则有不等式 1/2(r+p)x~2+1/2(p+q)y~2+1/2(q+r)z~2≥pxy+qyz+rzx (1)式中等号当且仅当x=y=2时成立。证明∵1/2(r+p)x~2+1/2(p+q)y~2+1/2(q+r)z~2-(pxy+qyz+rzx) =1/2[p(x-y)~2+q(y-z)~2+r(z-x)~2]≥0 故不等式(1)成立,显然,式中等号当