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[摘要] 对订货问题建立了一个最优存储数学模型，利用优化理论并结合具体实例进行了求解，确定了保持存货在一个足够的水平上，零售商可以接受的一个最优订货策略。
[关键词] 存储模型 订货 零售商 批发商
一、订货问题及其数学模型
1.问题的背景
在某类商品(比如化妆品）的销售过程中，化妆品零售商一方面希望从批发商处购买足够的化妆品，以免过多的顾客在其商店里找不到他们所需要的化妆品;另一方面，零售商也不希望购买太多的化妆品以免造成积压，也就是说，零售商希望有足够的存储以满足需求，但是仅此而已，不需更多的了。显然，某些类型的或者某些品牌的化妆品会很畅销。因此，零售商将会以较快的速度向批发商再次订购畅销的化妆品。为了简明起见，我们将把分析约束于一种类型的化妆品。
2.数学模型的建立及求解
对一种特定类型的化妆品需要考虑下面三类费用:
（1)组织费，记为a，该费用包括诸如有关订货的打印文书工作、记录保持费用等;（2)购买费，记为b元/件(一瓶化妆品）;（3)贮存费，记为c元/件/单位时间，以支付货物在商店保存的费用。
零售商当然会收集并保存相当长一段时间的销售记录数据，此外，为了使建立的数学模型简明，还需要作下面一些假设:
（1)零售商以一个已知的恒定速率ν连续地销售其货物;（2)当零售商从批发商处一次订购d瓶化妆品时，所有的d瓶化妆品将会在期望的时间同时到达零售商店;（3)选定的某特定类型的化妆品在零售商店里缺货，零售商是否能容忍?对此,假定两种变通的情况——缺货是可以容忍的，或者缺货是不可容忍的——都是可以的，至于究竟选择二者中哪一个只是零售商自己决定的个人问题。本文我们假定，缺货是不容许的;（4)取一个月(30天)作为时间单位。
现在我们就提出一个确定性的商品订货问题:对于一种特定类型的化妆品，零售商应该隔多长时间就向批发商去订购一次货，每次订货多少才能使他在单位时间内的费用最小？
由前面的假设,我们可以建立下面的确定性模型:
(1)订货是一个周期事件 零售商从批发商处一次订购d件，而他期待着以每单位时间ν件的速率向顾客销售这些商品。因为缺货是不允许的，所以连续两次订货的时间间隔为d/ν时间单位;也就是说，订购这一特定类型的化妆品是一个周期事件，其周期为d/ν，以月计。
（2)每单位时间的花费 如果d=0（即不订购化妆品），则每周期的购买费用是0元，如果d＞0(订购 瓶化妆品），则购买费用是a+bd元。另外，注意到一个周期内的平均存储水平为(d+0)/2=d/2瓶，因此相应的贮存费用为每单位时间cd/2元。由于周期长度为d/ν月，所以每个周期的贮存费用为(cd/2)(d/ν)=cd2/2ν元。于是每个周期的总费用为a+bd+cd2/2ν元，而每瓶化妆品的总费用为
（3)d的最小值求使T最小的d*，即求其中ν,a,b,c为已知的正实数。
令f`(d)=0，得惟一驻点。更进一步分析,当时,f(d)是单调减少的,而当时，f(d)是单调增加的。因此，使T最小的,连续两次订货的时间间隔(即最优循环周期)为。
二、数值实例及求解
某商店出售一种全年都有的护肤化妆品，且预期将流行一段足够长的时间，零售商估计每次订货的组织费为20元，每瓶化妆品需花费零售商4.80元加上0.10元的运费。零售商将这种化妆品的贮存费估计为每瓶每月0.83元。（零售商比如可以如下法得到贮存费的估计:以每瓶9.98出售这种护肤品，所以零售商可以认为每个月内每瓶这样的护肤品对其的价值为9.98/12=0.83元）零售商期待以每月平均100瓶的速率销售这种护肤品。
1.d*的初步计算 仍采用前面的记号，有a=20元，b=4.80元， c=0.83元,ν=100，所以使得总费用最小的这种护肤品的订购量为
按照问题的实际情况，有两个问题必须重新考虑。其一，订购69.42瓶护肤品是基于假设模型求出的精确理论值，实际情况d必须是整数。其二,按照商业销售惯例，批发商向零售商出售总是多少瓶一箱件的(比如12瓶一箱、18瓶一箱、24瓶一箱等等）。此处，我们假定零售商可以从批发商处订购的护肤品是24瓶一箱的。
2.d*的最终计算 注意到当d∈(0.69,42)时,f`(d)＜0，知f(d)是单调减少的，而当d∈(69.42,∞)时，f`(d)＞0,知f(d)是单调增加的。需要再计算f(48)和f(72)，因为48和72是24的倍数中最接近69342的两个，一个小于它，另一个大于它。计算得f(48)=541.59元/月，f(72)=537.66元/月。于是应订购d*实＝72这样的护肤品。最优循环周期t*=d*实/ν=72/100=0.72月，所以零售商订货策略是:应间隔21天或22天，订购72瓶这样的护肤化妆品。
三、两点评注
1．建立的模型是确定性的，即一个周期内的需求量是已知道的。如果不是这样的话,更合适的模型将是随机的(或概率的)，也就是一个周期内的需求量是一个已知分布的随机变量。
2.费用函数T=f(d)=νa/d+νb+cd/2。其中a=20，b=4.80,c=0.83,ν=100，也可以利用Matlab强大的绘图功能画出总费用函数图形,从图中我们可以大致看出在d=69.42附近,函数确实达到了极小值。这种图形显示方法有其优越性，在考查函数的极值时可与分析方法结合使用。
参考文献:
[1]胡运权郭耀煌:运筹学教程[M].北京:清华大学出版社，2003，358-368
[2]姜启源谢金星叶俊:数学模型[M].北京:高等教育出版社，2003，84-89
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
[关键词] 存储模型 订货 零售商 批发商
一、订货问题及其数学模型
1.问题的背景
在某类商品(比如化妆品）的销售过程中，化妆品零售商一方面希望从批发商处购买足够的化妆品，以免过多的顾客在其商店里找不到他们所需要的化妆品;另一方面，零售商也不希望购买太多的化妆品以免造成积压，也就是说，零售商希望有足够的存储以满足需求，但是仅此而已，不需更多的了。显然，某些类型的或者某些品牌的化妆品会很畅销。因此，零售商将会以较快的速度向批发商再次订购畅销的化妆品。为了简明起见，我们将把分析约束于一种类型的化妆品。
2.数学模型的建立及求解
对一种特定类型的化妆品需要考虑下面三类费用:
（1)组织费，记为a，该费用包括诸如有关订货的打印文书工作、记录保持费用等;（2)购买费，记为b元/件(一瓶化妆品）;（3)贮存费，记为c元/件/单位时间，以支付货物在商店保存的费用。
零售商当然会收集并保存相当长一段时间的销售记录数据，此外，为了使建立的数学模型简明，还需要作下面一些假设:
（1)零售商以一个已知的恒定速率ν连续地销售其货物;（2)当零售商从批发商处一次订购d瓶化妆品时，所有的d瓶化妆品将会在期望的时间同时到达零售商店;（3)选定的某特定类型的化妆品在零售商店里缺货，零售商是否能容忍?对此,假定两种变通的情况——缺货是可以容忍的，或者缺货是不可容忍的——都是可以的，至于究竟选择二者中哪一个只是零售商自己决定的个人问题。本文我们假定，缺货是不容许的;（4)取一个月(30天)作为时间单位。
现在我们就提出一个确定性的商品订货问题:对于一种特定类型的化妆品，零售商应该隔多长时间就向批发商去订购一次货，每次订货多少才能使他在单位时间内的费用最小？
由前面的假设,我们可以建立下面的确定性模型:
(1)订货是一个周期事件 零售商从批发商处一次订购d件，而他期待着以每单位时间ν件的速率向顾客销售这些商品。因为缺货是不允许的，所以连续两次订货的时间间隔为d/ν时间单位;也就是说，订购这一特定类型的化妆品是一个周期事件，其周期为d/ν，以月计。
（2)每单位时间的花费 如果d=0（即不订购化妆品），则每周期的购买费用是0元，如果d＞0(订购 瓶化妆品），则购买费用是a+bd元。另外，注意到一个周期内的平均存储水平为(d+0)/2=d/2瓶，因此相应的贮存费用为每单位时间cd/2元。由于周期长度为d/ν月，所以每个周期的贮存费用为(cd/2)(d/ν)=cd2/2ν元。于是每个周期的总费用为a+bd+cd2/2ν元，而每瓶化妆品的总费用为
（3)d的最小值求使T最小的d*，即求其中ν,a,b,c为已知的正实数。
令f`(d)=0，得惟一驻点。更进一步分析,当时,f(d)是单调减少的,而当时，f(d)是单调增加的。因此，使T最小的,连续两次订货的时间间隔(即最优循环周期)为。
二、数值实例及求解
某商店出售一种全年都有的护肤化妆品，且预期将流行一段足够长的时间，零售商估计每次订货的组织费为20元，每瓶化妆品需花费零售商4.80元加上0.10元的运费。零售商将这种化妆品的贮存费估计为每瓶每月0.83元。（零售商比如可以如下法得到贮存费的估计:以每瓶9.98出售这种护肤品，所以零售商可以认为每个月内每瓶这样的护肤品对其的价值为9.98/12=0.83元）零售商期待以每月平均100瓶的速率销售这种护肤品。
1.d*的初步计算 仍采用前面的记号，有a=20元，b=4.80元， c=0.83元,ν=100，所以使得总费用最小的这种护肤品的订购量为
按照问题的实际情况，有两个问题必须重新考虑。其一，订购69.42瓶护肤品是基于假设模型求出的精确理论值，实际情况d必须是整数。其二,按照商业销售惯例，批发商向零售商出售总是多少瓶一箱件的(比如12瓶一箱、18瓶一箱、24瓶一箱等等）。此处，我们假定零售商可以从批发商处订购的护肤品是24瓶一箱的。
2.d*的最终计算 注意到当d∈(0.69,42)时,f`(d)＜0，知f(d)是单调减少的，而当d∈(69.42,∞)时，f`(d)＞0,知f(d)是单调增加的。需要再计算f(48)和f(72)，因为48和72是24的倍数中最接近69342的两个，一个小于它，另一个大于它。计算得f(48)=541.59元/月，f(72)=537.66元/月。于是应订购d*实＝72这样的护肤品。最优循环周期t*=d*实/ν=72/100=0.72月，所以零售商订货策略是:应间隔21天或22天，订购72瓶这样的护肤化妆品。
三、两点评注
1．建立的模型是确定性的，即一个周期内的需求量是已知道的。如果不是这样的话,更合适的模型将是随机的(或概率的)，也就是一个周期内的需求量是一个已知分布的随机变量。
2.费用函数T=f(d)=νa/d+νb+cd/2。其中a=20，b=4.80,c=0.83,ν=100，也可以利用Matlab强大的绘图功能画出总费用函数图形,从图中我们可以大致看出在d=69.42附近,函数确实达到了极小值。这种图形显示方法有其优越性，在考查函数的极值时可与分析方法结合使用。
参考文献:
[1]胡运权郭耀煌:运筹学教程[M].北京:清华大学出版社，2003，358-368
[2]姜启源谢金星叶俊:数学模型[M].北京:高等教育出版社，2003，84-89
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。