整数数列中是否有无穷多素数的问题是数论研究中的一个重要问题.它起源于算术级数的Dirichlet素数定理,直到现在许多人仍从事于特殊数列中素数有无穷多个的猜想的研究.因此,考虑算术动力系统轨道中素数出现的问题是一件自然的事情.可以从三个不同角度来研究轨道中的素数:素数的密度,本原素因子,Iwasawa序列.本文主要研究算术动力系统轨道中本原素因子的存在性问题.另外还研究了椭圆曲线的整点和Lehmer问题.本文分为四部分:第一章,我们给出了所要研究问题的背景以及一些主要结果.第二章,设h:Q→[0,∞)为绝对高度函数.Lehmer猜想断言:存在绝对正常k使得如果φ(z)∈ Z[z]均是次数d≥ 1的首一多项式,且其根不是单位根,则∑φ(α)=0 h(α)≥k.尽管在限制α值的情况下,猜想是成立的,但这个问题至今没有完全解决.在本章,对一类与加权齐次多项式相关的多项式,我们得到了类似的结论.第三章,基于Siegel定理一条椭圆曲线仅有有限多个整点),确定椭圆曲线的整点个数成为一个有趣味的问题.人们为解决这一问题发展了许多新的的方法.V.Mahe将关于扩大的椭圆曲线可除列的素数猜想与两个经典问题(Thue方程求解问题和寻找椭圆曲线的整点问题)建立了联系.在本章,对素数p,q进行适当限制,我们对椭圆曲线Epq:y2=x3+(pq—12)x-2(pq-8),确定了其所有整点.第四章,设φ(z)∈Q[z]是一个次数为d≥2的有理函数,记φn是φ的n次迭代.对于给定的α∈Q,α关于φ(z)的轨道集是:Oφ(α)=｛φn(α):n≥0}.我们将研究轨道Oφ(α)中本原素因子的存在性问题.设A=(An)n≥1是一整数列,对于素数p,若p|An且p|Am,1≤m<n,称p是An的一个本原素因子;集合Z(A)=｛n:An无本原素因子}称为序列A的Zsimondy集.在这一章,对于加权齐次多项式ft(x)的零轨道和一般有理函数零轨道的某个特殊子列,我们证明了其相关的Zsimondy集是有限的.