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【摘要】《线性代数》这门课具有概念多且抽象、概念之间密切相关、计算量大且繁琐等特点，所以探讨如何学好线性代数是很有必要的.通过举例的方式，从教与学两个方面谈如何学好《线性代数》，并提出了七点见解.
【关键词】线性代数；教学方式；学习方式
【基金项目】广西高等教育教学改革工程项目，探索线性代数初等变换法的教学新模式（2013JGB430）.
线性代数有三个基本计算单元（行列式，矩阵，向量组），通过研究它们的性质、运算法则、相关定理，可以帮助求解线性方程组，实现线性变换，构建向量空间和欧式空间.解线性代数题的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简降阶和同构变换.
线性代数是高等数学的一大分支，是经济类、管理类等学生必不可少的基础性课程——它不仅为后续课程（诸如，理工专业的信号与系统、自动控制原理等；经管类专业的微观经济学、数量经济学等）的学习提供必备的数学基础知识[1]，也是实践中重要的基础性工具.它的基本内容包括行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵对角化、二次型、线性空间与线性变换等.与其他学科相比较，一方面，线性代数是一门全新的学科，一时半会学生很难理解和接受；另一方面，由于抽象、知识点多、前后连贯性强，因而对于学习者来说，具有一定的挑战性，学习难度也增大，耗时也增长.因其抽象难懂，学习不便，对授课者的要求也会更高更严，需要授课者在授课时更能精准的抓重点、指难点、析要点.换句话说，授课者本身要对教材、对知识点如数家珍，胸有成竹，同时，要有良好的教学方式方法，因材施教、深入浅出.笔者根据几年来的教学实践和经验，提出自己的一些粗浅的见解，与大家共同学习、研讨.
为让学习者能够较好的掌握线性代数的概念、定理、性质及相关应用，笔者试图从以下几方面与大家探讨：
（1）授课者在讲授线性代数的过程中，开始就要让学习者充分了解掌握学科背景、基本定理、运算法则以及他们的前因后果、来龙去脉.引导式的教学方法适合线性代数的教学，学习者跟随授课者一起，从背景出发、顺引例指导、沿概念前进、以定理为航标，由具体提炼抽象，用具体检验抽象，再将抽象回归到具体，可使学习者在学习的过程中思路清晰，不仅对概念、定理有充分的认识，对抽象出来的性质也会更牢记于心，运用自然.例如，在讲行列式的概念时，可以从计算平行四边形的面积引入.以向量OA=（a1 ，a2），OB=（b1 ，b2）为邻边做一个平行四边形OAPB，做向量OB1=（ b2，-b1）.根据向量的知识可得SOAPB=|OA||OB|sin∠AOB=|OA||OB|cos∠AOB-2[]π=|OA||OB1|cos∠AOB1 =OA·OB1=a1 b2-a2b1=a1b1a2b2.在讲GramSchmidt正交化过程的时候，可以从计算平行六面体的体积入手.求以向量α，β，η为棱的平行六面体的体积？先算以向量α与向量β所确定的平行四边形的面积，即把向量α取成底，再算向量β在向量α的投影得出高；再算平行六面体的高，即向量η在向量α与向量β所确定的平面的投影.既然如此，就可以用Gram-Schmidt正交化过程把α，β，η正交化，相应于矩阵就是QR分解[α，β，η]=QR，Q是正交阵，R是对角元为正数的上三角阵，det（[x，y，z]）=±det（R），det（Q）决定了符号，事实上R（1，1），R（2，2），R（3，3）分别是向量α、向量β在向量α上的投影与向量η在向量α，β所确定的平面的投影的长度，所以det（R）就是体积.指出n阶行列式是将其本质抽象出来而推广的一个概念.在讲向量组等价问题时，先列举两个简单的且学生很容易看出这两个向量组可以相互线性表示的向量组（A）和向量组（B），例如，向量组A： α1 =（1，1，1），α2=（1，2，0） ； 向量组B：β1=（1，0，2），β2=（0，1，-1）.显然 α1=β1 β2，
α2==β1 2β2；β1=2α1- α2，β2=-α1 α2 从而推出等价的概念.
（2）讲概念时，对概念层层分析的同时还需举出相应的例子，通过实例来分析理解概念，如有必要还需列举一些与概念相关的变式题或反例给学生做，使学生通过做题更好地理解其真正的含义及用法.比较的研究和学习方法对授课者和学习者来说，能收到事半功倍的效果.授课者在讲授线性代数中诸多相似的、相近的概念时都可以带领学习者对其进行比较学习.通过比较，学习者可以深刻理解掌握不同概念、定理间的内涵、外延以及彼此间的异同.例如：矩阵的三种关系：等价、相似、合同.从字面上看，等价、相似与合同都是近义词，这时候如果采取比较的方法，就可以清晰的了解他们的内涵、外延及应用.一比较可以看出，秩一样，矩阵等价；正定性一样，矩阵合同；矩阵特征值一样，矩阵相似.相似必合同，合同必等价.
（3）在教学过程中，授课者和学习者应严格区分线性代数和中学知识的异同.例如，有关矩阵的运算，并不像数那样直接相加（减）、乘（除），而是要遵守严格的运算法则和特殊条件.矩阵相加，不是任意两个矩阵都可以相加，必须要是同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）才可以.两矩阵相乘，并不是任意两个矩阵都可以相乘，只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵相乘才会有意义.矩阵的乘法满足结合律，但是不满足消去律和交换律.所以学习线性代数时，要忘掉以前的成规，进入到它的学习体系.
（4）授课者和学习者应要秉承细致严谨的态度.线性代数的概念多、性质复杂，概念之间联系密切、计算量大等都是其他数学课程所难以比拟的，甚至诸多的符号都表示其特殊的含义.这就需要授课者和学习者细致严谨，记牢记清，辩同区异，不能想当然.例如，不同符号标示的位置、行列式与矩阵符号的区分、运算时行列式与矩阵的位置及矩阵的初等变换过程用箭头表示而利用行列式的性质计算行列式的值的过程用等号表示等等都会失之毫厘，谬以千里.如果教学时不严谨，张冠李戴，就容易犯错.
（5）循循善诱，激发学习者的学习兴趣；由浅入深，树立学习者的信心；旁敲侧击，引导学习者独立思考.授课者在授课时应思路清晰，由浅入深，由易到难，从熟悉的到陌生的，从通俗的到抽象的，循序渐进，这样学习者才能触类旁通，前后连贯，又不感觉吃力紧张，同时还能提高学习者抽象思维和逻辑推理的能力.例如，计算平行四边形的面积和平行六面体的体积都是学习者轻车熟路的技能，然而用行列式来计算它们的面积和体积却不是人人都会的.授课者可以从用行列式来计算简单的、已为学习者熟知的知识开始，引导他们深入学习行列式以及应用.当然授课者也应根据实际需要留给学习者一定的独立思考时间，而不能一味的灌输，从而使学习者能够融会贯通，前后呼应.另外，兴趣是最好的老师，是放之四海而皆准的真理.用一些诸如学习者能理解的应用案例来启发学习者的兴趣，也是行之有效的方法.
（6）在授课中注意黑板教学与多媒体教学的有机结合.教师可在适当的时候，利用数学软件演示行列式运算、矩阵运算、解线性方程组等，开拓学生视野，增强学生应用计算机解决数学问题的能力.所以在教学方法上，我们可以采用多媒体教学与黑板教学的结合.
（7）在线性代数的教学中，教师往往只进行大量的讲述和计算，而不注重数学的应用，从而给学生一种学而无用的错觉[2].因此，在适当的时候，教师可以列举一些与线性代数相关的应用题，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力及让学生感受到线性代数是一门有用的学科.
以上内容是本人通过多年的教学实践总结出来的几点见解.虽然前人们已经探讨了探究性教学模式、类比式学习模式以及应用现代计算技术的实践模式在线性代数教学实践中的应用[3].但是面对不同的学生，线性代数的教学法还是大相径庭.因此，教师们还得通过不断的教学实践，不断地总结与探讨，寻找出最适合学生的教学方法.
参考文献
[1]陈向勇，邱建龙，周建伟.线性代数课程教学改革探索[J].湘南学院学报，2014，05：59-63.
[2]周贵祥.以问题为背景的线性代数教学方法初探[J].大众文艺，2010，17：214.
[3]陈凤娟.线性代数的教学研究[J].高师理科学刊，2012，01：74-76.
【关键词】线性代数；教学方式；学习方式
【基金项目】广西高等教育教学改革工程项目，探索线性代数初等变换法的教学新模式（2013JGB430）.
线性代数有三个基本计算单元（行列式，矩阵，向量组），通过研究它们的性质、运算法则、相关定理，可以帮助求解线性方程组，实现线性变换，构建向量空间和欧式空间.解线性代数题的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简降阶和同构变换.
线性代数是高等数学的一大分支，是经济类、管理类等学生必不可少的基础性课程——它不仅为后续课程（诸如，理工专业的信号与系统、自动控制原理等；经管类专业的微观经济学、数量经济学等）的学习提供必备的数学基础知识[1]，也是实践中重要的基础性工具.它的基本内容包括行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵对角化、二次型、线性空间与线性变换等.与其他学科相比较，一方面，线性代数是一门全新的学科，一时半会学生很难理解和接受；另一方面，由于抽象、知识点多、前后连贯性强，因而对于学习者来说，具有一定的挑战性，学习难度也增大，耗时也增长.因其抽象难懂，学习不便，对授课者的要求也会更高更严，需要授课者在授课时更能精准的抓重点、指难点、析要点.换句话说，授课者本身要对教材、对知识点如数家珍，胸有成竹，同时，要有良好的教学方式方法，因材施教、深入浅出.笔者根据几年来的教学实践和经验，提出自己的一些粗浅的见解，与大家共同学习、研讨.
为让学习者能够较好的掌握线性代数的概念、定理、性质及相关应用，笔者试图从以下几方面与大家探讨：
（1）授课者在讲授线性代数的过程中，开始就要让学习者充分了解掌握学科背景、基本定理、运算法则以及他们的前因后果、来龙去脉.引导式的教学方法适合线性代数的教学，学习者跟随授课者一起，从背景出发、顺引例指导、沿概念前进、以定理为航标，由具体提炼抽象，用具体检验抽象，再将抽象回归到具体，可使学习者在学习的过程中思路清晰，不仅对概念、定理有充分的认识，对抽象出来的性质也会更牢记于心，运用自然.例如，在讲行列式的概念时，可以从计算平行四边形的面积引入.以向量OA=（a1 ，a2），OB=（b1 ，b2）为邻边做一个平行四边形OAPB，做向量OB1=（ b2，-b1）.根据向量的知识可得SOAPB=|OA||OB|sin∠AOB=|OA||OB|cos∠AOB-2[]π=|OA||OB1|cos∠AOB1 =OA·OB1=a1 b2-a2b1=a1b1a2b2.在讲GramSchmidt正交化过程的时候，可以从计算平行六面体的体积入手.求以向量α，β，η为棱的平行六面体的体积？先算以向量α与向量β所确定的平行四边形的面积，即把向量α取成底，再算向量β在向量α的投影得出高；再算平行六面体的高，即向量η在向量α与向量β所确定的平面的投影.既然如此，就可以用Gram-Schmidt正交化过程把α，β，η正交化，相应于矩阵就是QR分解[α，β，η]=QR，Q是正交阵，R是对角元为正数的上三角阵，det（[x，y，z]）=±det（R），det（Q）决定了符号，事实上R（1，1），R（2，2），R（3，3）分别是向量α、向量β在向量α上的投影与向量η在向量α，β所确定的平面的投影的长度，所以det（R）就是体积.指出n阶行列式是将其本质抽象出来而推广的一个概念.在讲向量组等价问题时，先列举两个简单的且学生很容易看出这两个向量组可以相互线性表示的向量组（A）和向量组（B），例如，向量组A： α1 =（1，1，1），α2=（1，2，0） ； 向量组B：β1=（1，0，2），β2=（0，1，-1）.显然 α1=β1 β2，
α2==β1 2β2；β1=2α1- α2，β2=-α1 α2 从而推出等价的概念.
（2）讲概念时，对概念层层分析的同时还需举出相应的例子，通过实例来分析理解概念，如有必要还需列举一些与概念相关的变式题或反例给学生做，使学生通过做题更好地理解其真正的含义及用法.比较的研究和学习方法对授课者和学习者来说，能收到事半功倍的效果.授课者在讲授线性代数中诸多相似的、相近的概念时都可以带领学习者对其进行比较学习.通过比较，学习者可以深刻理解掌握不同概念、定理间的内涵、外延以及彼此间的异同.例如：矩阵的三种关系：等价、相似、合同.从字面上看，等价、相似与合同都是近义词，这时候如果采取比较的方法，就可以清晰的了解他们的内涵、外延及应用.一比较可以看出，秩一样，矩阵等价；正定性一样，矩阵合同；矩阵特征值一样，矩阵相似.相似必合同，合同必等价.
（3）在教学过程中，授课者和学习者应严格区分线性代数和中学知识的异同.例如，有关矩阵的运算，并不像数那样直接相加（减）、乘（除），而是要遵守严格的运算法则和特殊条件.矩阵相加，不是任意两个矩阵都可以相加，必须要是同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）才可以.两矩阵相乘，并不是任意两个矩阵都可以相乘，只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵相乘才会有意义.矩阵的乘法满足结合律，但是不满足消去律和交换律.所以学习线性代数时，要忘掉以前的成规，进入到它的学习体系.
（4）授课者和学习者应要秉承细致严谨的态度.线性代数的概念多、性质复杂，概念之间联系密切、计算量大等都是其他数学课程所难以比拟的，甚至诸多的符号都表示其特殊的含义.这就需要授课者和学习者细致严谨，记牢记清，辩同区异，不能想当然.例如，不同符号标示的位置、行列式与矩阵符号的区分、运算时行列式与矩阵的位置及矩阵的初等变换过程用箭头表示而利用行列式的性质计算行列式的值的过程用等号表示等等都会失之毫厘，谬以千里.如果教学时不严谨，张冠李戴，就容易犯错.
（5）循循善诱，激发学习者的学习兴趣；由浅入深，树立学习者的信心；旁敲侧击，引导学习者独立思考.授课者在授课时应思路清晰，由浅入深，由易到难，从熟悉的到陌生的，从通俗的到抽象的，循序渐进，这样学习者才能触类旁通，前后连贯，又不感觉吃力紧张，同时还能提高学习者抽象思维和逻辑推理的能力.例如，计算平行四边形的面积和平行六面体的体积都是学习者轻车熟路的技能，然而用行列式来计算它们的面积和体积却不是人人都会的.授课者可以从用行列式来计算简单的、已为学习者熟知的知识开始，引导他们深入学习行列式以及应用.当然授课者也应根据实际需要留给学习者一定的独立思考时间，而不能一味的灌输，从而使学习者能够融会贯通，前后呼应.另外，兴趣是最好的老师，是放之四海而皆准的真理.用一些诸如学习者能理解的应用案例来启发学习者的兴趣，也是行之有效的方法.
（6）在授课中注意黑板教学与多媒体教学的有机结合.教师可在适当的时候，利用数学软件演示行列式运算、矩阵运算、解线性方程组等，开拓学生视野，增强学生应用计算机解决数学问题的能力.所以在教学方法上，我们可以采用多媒体教学与黑板教学的结合.
（7）在线性代数的教学中，教师往往只进行大量的讲述和计算，而不注重数学的应用，从而给学生一种学而无用的错觉[2].因此，在适当的时候，教师可以列举一些与线性代数相关的应用题，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力及让学生感受到线性代数是一门有用的学科.
以上内容是本人通过多年的教学实践总结出来的几点见解.虽然前人们已经探讨了探究性教学模式、类比式学习模式以及应用现代计算技术的实践模式在线性代数教学实践中的应用[3].但是面对不同的学生，线性代数的教学法还是大相径庭.因此，教师们还得通过不断的教学实践，不断地总结与探讨，寻找出最适合学生的教学方法.
参考文献
[1]陈向勇，邱建龙，周建伟.线性代数课程教学改革探索[J].湘南学院学报，2014，05：59-63.
[2]周贵祥.以问题为背景的线性代数教学方法初探[J].大众文艺，2010，17：214.
[3]陈凤娟.线性代数的教学研究[J].高师理科学刊，2012，01：74-76.