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【摘要】函数是高中数学一个重要的知识板块，纵观近三年的全国高考试题和模拟题，函数的重要性不言而喻.本文主要通过具体实例分析了一轮复习中“函数压轴小题”的复习策略，总结了利用函数的综合性质解决问题的方法和技巧，为一轮复习备考指明了方向.
【关键词】函数;高考试题;压轴小题;综合性质;备考
1.函数的综合性质
纵观近三年全国高考试题和模拟题，它们有一个共同特点，涉及函数的小题都是两道，通常一道容易一道压轴，压轴小题都是考查函数的综合性质.高中数学学习的函数的基本性质有：单调性、极值性、最值性、奇偶性、周期性和对称性，综合性质就是至少涉及两个及以上基本性质.
2.复习策略
函数压轴小题作为高考的必考内容，很多学生在解决这一类问题时都是一头雾水，甚至直接放弃，这往往是与一轮复习效果不好有关.古人云：“授人以鱼不如授人以渔”，在函数压轴小题的复习中，教师更注重的是题型的归纳总结、方法的引导传授，而不是根据一轮复习资料就题讲题.下面我们通过具体的实例分析“函数压轴小题”命题特点，以便学生能更好地掌握命题规律和解题策略，为有效的一轮复习备考提供有力的保障.
命题方向一：单调性和奇偶性综合应用
解析：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小.解题思路是利用奇偶性将要判断的函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性就可以比较大小了，很容易能得出答案C.
总结：利用函数的奇偶性和单调性可以解决不等式求解问题、函数值大小比较问题.函数的奇偶性通常有两种给出方式，一种是抽象函数，还有一种就是给出具体函数让我们去判断，而且基本都是偶函数，单调性给出方式亦如此.
命题方向二：单调性和周期性综合应用
解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性.从四个选项中可以看出，利用周期性可以排除C，D，利用单调性可以排除B，故正确选项为A.
总结：利用函数的单调性可以比较函数值大小和解不等式，利用周期性一般都是求值，所以二者结合出题都是比较函数值的大小，但也不排除选择题中会出现让我们选择满足奇偶性和周期性的一个函数.
命题方向三：单调性和对称性综合应用
解析：本题主要考查函数的性质和单调性的应用.
故本题正确答案为D.
总结：函数的对称性分为直线对称和中心对称，关于直线对称的函数就是广义的偶函数，关于中心对称的函数就是广义的奇函数.解决此类问题之前要熟悉两种对称的数学表达式，这样看到题目条件就知道是什么对称，然后利用对称性把给定的函数值转化到同一个单调区间再进行比较大小，或者利用对称性画出函数图像草图，再利用数形结合思想也可以快速比较函数值的大小或求解相关不等式.
命题方向四：奇偶性和对称性综合应用
总结：利用函数的奇偶性和对称性可以推出函数的周期性，或由函数的两个对称性（两个中心对称、两个直线对称、一个中心对称一个直线对称）也可以推导出周期性（读者自行证明）.知道了函数的周期性，后续问题就迎刃而解了，这种类型的问题也是高考出题的重点.
命题方向五：奇偶性和周期性综合应用
解析：本题利用给定的区间解析式画出相应图像，再利用偶函数补全[0，2]的图像，再根据周期性可以画出（-2，6）上的图像，然后把所求方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数，通过数形结合的思想可以得到关于a的不等式，最后求解这个不等式就可以得出答案B.
总结：通过函数的奇偶性和周期性可以推导出函数的对称性，解决问题时必须把这三个性质放在一起，通常出现的题型有：利用周期性和奇偶性求值和求解析式、判断函数零点的个数或由函数零点的个数求参数的取值范围，解决恒成立问题等.
命题方向六：对称性和周期性综合应用
总结：我们要熟悉周期性给出的四种形式，做题时，一看就要知道.对于这类问题的求解，只要是涉及较大数的函数值或者很多个数的函数值之和，我们肯定会想到周期性.但很多问题不是单一考查周期性，所以我们要充分利用好对称性进一步求解.
命题方向七：奇偶性、单调性和周期性综合应用
解析：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性和周期性综合性质去画函数在要求区间上的图像，然后利用数形结合的思想去求解方程根（或函数零点）问题.首先利用奇偶性和单调性画出[0，2]上的草图，然后利用奇偶性和周期性可以推出函数图像关于x=2对称，进而可以画出[2，4]上的图像，再利用奇偶性可以画出[-4，0]图像，所以一个周期图像就画出来了，这样所要求区间图像也能很好地画出来，最后的问题就变得很简单了，答案为-8.
总结：这类问题虽然只考了3个性质，但是用到的是4个性质.里面也是有规律可循的，一般出题是告诉单调性，奇偶性、周期性和对称性只会告诉两个，因为有了两个我们就可以自然推导出第三个.对于这样类型的综合题，我们一定要全面分析好函数的综合性质，然后画出函数的图像，利用数形结合的思想很快就能解决问题.
命题方向八：奇偶性、单调性和最值性综合应用
解析：本题位于2019年全国一卷选择倒数第二题，考查了具体函数的综合性质.由函数解析式很容易判断①是对的;对于②很容易把原函数中两个绝对值符号直接去掉，解析式变成了2sin x，所以②错;对于③，我们很容易利用奇偶性画出函数图像，通过图像可以得知函数零点有3个，所以③也是错误的;很容易知道④是对的.所以本题答案是C.
总结：如果函数具有奇偶性，我们只需要知道定义域一半区间上的单调性就可以了，通过对称性补全整个区间上函数图像，有了函数的单调性，最值问题就变得非常简单了.上题虽然是具体函数，我们也可以在抽象函数中考查同样内容.
命题方向九：单调性、极值性和函数零点综合应用（参考2019年全国三卷理科数学选择题12题）
3.结束语
掌握函数的综合性质是学好函数知识的前提，也是顺利解决高考试题的一个重要策略.特别是在高三的一轮复习过程中，我们怎样才能使得复习变得事半功倍，这就需要老师多动脑思考如何“授人以渔”，真正教会学生解决函数小题的方法.虽然“函数压轴小题”层出不穷，但常考的题型和涉及的方法是有限的，需要老师抛开题海战术，从典型例题和思想方法上面教会学生.另外，帮助学生消除畏难心理，强调这块内容在高考中的重要性，让学生真正喜欢上做函数压轴小题，我相信这样的复习一定是成功的.
【参考文献】
[1]李思源.高中数学“函数压轴小題”命题方向及解题策略例谈[J].数学学习与研究，2018（03）：130.
[2]岳洪伟.浅谈高考函数问题及解题策略[J].数学学习与研究，2017（04）：136.
[3]李泳慧.活用函数的基本性质解题[J].中国高新区，2018（01）：123.
【关键词】函数;高考试题;压轴小题;综合性质;备考
1.函数的综合性质
纵观近三年全国高考试题和模拟题，它们有一个共同特点，涉及函数的小题都是两道，通常一道容易一道压轴，压轴小题都是考查函数的综合性质.高中数学学习的函数的基本性质有：单调性、极值性、最值性、奇偶性、周期性和对称性，综合性质就是至少涉及两个及以上基本性质.
2.复习策略
函数压轴小题作为高考的必考内容，很多学生在解决这一类问题时都是一头雾水，甚至直接放弃，这往往是与一轮复习效果不好有关.古人云：“授人以鱼不如授人以渔”，在函数压轴小题的复习中，教师更注重的是题型的归纳总结、方法的引导传授，而不是根据一轮复习资料就题讲题.下面我们通过具体的实例分析“函数压轴小题”命题特点，以便学生能更好地掌握命题规律和解题策略，为有效的一轮复习备考提供有力的保障.
命题方向一：单调性和奇偶性综合应用
解析：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小.解题思路是利用奇偶性将要判断的函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性就可以比较大小了，很容易能得出答案C.
总结：利用函数的奇偶性和单调性可以解决不等式求解问题、函数值大小比较问题.函数的奇偶性通常有两种给出方式，一种是抽象函数，还有一种就是给出具体函数让我们去判断，而且基本都是偶函数，单调性给出方式亦如此.
命题方向二：单调性和周期性综合应用
解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性.从四个选项中可以看出，利用周期性可以排除C，D，利用单调性可以排除B，故正确选项为A.
总结：利用函数的单调性可以比较函数值大小和解不等式，利用周期性一般都是求值，所以二者结合出题都是比较函数值的大小，但也不排除选择题中会出现让我们选择满足奇偶性和周期性的一个函数.
命题方向三：单调性和对称性综合应用
解析：本题主要考查函数的性质和单调性的应用.
故本题正确答案为D.
总结：函数的对称性分为直线对称和中心对称，关于直线对称的函数就是广义的偶函数，关于中心对称的函数就是广义的奇函数.解决此类问题之前要熟悉两种对称的数学表达式，这样看到题目条件就知道是什么对称，然后利用对称性把给定的函数值转化到同一个单调区间再进行比较大小，或者利用对称性画出函数图像草图，再利用数形结合思想也可以快速比较函数值的大小或求解相关不等式.
命题方向四：奇偶性和对称性综合应用
总结：利用函数的奇偶性和对称性可以推出函数的周期性，或由函数的两个对称性（两个中心对称、两个直线对称、一个中心对称一个直线对称）也可以推导出周期性（读者自行证明）.知道了函数的周期性，后续问题就迎刃而解了，这种类型的问题也是高考出题的重点.
命题方向五：奇偶性和周期性综合应用
解析：本题利用给定的区间解析式画出相应图像，再利用偶函数补全[0，2]的图像，再根据周期性可以画出（-2，6）上的图像，然后把所求方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数，通过数形结合的思想可以得到关于a的不等式，最后求解这个不等式就可以得出答案B.
总结：通过函数的奇偶性和周期性可以推导出函数的对称性，解决问题时必须把这三个性质放在一起，通常出现的题型有：利用周期性和奇偶性求值和求解析式、判断函数零点的个数或由函数零点的个数求参数的取值范围，解决恒成立问题等.
命题方向六：对称性和周期性综合应用
总结：我们要熟悉周期性给出的四种形式，做题时，一看就要知道.对于这类问题的求解，只要是涉及较大数的函数值或者很多个数的函数值之和，我们肯定会想到周期性.但很多问题不是单一考查周期性，所以我们要充分利用好对称性进一步求解.
命题方向七：奇偶性、单调性和周期性综合应用
解析：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性和周期性综合性质去画函数在要求区间上的图像，然后利用数形结合的思想去求解方程根（或函数零点）问题.首先利用奇偶性和单调性画出[0，2]上的草图，然后利用奇偶性和周期性可以推出函数图像关于x=2对称，进而可以画出[2，4]上的图像，再利用奇偶性可以画出[-4，0]图像，所以一个周期图像就画出来了，这样所要求区间图像也能很好地画出来，最后的问题就变得很简单了，答案为-8.
总结：这类问题虽然只考了3个性质，但是用到的是4个性质.里面也是有规律可循的，一般出题是告诉单调性，奇偶性、周期性和对称性只会告诉两个，因为有了两个我们就可以自然推导出第三个.对于这样类型的综合题，我们一定要全面分析好函数的综合性质，然后画出函数的图像，利用数形结合的思想很快就能解决问题.
命题方向八：奇偶性、单调性和最值性综合应用
解析：本题位于2019年全国一卷选择倒数第二题，考查了具体函数的综合性质.由函数解析式很容易判断①是对的;对于②很容易把原函数中两个绝对值符号直接去掉，解析式变成了2sin x，所以②错;对于③，我们很容易利用奇偶性画出函数图像，通过图像可以得知函数零点有3个，所以③也是错误的;很容易知道④是对的.所以本题答案是C.
总结：如果函数具有奇偶性，我们只需要知道定义域一半区间上的单调性就可以了，通过对称性补全整个区间上函数图像，有了函数的单调性，最值问题就变得非常简单了.上题虽然是具体函数，我们也可以在抽象函数中考查同样内容.
命题方向九：单调性、极值性和函数零点综合应用（参考2019年全国三卷理科数学选择题12题）
3.结束语
掌握函数的综合性质是学好函数知识的前提，也是顺利解决高考试题的一个重要策略.特别是在高三的一轮复习过程中，我们怎样才能使得复习变得事半功倍，这就需要老师多动脑思考如何“授人以渔”，真正教会学生解决函数小题的方法.虽然“函数压轴小题”层出不穷，但常考的题型和涉及的方法是有限的，需要老师抛开题海战术，从典型例题和思想方法上面教会学生.另外，帮助学生消除畏难心理，强调这块内容在高考中的重要性，让学生真正喜欢上做函数压轴小题，我相信这样的复习一定是成功的.
【参考文献】
[1]李思源.高中数学“函数压轴小題”命题方向及解题策略例谈[J].数学学习与研究，2018（03）：130.
[2]岳洪伟.浅谈高考函数问题及解题策略[J].数学学习与研究，2017（04）：136.
[3]李泳慧.活用函数的基本性质解题[J].中国高新区，2018（01）：123.