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在解决有关线段问题的几何题中,如果已知条件中给出线段的中点,我们可以考虑将过中点的某一线段延长一倍作为辅助线,构造全等三角形,从而解决线段之间的关系,我们可以把这一方法叫做“遇中点,线倍长”,举例如下:
1证线段等量关系
例1(2013烟台中考试题)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE和QF的数量关系是;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
图1图2图3解析:(1)易得AE⊥BF,QE=QF;
(2)QE=QF.理由:如图4,延长FQ交AE于点D,易证△AQD≌△BQF,所以FQ=DQ.因为AE⊥CP,所以QE为斜边FD的中线,所以QE=QF.
图4图5(3)(2)中结论仍然成立.
证明:如图5,延长EQ交FB于点D,易证△AQE≌△BQD,所以EQ=DQ,因为DF⊥CP,所以QF为斜边ED的中线,所以QE=QF.
2证线段的不等关系
例2如图6,已知:在三角形ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥DF,E,F分别在边AB,AC上,求证:BE+CF>EF
解析延长ED至点G,使DG=DE,连结FG,CG,易证△BDE≌△CDG,所以BE=CG.因为FD⊥EG,DE=DG,所以EF=GF.在△CFG中,CG+CF﹥GF,所以BE+CF>EF.
图6图73探究线段间数量关系
例2变式已知:在直角三角形ABC中,∠A=90°,点D是BC边的中点,DE垂直DF,E,F分别在边AB,AC上,你能找出三条线段BE,CF和EF之间的等量关系吗,并证明你的结论.
解析数量关系为BE2+CF2=EF2.
证明:如图7,延长ED至点G,使DG=DE,连结FG,CG,易证△BDE≌△CDG,所以BE=CG,∠B=∠DCG.因为FD⊥EG,DE=DG,所以EF=GF.因为∠B=∠DCG,所以AB∥CG.又因为BA⊥AC,所以AC⊥CG.在△CFG中,CG2+CF2=GF2,BE2+CF2=EF2.
4证明线段垂直
图8例3已知:如图8,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点,求证:EC⊥EB.
解析延长CE交BA延长线于点F,易证△CDE≌△FAD,所以CD=FA=1,CE=FE.因为CD=1,AB=2,所以BF=3.又因为BC=3,所以BF=BC.因为CE=FE,所以EC⊥EB.
归纳以上例题类型,都有中点或者中线做条件,我们可以通过把以线段中点为端点的线段延长一倍的方法,来构造全等三角形,为证题创造条件,实质上是进行图形的旋转变换,体现了转化的数学思想.
1证线段等量关系
例1(2013烟台中考试题)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE和QF的数量关系是;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
图1图2图3解析:(1)易得AE⊥BF,QE=QF;
(2)QE=QF.理由:如图4,延长FQ交AE于点D,易证△AQD≌△BQF,所以FQ=DQ.因为AE⊥CP,所以QE为斜边FD的中线,所以QE=QF.
图4图5(3)(2)中结论仍然成立.
证明:如图5,延长EQ交FB于点D,易证△AQE≌△BQD,所以EQ=DQ,因为DF⊥CP,所以QF为斜边ED的中线,所以QE=QF.
2证线段的不等关系
例2如图6,已知:在三角形ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥DF,E,F分别在边AB,AC上,求证:BE+CF>EF
解析延长ED至点G,使DG=DE,连结FG,CG,易证△BDE≌△CDG,所以BE=CG.因为FD⊥EG,DE=DG,所以EF=GF.在△CFG中,CG+CF﹥GF,所以BE+CF>EF.
图6图73探究线段间数量关系
例2变式已知:在直角三角形ABC中,∠A=90°,点D是BC边的中点,DE垂直DF,E,F分别在边AB,AC上,你能找出三条线段BE,CF和EF之间的等量关系吗,并证明你的结论.
解析数量关系为BE2+CF2=EF2.
证明:如图7,延长ED至点G,使DG=DE,连结FG,CG,易证△BDE≌△CDG,所以BE=CG,∠B=∠DCG.因为FD⊥EG,DE=DG,所以EF=GF.因为∠B=∠DCG,所以AB∥CG.又因为BA⊥AC,所以AC⊥CG.在△CFG中,CG2+CF2=GF2,BE2+CF2=EF2.
4证明线段垂直
图8例3已知:如图8,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点,求证:EC⊥EB.
解析延长CE交BA延长线于点F,易证△CDE≌△FAD,所以CD=FA=1,CE=FE.因为CD=1,AB=2,所以BF=3.又因为BC=3,所以BF=BC.因为CE=FE,所以EC⊥EB.
归纳以上例题类型,都有中点或者中线做条件,我们可以通过把以线段中点为端点的线段延长一倍的方法,来构造全等三角形,为证题创造条件,实质上是进行图形的旋转变换,体现了转化的数学思想.