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本章学习的勾股定理是初中几何的一个重点内容. 一开始，有些同学由于各种原因常会犯一些错误. 在这里我们选了一些例子共同来探讨，希望大家参考借鉴，在以后的学习中避免类似错误的发生.
一、 审题不清，思维定势
例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方.
【错解】第三边长的平方为32 42=52=25.
【错解原因】题目中并没有指明3和4是直角边，而以3、4、5为三边的直角三角形也是大家所希望得到的结果.
【正解】（1） 当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；
（2） 当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7.
【点评】因大家习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5. 但这一理解的前提是3、4为直角边. 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边，审题时不够仔细，又加上思维定势的影响造成了本题的错误.
例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且 （a b）（a-b）=c2，则（ ）.
A. ∠A为直角 B. ∠C为直角
C. ∠B为直角 D. 不是直角三角形
【错解】选B.
【错解原因】因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，经常就习惯性地认为∠C一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.
【正解】选A. 该题中的条件应转化为a2-b2=c2，即b2 c2=a2. 故直角是∠A.
【点评】与之前类似，当遇到问题时部分同学常会有以c为斜边、∠C为直角等一些“习惯上”的看法.
二、 勾股定理及其逆定理概念理解不透
例3 下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）.
A. 1、2、3
B. 32、42、52
C. 、、
D. 、、
【错解】选B.
【错解原因】不能清晰透彻地理解勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.
【正解】因为（）2 （）2=（）2，故选C.
【点评】利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形时，应把三角形的三边长度分别平方，再看是否满足a2 b2=c2的形式.
例4 如图1，在△ABC中，BC边上有一点D，连接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，求BC长度.
【错解】在△ADC中，
因为AC=17，AD=8，
所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，
所以DC=15，所以BC=BD DC=21.
【错解原因】看似没有问题的解答过程却有一个“致命的漏洞”，还没有判断出△ADC是否为直角三角形就已经开始利用勾股定理解题了.
【正解】在△ABD中，
因为AB=10，BD=6，AD=8，
即AD2 BD2=AB2，
所以△ABD为直角三角形，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
因为AC=17，AD=8，
所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，
即DC=15，
所以BC=BD DC=21.
【点评】由于基本概念理解不够透彻，忽略了勾股定理应用的前提条件，这是造成本题错误的主要原因，而勾股定理逆定理的应用刚好可以解决本题的难点.
三、 考虑问题不够全面，造成漏解
例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）.
A. 21 B. 15
C. 6 D. 以上答案都不对
【错解】选A.
【错解原因】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论. 分别依据勾股定理即可求解.
【正解】在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6.
当AD在三角形ABC的内部时，BC=15 6=21；
当AD在三角形ABC的外部时，BC=15-6=9. 则BC的长是21或9.
故选D.
【点评】本题没有给出图形，也没有告知△ABC的形状特征，所以开头就应考虑到多种情况的可能性. 当遇到涉及三角形的高的题目时，要注意高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，应该分别画出图形再进一步求解.
巩固练习：
1. 下列命题中，是假命题的是（ ）.
A. 在△ABC中，若∠B ∠C=∠A，则△ABC是直角三角形
B. 在△ABC中，若a2=（b c）（b-c），则△ABC是直角三角形
C. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D. 在△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形
2. 下列各组数作为三边长，能构成直角三角形的是（ ）.
A. 4，5，6 B. 1，1，
C. 6，8，11 D. 5，12，23
3. 一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）.
A. 13 B. 5
C. 13或5 D. 4
4. 如图2，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线AD=15 cm，求AC.
（作者单位：江苏省镇江市第三中学）
一、 审题不清，思维定势
例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方.
【错解】第三边长的平方为32 42=52=25.
【错解原因】题目中并没有指明3和4是直角边，而以3、4、5为三边的直角三角形也是大家所希望得到的结果.
【正解】（1） 当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；
（2） 当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7.
【点评】因大家习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5. 但这一理解的前提是3、4为直角边. 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边，审题时不够仔细，又加上思维定势的影响造成了本题的错误.
例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且 （a b）（a-b）=c2，则（ ）.
A. ∠A为直角 B. ∠C为直角
C. ∠B为直角 D. 不是直角三角形
【错解】选B.
【错解原因】因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，经常就习惯性地认为∠C一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.
【正解】选A. 该题中的条件应转化为a2-b2=c2，即b2 c2=a2. 故直角是∠A.
【点评】与之前类似，当遇到问题时部分同学常会有以c为斜边、∠C为直角等一些“习惯上”的看法.
二、 勾股定理及其逆定理概念理解不透
例3 下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）.
A. 1、2、3
B. 32、42、52
C. 、、
D. 、、
【错解】选B.
【错解原因】不能清晰透彻地理解勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.
【正解】因为（）2 （）2=（）2，故选C.
【点评】利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形时，应把三角形的三边长度分别平方，再看是否满足a2 b2=c2的形式.
例4 如图1，在△ABC中，BC边上有一点D，连接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，求BC长度.
【错解】在△ADC中，
因为AC=17，AD=8，
所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，
所以DC=15，所以BC=BD DC=21.
【错解原因】看似没有问题的解答过程却有一个“致命的漏洞”，还没有判断出△ADC是否为直角三角形就已经开始利用勾股定理解题了.
【正解】在△ABD中，
因为AB=10，BD=6，AD=8，
即AD2 BD2=AB2，
所以△ABD为直角三角形，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
因为AC=17，AD=8，
所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，
即DC=15，
所以BC=BD DC=21.
【点评】由于基本概念理解不够透彻，忽略了勾股定理应用的前提条件，这是造成本题错误的主要原因，而勾股定理逆定理的应用刚好可以解决本题的难点.
三、 考虑问题不够全面，造成漏解
例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）.
A. 21 B. 15
C. 6 D. 以上答案都不对
【错解】选A.
【错解原因】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论. 分别依据勾股定理即可求解.
【正解】在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6.
当AD在三角形ABC的内部时，BC=15 6=21；
当AD在三角形ABC的外部时，BC=15-6=9. 则BC的长是21或9.
故选D.
【点评】本题没有给出图形，也没有告知△ABC的形状特征，所以开头就应考虑到多种情况的可能性. 当遇到涉及三角形的高的题目时，要注意高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，应该分别画出图形再进一步求解.
巩固练习：
1. 下列命题中，是假命题的是（ ）.
A. 在△ABC中，若∠B ∠C=∠A，则△ABC是直角三角形
B. 在△ABC中，若a2=（b c）（b-c），则△ABC是直角三角形
C. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D. 在△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形
2. 下列各组数作为三边长，能构成直角三角形的是（ ）.
A. 4，5，6 B. 1，1，
C. 6，8，11 D. 5，12，23
3. 一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）.
A. 13 B. 5
C. 13或5 D. 4
4. 如图2，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线AD=15 cm，求AC.
（作者单位：江苏省镇江市第三中学）