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摘 要：本文先对一道高中课本例题进行了3种证法；然后将条件与结论进行等价替换而构造两个新命题，再对两个新命题进行多种方法的论证，从而开拓了学生的数学思维空间，发展了学生的数学思维，培养了学生思维的灵活性.
关键词：数学题的开放性；等价替换；圆内角定理；圆周角定理；圆外角定理
什么是数学题的开放性
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学题. 具体来说，有条件开放题、策略开放题、结论开放题，还有条件与结论都开放的数学题.本文就一道课本例题的条件、结论及证题方法进行策略开放性的探索，其目的是为了开阔学生的视野，丰富学生的想象，培养学生的数学思维能力.
一道课本例题的其他几种证明方法
例1 如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：AB·AC=AE·AD（普通高中课程标准实验教科书选修4-1第26页的例1）.
图1
本题除了教材中的证明方法之外，还可以有下面的证明方法.
证明1：（用平行弦夹等弧来证）如图1，延长AD与圆相交于G，连结EG，因为AE是△ABC的外接圆的直径，∠G=90°.
又因为AD是△ABC的高，AD⊥BC，AD⊥EG，推出EG∥BC，由平行弦夹等弧知=. 又由在同圆中，等弧对等圆周角有∠BAE=∠CAG， 在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠CAD=∠BAE， 所以Rt△ADC～Rt△ABE，=？圯AD·AE=AC·AB.
证明2：（用圆周角与直角三角形两锐角互余来证）如图2，连结EC，AE是△ABC的外接圆的直径，∠1+∠AEB=90°=∠2+∠ACD，又∠ACD=∠AEB，所以在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠2=∠1，Rt△ADC～Rt△ABE，推出=？圯AB·AC=AD·AE.
图2
圆内角定理：“圆内角的度数等于所夹两弧度数之和的一半.” 不证明.
证明3：（用圆内角定理）如图1，因为AD⊥BC， 即AG⊥BC， 由圆内角定理有90°=∠CDG=（+）=（+）？圯+=+=180°？圯++=180°.
因为++=180°，
所以=？圯∠BAE=∠CAG，Rt△ABE∽Rt△ADC？圯=
AB·AC=AE·AD.
其他方法请读者自己完成.
一道课本例题的条件与结论的等价替换
我们不妨将此题叫做原型题，它的条件与结论都可以进行等价替换.
分析此题条件与结论的等价替换：如图1，从它的证明过程可以看出，“AE是△ABC的外接圆的直径”与“E在BC上，且∠EAB=∠CAD”是互为等价条件的，它们与求证的结论“AB·AC=AE·AD”是什么关系呢？不是等价条件，后者是前两者的必要条件. 事实上，从证明1的图1中“平行弦夹等弧”看，∠BAE=∠CAG推出=？圯EG∥BC，由垂直两平行线中的一条，必垂直于另一条得出AG⊥EG，故AE是直径；反之，逆推也成立. 这就证明了“AE是△ABC的外接圆的直径”与“E在BC上且∠EAB=∠CAD”是互为等价条件的，
例1′如图3，AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AF是△ABC的外接圆的直径.
例1″ 如图3，AD是△ABC的高， E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AB·AC=AF·AD.
图3
这样，一道课本题演变成了3道题，新命题都可以进行严密的逻辑推理，从而开阔了学生的思维，培养了学生的能力.
新命题的证明
例1′ AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD， 延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AF是△ABC的外接圆的直径.
分析1： 如图3，要证明AF是△ABC的外接圆的直径，需证明∠ABD+∠CBF=90°，AD是△ABC的高. 又由∠ABD+∠BAD=90°，同弧的圆周角相等∠CAE=∠CBF推出∠BAD=∠CBF.
在等式∠ABD+∠BAD=90°中，用∠CBF来代替∠BAD即得∠ABD+∠CBF=90°，由“90°的圆周角所对的弦是直径.” 将这种分析法倒推回去即得证法1，可见分析法“执果索因”用于“想”，而综合法“由因导果”用于“写”（即书写格式）.
证明2：如图4，延长AD交圆于G， 连结GF由∠EAC=∠BAD，推出=，由平行弦所夹的两段弧等长的逆定理可得BC∥GF.
图4
又因为AD⊥BC，由垂直于两平行线中的一条也必然垂直于另一条，得出AG⊥GF，故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明3：如图5，可用圆内弧弦关系的定理，
∠G=+，∠B=，∠CAF=，所以∠G=∠B+∠CAF，
∠1=∠2，∠G=∠B+∠BAD.
因为∠ADB=90°？圯∠B+∠BAD=90°，所以∠G=90°.
故AF是△ABC的外接圆的直径.
图5
证明4： 如图5，连结FC，由已知∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3. 又因为AD⊥BC，
所以∠2+∠3+∠5=90°. 由同弧的圆周角相等有∠4=∠1+∠3，因为∠1=∠2，
所以∠4=∠2+∠3，因此∠4+∠5=90°，故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明5： 如图6，
图6
延长AD交圆于G点，连结GF. 由外角定理有∠4=∠3+∠2，
∠F=+=∠3+∠1，已知∠1=∠2，所以∠F=∠3+∠2，因而∠4=∠F.
在△ADE与△AGF中，∠5公共，∠4=∠F，所以△ADE相似于△AGF，
故∠G=∠ADE=90°，即AF是△ABC的外接圆的直径.
证明6：如图6，延长AD交圆于G点，
因为AD⊥BC，+=半圆弧，
由同圆中等角对等弧∠1=∠2推出=？圯+=半圆弧， 故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明7：（用圆内角定理）
90°=（+）=（+），+=+=180°，
∠1=∠2？圯=？圯+=180°，
即AF是△ABC的外接圆的直径.
再证等价替换所得的另一个命题.
例1″ 如图7，AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，
求证：AB·AC=AF·AD.
图7
类比告诉我们，例1′有几种证明方法，此开放题也有几种证明方法，不妨举一种证法看看.
证法1：如图7，因为∠EAC=∠BAD，所以由同弧圆周角相等有∠CBF=∠EAC=∠BAD. 又由AD是△ABC的高，∠BAD+∠DBA=90°，故∠ABD+∠CBF=90°，故推出AE是△ABC的外接圆的直径.
在Rt△ABF与Rt△ADC中，∠C=∠F，Rt△ABF～Rt△ADC，
=？圯AC·AB=AD·AF.
这是由分析1得出的证明方法. 读者不妨从其他5种方法同样可证明例1″.
综上所述，一道课本题，找出其条件、结论中的两个等价条件，构造出三道有内在联系的数学题，需要有创造性的想象力，要解或证明一个命题，从心理过程的本质是要寻求条件与结论之间的逻辑蕴涵关系，它要经历三个阶段：知识点被激活；思路点的扩张力；条件与结论之间的关系接通. 每一种方法都要考虑知识点被激活；思路点的扩张力；条件与结论之间的关系接通. 学生才会有收获.
关键词：数学题的开放性；等价替换；圆内角定理；圆周角定理；圆外角定理
什么是数学题的开放性
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学题. 具体来说，有条件开放题、策略开放题、结论开放题，还有条件与结论都开放的数学题.本文就一道课本例题的条件、结论及证题方法进行策略开放性的探索，其目的是为了开阔学生的视野，丰富学生的想象，培养学生的数学思维能力.
一道课本例题的其他几种证明方法
例1 如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：AB·AC=AE·AD（普通高中课程标准实验教科书选修4-1第26页的例1）.
图1
本题除了教材中的证明方法之外，还可以有下面的证明方法.
证明1：（用平行弦夹等弧来证）如图1，延长AD与圆相交于G，连结EG，因为AE是△ABC的外接圆的直径，∠G=90°.
又因为AD是△ABC的高，AD⊥BC，AD⊥EG，推出EG∥BC，由平行弦夹等弧知=. 又由在同圆中，等弧对等圆周角有∠BAE=∠CAG， 在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠CAD=∠BAE， 所以Rt△ADC～Rt△ABE，=？圯AD·AE=AC·AB.
证明2：（用圆周角与直角三角形两锐角互余来证）如图2，连结EC，AE是△ABC的外接圆的直径，∠1+∠AEB=90°=∠2+∠ACD，又∠ACD=∠AEB，所以在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠2=∠1，Rt△ADC～Rt△ABE，推出=？圯AB·AC=AD·AE.
图2
圆内角定理：“圆内角的度数等于所夹两弧度数之和的一半.” 不证明.
证明3：（用圆内角定理）如图1，因为AD⊥BC， 即AG⊥BC， 由圆内角定理有90°=∠CDG=（+）=（+）？圯+=+=180°？圯++=180°.
因为++=180°，
所以=？圯∠BAE=∠CAG，Rt△ABE∽Rt△ADC？圯=
AB·AC=AE·AD.
其他方法请读者自己完成.
一道课本例题的条件与结论的等价替换
我们不妨将此题叫做原型题，它的条件与结论都可以进行等价替换.
分析此题条件与结论的等价替换：如图1，从它的证明过程可以看出，“AE是△ABC的外接圆的直径”与“E在BC上，且∠EAB=∠CAD”是互为等价条件的，它们与求证的结论“AB·AC=AE·AD”是什么关系呢？不是等价条件，后者是前两者的必要条件. 事实上，从证明1的图1中“平行弦夹等弧”看，∠BAE=∠CAG推出=？圯EG∥BC，由垂直两平行线中的一条，必垂直于另一条得出AG⊥EG，故AE是直径；反之，逆推也成立. 这就证明了“AE是△ABC的外接圆的直径”与“E在BC上且∠EAB=∠CAD”是互为等价条件的，
例1′如图3，AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AF是△ABC的外接圆的直径.
例1″ 如图3，AD是△ABC的高， E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AB·AC=AF·AD.
图3
这样，一道课本题演变成了3道题，新命题都可以进行严密的逻辑推理，从而开阔了学生的思维，培养了学生的能力.
新命题的证明
例1′ AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD， 延长AE交△ABC的外接圆于F点，求证：AF是△ABC的外接圆的直径.
分析1： 如图3，要证明AF是△ABC的外接圆的直径，需证明∠ABD+∠CBF=90°，AD是△ABC的高. 又由∠ABD+∠BAD=90°，同弧的圆周角相等∠CAE=∠CBF推出∠BAD=∠CBF.
在等式∠ABD+∠BAD=90°中，用∠CBF来代替∠BAD即得∠ABD+∠CBF=90°，由“90°的圆周角所对的弦是直径.” 将这种分析法倒推回去即得证法1，可见分析法“执果索因”用于“想”，而综合法“由因导果”用于“写”（即书写格式）.
证明2：如图4，延长AD交圆于G， 连结GF由∠EAC=∠BAD，推出=，由平行弦所夹的两段弧等长的逆定理可得BC∥GF.
图4
又因为AD⊥BC，由垂直于两平行线中的一条也必然垂直于另一条，得出AG⊥GF，故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明3：如图5，可用圆内弧弦关系的定理，
∠G=+，∠B=，∠CAF=，所以∠G=∠B+∠CAF，
∠1=∠2，∠G=∠B+∠BAD.
因为∠ADB=90°？圯∠B+∠BAD=90°，所以∠G=90°.
故AF是△ABC的外接圆的直径.
图5
证明4： 如图5，连结FC，由已知∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3. 又因为AD⊥BC，
所以∠2+∠3+∠5=90°. 由同弧的圆周角相等有∠4=∠1+∠3，因为∠1=∠2，
所以∠4=∠2+∠3，因此∠4+∠5=90°，故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明5： 如图6，
图6
延长AD交圆于G点，连结GF. 由外角定理有∠4=∠3+∠2，
∠F=+=∠3+∠1，已知∠1=∠2，所以∠F=∠3+∠2，因而∠4=∠F.
在△ADE与△AGF中，∠5公共，∠4=∠F，所以△ADE相似于△AGF，
故∠G=∠ADE=90°，即AF是△ABC的外接圆的直径.
证明6：如图6，延长AD交圆于G点，
因为AD⊥BC，+=半圆弧，
由同圆中等角对等弧∠1=∠2推出=？圯+=半圆弧， 故AF是△ABC的外接圆的直径.
证明7：（用圆内角定理）
90°=（+）=（+），+=+=180°，
∠1=∠2？圯=？圯+=180°，
即AF是△ABC的外接圆的直径.
再证等价替换所得的另一个命题.
例1″ 如图7，AD是△ABC的高，E在BC上，且∠EAC=∠BAD，延长AE交△ABC的外接圆于F点，
求证：AB·AC=AF·AD.
图7
类比告诉我们，例1′有几种证明方法，此开放题也有几种证明方法，不妨举一种证法看看.
证法1：如图7，因为∠EAC=∠BAD，所以由同弧圆周角相等有∠CBF=∠EAC=∠BAD. 又由AD是△ABC的高，∠BAD+∠DBA=90°，故∠ABD+∠CBF=90°，故推出AE是△ABC的外接圆的直径.
在Rt△ABF与Rt△ADC中，∠C=∠F，Rt△ABF～Rt△ADC，
=？圯AC·AB=AD·AF.
这是由分析1得出的证明方法. 读者不妨从其他5种方法同样可证明例1″.
综上所述，一道课本题，找出其条件、结论中的两个等价条件，构造出三道有内在联系的数学题，需要有创造性的想象力，要解或证明一个命题，从心理过程的本质是要寻求条件与结论之间的逻辑蕴涵关系，它要经历三个阶段：知识点被激活；思路点的扩张力；条件与结论之间的关系接通. 每一种方法都要考虑知识点被激活；思路点的扩张力；条件与结论之间的关系接通. 学生才会有收获.