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摘 要：核心素养强调“必备品格”与“关键能力”。对于小学数学教学而言，必备品格的形成与关键能力的培养，均可以在数学实验中得到充分的实现。理论研究表明，数学实验中存在着天然的核心素养培养因子；而在具体的数学实验实践中，教师更需要从核心素养培养的角度来设计、实施数学实验。将数学实验从“课”的视角提升到“课程”的视角，有利于小学数学教学中数学实验的系统化，有助于更好地促进学生构建数学知识、生成数学思想，进而形成数学核心素养。
关键词：小学数学；数学实验；核心素养
在核心素养培养的背景下，小学数学教学最需要关注的问题之一，是学生所需要的“必备品格”与“关键能力”从何而来，同时也需要思考《义务教育数学课程标准》（2011版）中列出来的十个核心概念与核心素养培养的关系。很显然的一个认识是，相对于数学知识而言，数学思想往往更接近核心素养，但数学思想的形成与数学核心素养的培养，又不可能是空中楼阁，只有在知识的构建中，才能形成思想、提升素养。因此，数学知识生成的过程，就是优化学生知识建构、促进数学思想形成进而提升数学核心素养的关键。修订后的课程标准强调“数学实验”的运用，在笔者看来，数学实验由于增强了学生在数学知识构建过程中的“能动性”，因而可以走出纯粹的逻辑推理的数学学习之路，这对于小学生而言是必要的。本文即从数学实验的优化设计角度，谈谈如何在此基础上提升学生的核心素养。
一、 数学实验是核心素养培养的天然途径
数学实验有两层含义：一层含义是数学研究领域的数学实验，其常常是指信息技术之于数学研究的运用；另一层含义是教学视域中的数学实验，其借鉴自然科学中实验的作用，强调通过学生基于某一数学知识学习的目的，去对数学实验器材进行操作，以便更好地构建数学知识，生成数学理解。由于数学实验过程中，学生既需要“思”，也需要“做”，因而天然存在着核心素养所最为关注的必备品格与关键能力，而即使从数学核心概念角度去理解核心素养的培养，也可以发现数学实验中有着丰富的空间观念、几何直观、模型思想、应用意识、创新意识、数感等的存在。有研究者从认知性与非认知性两个角度论述数学实验与核心素养的关系，前者主要是指问题解决及其过程中表现出来的探究能力形成与批判性思维的获得等，后者主要是指数学实验过程中的自我管理、合作交往等，这实际上正是分别指向关键能力与必备品格的。
举一个简单的例子，我们说数学是研究数与形的学科，而数则主要是指阿拉伯数字，但很少有教师在教学中能够从数学史的角度介绍数的诞生过程。众所周知的是，数最早来源于“结绳记事”，做几件事情就在绳子上打几个结，于是绳结就成了数的最原始的形式。在这里，数的累积是通過“打结”这个动作来完成的，这可能是最早的数学实验的表现了。随着人们生活内容不断丰富，对数的需要也不断增加，结绳记事远远不能满足记数需要，于是新的计数、算数的工具就产生了。当我们津津乐道于中国发明了世界上最古老的计算机——算筹的时候，很少有人意识到算筹本身的发明，就是数学思维驱动之下的数学动作的产物，如果从纯粹数学的角度来看，每一次算筹的运用，都可以视作是一次数学实验。简言之，算筹的发明实际上就是数学思想的产物，是数学核心素养的体现。
具体到数学教学中来，以“加减法”的教学为例，当教师给学生提供诸如5 3=2 □的时候，适龄学生的第一反应往往并不是计算出5 3=8，然后用8-2=6，而是下意识地在大脑中浮现相应的实物，比如说5个苹果加上3个苹果，结果是8个苹果；那么2个苹果加上几个苹果是8个苹果呢？结果发现是6个苹果。于是在实际教学中就有了两个教学思路：一是让学生遵循这样的思路来运用逻辑推理（逻辑推理也是数学核心素养的一种体现）。但需要注意的是，并不是所有学生都能在大脑中形成这样的表象，因为这个表象的构建本身就需要较好的数学思维能力，更多的学生并不具有这样的能力，于是教学就需要另一个选择，即通过具体的实物来“摆弄”。比如给学生若干个小球，让学生选择相应数量的小球去进行加减。
这就是一个数学实验的过程，这个过程中，学生不再需要抽象的逻辑推理，而是可以在小球数量的选择中“试错”（数学实验是允许试错的，具体可参照华应龙的融错教育思想）。学生思维加工的对象是具体的操作过程，这个过程中，学生会操作，进而会抽象思维，从操作到抽象，也是表象得以构建并变得清晰的过程。因而无论是从数学抽象，还是从逻辑推理，甚至是从数学运算及数感形成的角度来看，数学核心素养均蕴含其中。
二、利用数学实验培养核心素养教学尝试
既然数学实验中存在着极为显著的核心素养培养的可能性，那在数学教学中积极尝试数学实验，并极力培养学生的数学核心素养，就是小学数学教学发展的必然选择。需要指出的是，数学实验的指向既可以是教材中的具体的教学内容，也可以是小学数学学习过程中所必需的数学思想。考虑到前者已经为许多小学数学教学的同行所尝试，因此笔者这里想从后者的实践角度来加以论述。
在小学数学学习中，是需要数学思想的支撑的。尽管这些数学思想的名称不需要学生所掌握，但这些思想方法的运用，学生却是越熟悉、越熟练越好。其中，最典型的数学思想之一，就是分类思想。
如何在数学实验中培养学生的分类思想呢？笔者的尝试是这样的。
首先，实验器材的准备。
很多人都认为实验器材的准备就只是准备实验器材。可是对数学实验精心研究的人都知道，器材的准备实际上是服从于实验思想与实验过程的。对于小学生而言，分类思想的形成过程应当是简洁的，这就意味着实验器材不能过多地影响学生对“分类”这一过程的聚焦，也就是说实验器材不宜是玩具，色彩亦不宜过于丰富。从这个角度讲，不少教师在数学实验中总喜欢以玩具为器材，结果实验过程貌似热闹，但学生的注意力却多不在数学学习本身，这是需要高度注意的。同时，分类思想形成过程的简洁，还意味着分类过程的简洁，因此教师要预设学生的实验过程，防止学生思维过于发散，这样不利于学生在专注的情形下形成分类认识。 基于以上思考，笔者选择的实验器材很简单：颜色、形状、孔数不同的纽扣若干。
其次，实验过程的展开。
实验过程有两个关键：一是分类标准的确定；二是具体的分类过程。其中，前者是分类思想形成的关键；后者是分类思想运用的过程。这个过程中，最主要也是最有价值的过程，就是学生的摸索或者说是探究过程。教师要允许学生出错，甚至是鼓励学生出错。这里最容易出现的错误，就是分类结果没有统一的分类标准，而这又是分类思想形成的关键。
最后，实验点评。
点评其实就是分类思想的提升。在实际实验点评的过程中，教师要做两个工作：一是对分类正确的实验的点评，其关键在于讓学生说出分类的思路，进而由教师提炼出分类思想；二是对分类错误的实验的点评，要求学生说出分类的过程，并引导其发现分类过程中的不合理之处，从而让全体学生明白分类的准确要求。
在上述数学实验的过程中，学生有具体的“做”的过程，也有充分的“思”的过程，在做中思，在思中做，在做中学，分类思想的形成是水到渠成的事。同时从核心素养培养的角度来看，学生实验过程中必然要合作，要交流，要思考，要争辩，数学知识的运用，分类过程的经历等，都意味着必备品格与关键能力的形成。
三、从数学实验课到数学实验课程的努力
多次的数学实验尝试与思考，让笔者逐步形成了一个认识，那就是小学数学教学中的数学实验，需要经历从“课”到“课程”的蜕变。
在“课”上存在的数学实验，往往实验就是课的一部分，是促进学生构建知识的一种手段，不是一种单独存在的形式。而在“课程”中存在的数学实验，就有着自身明确的主题，其既服务于知识的构建，同时本身也是学习内容的一部分，有时甚至是数学知识学习无法替代的一部分。譬如上面的分类思想，可能在其他数学知识的学习中也会遇到，但当其成为一个主题或线索时，其在学生数学学习过程中留下的印象是深刻的，这就是数学实验作为课程形式存在的力量。
因此，小学数学教学中，教师要尽可能地构建属于自己的数学实验课程体系，要从课程的角度去看数学实验，这样形式不同的数学实验，才有可能在相同的主题串联下，形成一个有机的整体。而一旦如此，那学生在数学实验中所经历的，也就不会是窄化的数学实验操作本身，而是蕴含着数学思想的操作，也只有这样，数学核心素养的培养才有可能在数学实验中变成现实。毕竟，课程视角下的数学实验，更容易为数学核心素养的培养提供一片养分充足的土壤。
关键词：小学数学；数学实验；核心素养
在核心素养培养的背景下，小学数学教学最需要关注的问题之一，是学生所需要的“必备品格”与“关键能力”从何而来，同时也需要思考《义务教育数学课程标准》（2011版）中列出来的十个核心概念与核心素养培养的关系。很显然的一个认识是，相对于数学知识而言，数学思想往往更接近核心素养，但数学思想的形成与数学核心素养的培养，又不可能是空中楼阁，只有在知识的构建中，才能形成思想、提升素养。因此，数学知识生成的过程，就是优化学生知识建构、促进数学思想形成进而提升数学核心素养的关键。修订后的课程标准强调“数学实验”的运用，在笔者看来，数学实验由于增强了学生在数学知识构建过程中的“能动性”，因而可以走出纯粹的逻辑推理的数学学习之路，这对于小学生而言是必要的。本文即从数学实验的优化设计角度，谈谈如何在此基础上提升学生的核心素养。
一、 数学实验是核心素养培养的天然途径
数学实验有两层含义：一层含义是数学研究领域的数学实验，其常常是指信息技术之于数学研究的运用；另一层含义是教学视域中的数学实验，其借鉴自然科学中实验的作用，强调通过学生基于某一数学知识学习的目的，去对数学实验器材进行操作，以便更好地构建数学知识，生成数学理解。由于数学实验过程中，学生既需要“思”，也需要“做”，因而天然存在着核心素养所最为关注的必备品格与关键能力，而即使从数学核心概念角度去理解核心素养的培养，也可以发现数学实验中有着丰富的空间观念、几何直观、模型思想、应用意识、创新意识、数感等的存在。有研究者从认知性与非认知性两个角度论述数学实验与核心素养的关系，前者主要是指问题解决及其过程中表现出来的探究能力形成与批判性思维的获得等，后者主要是指数学实验过程中的自我管理、合作交往等，这实际上正是分别指向关键能力与必备品格的。
举一个简单的例子，我们说数学是研究数与形的学科，而数则主要是指阿拉伯数字，但很少有教师在教学中能够从数学史的角度介绍数的诞生过程。众所周知的是，数最早来源于“结绳记事”，做几件事情就在绳子上打几个结，于是绳结就成了数的最原始的形式。在这里，数的累积是通過“打结”这个动作来完成的，这可能是最早的数学实验的表现了。随着人们生活内容不断丰富，对数的需要也不断增加，结绳记事远远不能满足记数需要，于是新的计数、算数的工具就产生了。当我们津津乐道于中国发明了世界上最古老的计算机——算筹的时候，很少有人意识到算筹本身的发明，就是数学思维驱动之下的数学动作的产物，如果从纯粹数学的角度来看，每一次算筹的运用，都可以视作是一次数学实验。简言之，算筹的发明实际上就是数学思想的产物，是数学核心素养的体现。
具体到数学教学中来，以“加减法”的教学为例，当教师给学生提供诸如5 3=2 □的时候，适龄学生的第一反应往往并不是计算出5 3=8，然后用8-2=6，而是下意识地在大脑中浮现相应的实物，比如说5个苹果加上3个苹果，结果是8个苹果；那么2个苹果加上几个苹果是8个苹果呢？结果发现是6个苹果。于是在实际教学中就有了两个教学思路：一是让学生遵循这样的思路来运用逻辑推理（逻辑推理也是数学核心素养的一种体现）。但需要注意的是，并不是所有学生都能在大脑中形成这样的表象，因为这个表象的构建本身就需要较好的数学思维能力，更多的学生并不具有这样的能力，于是教学就需要另一个选择，即通过具体的实物来“摆弄”。比如给学生若干个小球，让学生选择相应数量的小球去进行加减。
这就是一个数学实验的过程，这个过程中，学生不再需要抽象的逻辑推理，而是可以在小球数量的选择中“试错”（数学实验是允许试错的，具体可参照华应龙的融错教育思想）。学生思维加工的对象是具体的操作过程，这个过程中，学生会操作，进而会抽象思维，从操作到抽象，也是表象得以构建并变得清晰的过程。因而无论是从数学抽象，还是从逻辑推理，甚至是从数学运算及数感形成的角度来看，数学核心素养均蕴含其中。
二、利用数学实验培养核心素养教学尝试
既然数学实验中存在着极为显著的核心素养培养的可能性，那在数学教学中积极尝试数学实验，并极力培养学生的数学核心素养，就是小学数学教学发展的必然选择。需要指出的是，数学实验的指向既可以是教材中的具体的教学内容，也可以是小学数学学习过程中所必需的数学思想。考虑到前者已经为许多小学数学教学的同行所尝试，因此笔者这里想从后者的实践角度来加以论述。
在小学数学学习中，是需要数学思想的支撑的。尽管这些数学思想的名称不需要学生所掌握，但这些思想方法的运用，学生却是越熟悉、越熟练越好。其中，最典型的数学思想之一，就是分类思想。
如何在数学实验中培养学生的分类思想呢？笔者的尝试是这样的。
首先，实验器材的准备。
很多人都认为实验器材的准备就只是准备实验器材。可是对数学实验精心研究的人都知道，器材的准备实际上是服从于实验思想与实验过程的。对于小学生而言，分类思想的形成过程应当是简洁的，这就意味着实验器材不能过多地影响学生对“分类”这一过程的聚焦，也就是说实验器材不宜是玩具，色彩亦不宜过于丰富。从这个角度讲，不少教师在数学实验中总喜欢以玩具为器材，结果实验过程貌似热闹，但学生的注意力却多不在数学学习本身，这是需要高度注意的。同时，分类思想形成过程的简洁，还意味着分类过程的简洁，因此教师要预设学生的实验过程，防止学生思维过于发散，这样不利于学生在专注的情形下形成分类认识。 基于以上思考，笔者选择的实验器材很简单：颜色、形状、孔数不同的纽扣若干。
其次，实验过程的展开。
实验过程有两个关键：一是分类标准的确定；二是具体的分类过程。其中，前者是分类思想形成的关键；后者是分类思想运用的过程。这个过程中，最主要也是最有价值的过程，就是学生的摸索或者说是探究过程。教师要允许学生出错，甚至是鼓励学生出错。这里最容易出现的错误，就是分类结果没有统一的分类标准，而这又是分类思想形成的关键。
最后，实验点评。
点评其实就是分类思想的提升。在实际实验点评的过程中，教师要做两个工作：一是对分类正确的实验的点评，其关键在于讓学生说出分类的思路，进而由教师提炼出分类思想；二是对分类错误的实验的点评，要求学生说出分类的过程，并引导其发现分类过程中的不合理之处，从而让全体学生明白分类的准确要求。
在上述数学实验的过程中，学生有具体的“做”的过程，也有充分的“思”的过程，在做中思，在思中做，在做中学，分类思想的形成是水到渠成的事。同时从核心素养培养的角度来看，学生实验过程中必然要合作，要交流，要思考，要争辩，数学知识的运用，分类过程的经历等，都意味着必备品格与关键能力的形成。
三、从数学实验课到数学实验课程的努力
多次的数学实验尝试与思考，让笔者逐步形成了一个认识，那就是小学数学教学中的数学实验，需要经历从“课”到“课程”的蜕变。
在“课”上存在的数学实验，往往实验就是课的一部分，是促进学生构建知识的一种手段，不是一种单独存在的形式。而在“课程”中存在的数学实验，就有着自身明确的主题，其既服务于知识的构建，同时本身也是学习内容的一部分，有时甚至是数学知识学习无法替代的一部分。譬如上面的分类思想，可能在其他数学知识的学习中也会遇到，但当其成为一个主题或线索时，其在学生数学学习过程中留下的印象是深刻的，这就是数学实验作为课程形式存在的力量。
因此，小学数学教学中，教师要尽可能地构建属于自己的数学实验课程体系，要从课程的角度去看数学实验，这样形式不同的数学实验，才有可能在相同的主题串联下，形成一个有机的整体。而一旦如此，那学生在数学实验中所经历的，也就不会是窄化的数学实验操作本身，而是蕴含着数学思想的操作，也只有这样，数学核心素养的培养才有可能在数学实验中变成现实。毕竟，课程视角下的数学实验，更容易为数学核心素养的培养提供一片养分充足的土壤。