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作为两个C级考点，不等式与平面向量是高考热点内容，历年来备受命题者青睐，经常会出现一些“创意不断,常考常新”的新题。本文拟从专题复习整体把握的角度来赏析不等式与平面向量新题，与同学们一起体验“新”随我动的历程。
一、 不等式
不等式是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而是中学数学的重点内容，也是高考数学的考查重点，而其中一元二次不等式的解法和基本不等式及其应用则是其考查的核心知识点.
（一） 一元二次不等式的解法
【例1】 设0（ax）2的解集中的整数恰有3个，则a的取值范围是 .
分析 研究解集中的整数个数实际上就是明确此不等式解集的跨度，所以本题应该先整理并解出含参一元二次不等式，通过研究解集分界点的位置来解决问题。
解 不等式（x－b）2>（ax）2即为（a2－1）x2+2bx－b2<0，由题意知，它的解应该在两根之间，故有a2－1>0,即a>1，不等式变形为（a－1）x+b（a+1）x－b<0，所以不等式的解集为－ba－1 又由00，2a－2 点拨 高考中对一元二次不等式的考查以解法为主，而含参数不等式则是其常见考查形式，不重不漏进行分类讨论是其基本思想方法。本题的创新点在于将不等式的解与整数集相结合，抽象而陌生，但若能探求出此一元二次不等式以及其分界点的范围，结合数轴，问题便可迎刃而解。
（二） 基本不等式
【例2】 若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 .
分析 利用完全平方公式对x2+y2+xy=1作整理可得（x+y）2－xy=1，考虑xy与x+y的关系利用基本不等式可解。
解 由x2+y2+xy=1，得1=（x+y）2－xy，
∴（x+y）2=1+xy≤1+（x+y）24，
解得－233≤x+y≤233，
∴x+y的最大值为233.
点拨 基本不等式及其变式，均值不等式一直是高考重点考查内容，除“一正、二定、三相等”条件的易错点考查外，代数式变形与化简是其考查的重点与难点，而构造变形则是其解题必由之路。本题创新点及其难点在于代数式x2+y2与xy都需使用基本不等式向x+y转化，解题关键就是将x2+y2构造成x+y的形式，从而减少基本不等式使用的次数。
（三） 基本不等式的实际应用
【例3】 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元．
（1） 写出v关于w的函数关系式；
（2） 把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）.
分析 （1） 根据“钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw2，再由“一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元”解得模型；
（2） 要证明结论，先根据给定信息建立价值损失的百分率模型，再利用基本不等式求得最值，并明确等号成立的条件。
解 （1） 依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54 000，∴k=6 000，故v=6 000w2.
（2） 价值损失的百分率应为
6 000（m+n）2－（6 000m2+6 000n2）6 000(m+n)2
=2mn(m+n)2≤2•m+n22(m+n)2=12，
当且仅当m=n时，等号成立．即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．
点拨 不等式实际应用题是高考中的常客，创新之处常常是以新信息为背景。对于这类问题，我们要通过“粗读”和“精读”认真审视题目信息，充分理解题目所给条件，去“伪”留“真”，寻找量与量的关系，建立数学模型，然后利用不等式去解决。
二、 平面向量
平面向量是研究数学问题的一种基本工具，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是高考考查能力、渗透数学思想和方法的重要载体，也是高考命题的热点之一，其中平面向量数量积是其考查的重点，而平面向量共线概念及平面向量与其他知识的交汇则是其创新点。
（一） 平面向量共线概念
【例4】 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2(λ∈R)，A1A4=μA1A2(μ∈R），且1λ+1μ=2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割调和点A，B，则下面说法正确的个数是 .
①C可能是线段AB的中点；
②D可能是线段AB的中点；
③C，D可能同时在线段AB上；
④C，D不可能同时在线段AB的延长线上.
分析 对于待判定的四种说法，本质上就是要阐明向量的各种线性关系，所以我们可以利用平面向量共线概念，构造出相应的线性表示，再结合条件所给的“调和分割”的定义依次作出正确判断。
解 依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC=λAB，AD=μAB，且1λ+1μ=2，若C是线段AB的中点，则有AC=12AB，此时λ=12.又1λ+1μ=2，所以1μ=0，不可能成立.因此①不对，同理②不对；当C，D可能同时在线段AB上时，由AC=λAB，AD=μAB知0<λ<1，0<μ<1，此时1λ+1μ>2，与已知条件1λ+1μ=2矛盾，因此③不对；若C，D可能同时在线段AB的延长线上，则AC=λAB时，λ>1，AD=μAB时，μ>1，此时1λ+1u<2，与已知1λ+1μ=2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，因此④正确.综上，上述说法正确的个数是1.
点拨 平面向量共线概念由于其抽象性，平时复习中是一个易被我们遗忘的角落，但却常常是高考命题的“杀手锏”，值得我们关注，而明确共线概念、进行线性构造则是解题的基本方法。本题的创新点在于以平面向量为背景，给出一个全新的定义“调和分割”。对于这类问题，解题关键是读懂题目，弄清新定义概念的含义，如本题中的“调和分割”的意义所指，结合向量共线概念即可。
人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗
自私自利之心，是立人达人之障。——吕坤
（二） 平面向量数量积
【例5】 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为 .
分析1 利用三角形法则将未知向量PA和PB转化为已知长度和角度的已知向量AD和BC，结合平面向量模的运算即可。
解1 设DP=xDC（0
PA+3PB2=254DA2+2×52×（3－4x）DA•DC+（3－4x）2•DC2=25+（3-4x）2DC2≥25，∴PA+3PB的最小值为5.
分析2 利用直角梯形中∠ADC=90°建立直角坐标系，明确各点坐标带入运算易解。
解2 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立直角坐标系，设DC=a，DP=x，PA=(2,－x)，PB=(1,a－x)，∴PA+3PB=(5,3a－4x)，PA+3PB2=25+(3a－4x)2≥25，∴PA+3PB的最小值为5.
点拨 由于平面向量数量积能融数形于一体，有利于考查问题解决能力和思想方法，因此成为高考中的一个新亮点，愈考愈热。而这类问题解决的途径主要有两种，一是利用三角形法则对未知向量进行合成与分解转化;二是利用坐标法将其转化为代数问题解决。本题亮点就在于此，一方面，可以考虑将未知向量向已知向量转化解决问题；另一方面，考虑到直角梯形易于建系将问题转化为直角坐标解决。
（三） 平面向量与其他知识交汇
【例6】 已知O是坐标原点，点A（3,3），若点P(x,y)为平面区域3x－y<0，x－3y+2>0，y≥0上的一个动点，则OA•OPOP的取值范围是 .
分析 先利用向量数量积化简明确OA•OPOP的结果，再结合图形位置特征即可解决。
解 由题OA•OP|OP|=|OA|•|OP|cos∠AOP|OP|=
|OA|cos∠AOP=23cos∠AOP，由图可知，∠AOP∈π6,5π6，∴cos∠AOP∈－32,32，则OA•OP|OP|∈［－3,3).
点拨 作为中学数学一个新的知识“交汇点”，平面向量与三角函数、解析几何、不等式等知识点的综合是目前各类考试命题的一个新热点，解决这类热点问题的关键就是“掀开”交汇问题中平面向量的面纱，将知识还原于其本来面貌。本题最大的创新点就在于将线性规划中的基础内容平面区域与平面向量数量积进行有机结合，给人感觉陌生而新鲜。事实上，利用平面向量知识化简OA•OP|OP|即可将问题转化为三角函数问题。
牛刀小试
1. 在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD•BE= .
2. 已知x,y,z∈R+，x－2y+3z=0，则y2xz的最小值为 .
【参考答案】
1. AD=12(AB+AC)，BE=AE－AB=23AC－AB，则AD•BE=12（AB+AC）•23AC－AB=13AC2－12AB2－16AB•AC=13－12－16cosπ3=－14.
2. 由x－2y+3z=0得y=x+3z2代入消元得(x+3z)24xz=14xz+9zx+6≥14×12=3.
3. 设∠APO=α，则∠APB=2α，PA•PB=|PA|•|PB|cos2α=PA2(1－2sin2α)=(PO2－1)•1－2•1PO2=PO2－2－1+2PO2≥－3+22.
(作者：潘龙生，盐城市盐都区教育局教研室)
一、 不等式
不等式是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而是中学数学的重点内容，也是高考数学的考查重点，而其中一元二次不等式的解法和基本不等式及其应用则是其考查的核心知识点.
（一） 一元二次不等式的解法
【例1】 设0
分析 研究解集中的整数个数实际上就是明确此不等式解集的跨度，所以本题应该先整理并解出含参一元二次不等式，通过研究解集分界点的位置来解决问题。
解 不等式（x－b）2>（ax）2即为（a2－1）x2+2bx－b2<0，由题意知，它的解应该在两根之间，故有a2－1>0,即a>1，不等式变形为（a－1）x+b（a+1）x－b<0，所以不等式的解集为－ba－1
（二） 基本不等式
【例2】 若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 .
分析 利用完全平方公式对x2+y2+xy=1作整理可得（x+y）2－xy=1，考虑xy与x+y的关系利用基本不等式可解。
解 由x2+y2+xy=1，得1=（x+y）2－xy，
∴（x+y）2=1+xy≤1+（x+y）24，
解得－233≤x+y≤233，
∴x+y的最大值为233.
点拨 基本不等式及其变式，均值不等式一直是高考重点考查内容，除“一正、二定、三相等”条件的易错点考查外，代数式变形与化简是其考查的重点与难点，而构造变形则是其解题必由之路。本题创新点及其难点在于代数式x2+y2与xy都需使用基本不等式向x+y转化，解题关键就是将x2+y2构造成x+y的形式，从而减少基本不等式使用的次数。
（三） 基本不等式的实际应用
【例3】 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元．
（1） 写出v关于w的函数关系式；
（2） 把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）.
分析 （1） 根据“钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw2，再由“一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元”解得模型；
（2） 要证明结论，先根据给定信息建立价值损失的百分率模型，再利用基本不等式求得最值，并明确等号成立的条件。
解 （1） 依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54 000，∴k=6 000，故v=6 000w2.
（2） 价值损失的百分率应为
6 000（m+n）2－（6 000m2+6 000n2）6 000(m+n)2
=2mn(m+n)2≤2•m+n22(m+n)2=12，
当且仅当m=n时，等号成立．即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．
点拨 不等式实际应用题是高考中的常客，创新之处常常是以新信息为背景。对于这类问题，我们要通过“粗读”和“精读”认真审视题目信息，充分理解题目所给条件，去“伪”留“真”，寻找量与量的关系，建立数学模型，然后利用不等式去解决。
二、 平面向量
平面向量是研究数学问题的一种基本工具，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是高考考查能力、渗透数学思想和方法的重要载体，也是高考命题的热点之一，其中平面向量数量积是其考查的重点，而平面向量共线概念及平面向量与其他知识的交汇则是其创新点。
（一） 平面向量共线概念
【例4】 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2(λ∈R)，A1A4=μA1A2(μ∈R），且1λ+1μ=2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割调和点A，B，则下面说法正确的个数是 .
①C可能是线段AB的中点；
②D可能是线段AB的中点；
③C，D可能同时在线段AB上；
④C，D不可能同时在线段AB的延长线上.
分析 对于待判定的四种说法，本质上就是要阐明向量的各种线性关系，所以我们可以利用平面向量共线概念，构造出相应的线性表示，再结合条件所给的“调和分割”的定义依次作出正确判断。
解 依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC=λAB，AD=μAB，且1λ+1μ=2，若C是线段AB的中点，则有AC=12AB，此时λ=12.又1λ+1μ=2，所以1μ=0，不可能成立.因此①不对，同理②不对；当C，D可能同时在线段AB上时，由AC=λAB，AD=μAB知0<λ<1，0<μ<1，此时1λ+1μ>2，与已知条件1λ+1μ=2矛盾，因此③不对；若C，D可能同时在线段AB的延长线上，则AC=λAB时，λ>1，AD=μAB时，μ>1，此时1λ+1u<2，与已知1λ+1μ=2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，因此④正确.综上，上述说法正确的个数是1.
点拨 平面向量共线概念由于其抽象性，平时复习中是一个易被我们遗忘的角落，但却常常是高考命题的“杀手锏”，值得我们关注，而明确共线概念、进行线性构造则是解题的基本方法。本题的创新点在于以平面向量为背景，给出一个全新的定义“调和分割”。对于这类问题，解题关键是读懂题目，弄清新定义概念的含义，如本题中的“调和分割”的意义所指，结合向量共线概念即可。
人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗
自私自利之心，是立人达人之障。——吕坤
（二） 平面向量数量积
【例5】 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为 .
分析1 利用三角形法则将未知向量PA和PB转化为已知长度和角度的已知向量AD和BC，结合平面向量模的运算即可。
解1 设DP=xDC（0
分析2 利用直角梯形中∠ADC=90°建立直角坐标系，明确各点坐标带入运算易解。
解2 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立直角坐标系，设DC=a，DP=x，PA=(2,－x)，PB=(1,a－x)，∴PA+3PB=(5,3a－4x)，PA+3PB2=25+(3a－4x)2≥25，∴PA+3PB的最小值为5.
点拨 由于平面向量数量积能融数形于一体，有利于考查问题解决能力和思想方法，因此成为高考中的一个新亮点，愈考愈热。而这类问题解决的途径主要有两种，一是利用三角形法则对未知向量进行合成与分解转化;二是利用坐标法将其转化为代数问题解决。本题亮点就在于此，一方面，可以考虑将未知向量向已知向量转化解决问题；另一方面，考虑到直角梯形易于建系将问题转化为直角坐标解决。
（三） 平面向量与其他知识交汇
【例6】 已知O是坐标原点，点A（3,3），若点P(x,y)为平面区域3x－y<0，x－3y+2>0，y≥0上的一个动点，则OA•OPOP的取值范围是 .
分析 先利用向量数量积化简明确OA•OPOP的结果，再结合图形位置特征即可解决。
解 由题OA•OP|OP|=|OA|•|OP|cos∠AOP|OP|=
|OA|cos∠AOP=23cos∠AOP，由图可知，∠AOP∈π6,5π6，∴cos∠AOP∈－32,32，则OA•OP|OP|∈［－3,3).
点拨 作为中学数学一个新的知识“交汇点”，平面向量与三角函数、解析几何、不等式等知识点的综合是目前各类考试命题的一个新热点，解决这类热点问题的关键就是“掀开”交汇问题中平面向量的面纱，将知识还原于其本来面貌。本题最大的创新点就在于将线性规划中的基础内容平面区域与平面向量数量积进行有机结合，给人感觉陌生而新鲜。事实上，利用平面向量知识化简OA•OP|OP|即可将问题转化为三角函数问题。
牛刀小试
1. 在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD•BE= .
2. 已知x,y,z∈R+，x－2y+3z=0，则y2xz的最小值为 .
【参考答案】
1. AD=12(AB+AC)，BE=AE－AB=23AC－AB，则AD•BE=12（AB+AC）•23AC－AB=13AC2－12AB2－16AB•AC=13－12－16cosπ3=－14.
2. 由x－2y+3z=0得y=x+3z2代入消元得(x+3z)24xz=14xz+9zx+6≥14×12=3.
3. 设∠APO=α，则∠APB=2α，PA•PB=|PA|•|PB|cos2α=PA2(1－2sin2α)=(PO2－1)•1－2•1PO2=PO2－2－1+2PO2≥－3+22.
(作者：潘龙生，盐城市盐都区教育局教研室)