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摘要：美国著名数学家、教育家乔治·波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中指出：我们常把教育与学习，描述为教学的艺术与学习的过程。以下针对课堂教学中“教”与“学”的关系，阐述笔者对“教学艺术”与“学习过程”的理解与认识。
关键词：教学艺术；高中数学；高效教学
教学艺术，非常清晰地指出教学规律不仅仅是一门科学，教学和音乐一样也是一门艺术。而艺术的表现没有限制与边界，符合大众认知习惯与规律的艺术方法就是好的艺术表现形式。正如法国哲学家、散文作家蒙田所说，真理是这样的伟大，我们不应当藐视任何能够达到它的手段。因此在你的课堂教学上，教学风格兴之所至而稍发诗兴，甚至小有不雅，都应当允许，不要有太多的清规戒律。综观所致，教学的真正目的首先是教会学习者掌握系统的学科知识，让学习者了解学科的学习方法、形成学科思维习惯，通过在学习中克服困难，形成思考的思维品质、学会思考提升个人素养，发展自身综合能力。
德国哲学家康德指出：人的认识从感觉（cognition）开始，再从感觉上升到概念（intuition），最后形成思想（idea）。明确地指出学习是一个不断认识、探索、形式化与同化的过程，学习过程没有思维捷径可走。有效的学习原则包括：主动学习原则、最佳动机原则和阶段序进原则。正如乔治·波利亚也解释道：学习从行动与感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。其中对高深知识的认识与理解分为：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。即对于有效学习，在语言文字表达及概念建立的阶段之前应当先有一个探索阶段，最后，学习所得将转化为学生的才能和品性，融入其中，变成精神素质的一部分。
鉴于以上分析，在实际的教学实践中，高效教学应以有效学习的基本原则为原则，具体可分成以下几个原则：一、高效教学的主动学习原则，即在学生主动学习的基础之上，在给定的条件下，让学生尽可能多的靠自己去发现，让学生主动地为问题的明确表述贡献自己的一份力量；二、高效教学的最佳动机原则，教师是学生知识的教育者（推销员），学生不接受你的讲解（推销），学生对你的知识不感兴趣，学生既不懒也不笨，只不过是对别的东西更感兴趣而已。问题不在学生，而在于你的教学能力（推销技巧），教师作为一个知识的推销员，你的责任是通过你的教学方法（推销技巧）使学生确信你传授的知识是有趣的，让学生从你的教学中感受学习该学科知识的成就感，感受到值得花力气去干这件事。如在学生开始做题之前，先让他们猜猜结果或猜猜部分的结果，这不仅调动了他们学习学科知识的积极性，而且还教给学生应有的思维方式。三、高效教学的阶段序进原则，在教学过程中应重视学生学习的探索阶段与同化阶段，具体的表现在注重教学问题的设置要与学生的日常生活息息相关又要与周围世界和其他知识领域的联系。
下面就高中数学课堂教学实践谈谈高效教学的实施细节，不当之处，敬请指正。
（一） 贯穿课程文化，追溯高效教学的本源
2017版《普通高中数学课程标准》在课程基本理念中明确指出要体现数学文化的教育价值。教材中的教学知识是有限的，但其知识背后蕴藏着文化教育的背景却丰富多彩。因此，在实践教学课堂中，从数学教育和文化教育的功能出发，在新知识呈现之前，让学生从知识产生的背后故事出发，通过数学故事与史料等教材，让学生知道知识背后所蕴藏的必然性与偶然性，让学生感受数学知识产生的实用性与真实性。如在苏教版高中数学教材必修四第一章《三角函数》中，学生学习弧度制时，可以介绍弧度制引入的历史背景：“弧度（radian）”一词，最早由爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森在1875年首先创造并使用的，由半径（radius）和角（angle）两个英语单词组合而成。弧度的符号表示在历史上也几次变换。1881年霍尔斯特德用ρ表示弧度单位；20世纪初，弧度的表示不一，R或r表示的都有。直到1925年朗尼（Loney）的数学论著《平面三角》还用πc表示。20世纪三十年代，我国《数学名词》把radian译为“弪（弧和径两字合成，读jing）”，这表明圆心角的弧度数是由弧长和半径r共同决定的。直到1956年版的《数学名词》正式定为弧度。通过上述介绍，使学生对弧度制有初步的感性认识，激发学生探究新知的欲望，提高了学生学习弧度制的好奇心，为弧度制知识的学习打下良好的铺垫。
（二） 尊重学生学习的过程属性，注重学习过程的完整性与丰富性，提升学习过程的发展价值，回归高效教学的本质
从学科特点和学生认知特点出发，注重过程性目标，用经历、体验、探索等词汇刻画学生的数学活动水平。以数学教材为基本依据，强调使学生经历数学知识的产生和发展过程，挖掘数学知识所蕴涵的教育资源，为学生设计合适的数学活动，增加学生基本活动经验，积累数学知识自我建构的过程体验，使他们在数学知识的理解和应用的过程中，不断激发数学学习的兴趣，提升数学思维，培养创新精神和实践能力。如苏教版高中实验教科书《数学》必修（1）第2.1.3节“函数的单调性”是“函数的简单性质”的第一课时，函数单调性是在学生学习了函数的概念和图象后，研究函数性质的第一课，为后续函数性质研究提供研究范式，在函数性质学习中地位重要。因此在学习中要充分发挥学生的主体性，从知识的发生出发，生成知识并内化知识体系，提升学习过程发展的价值。如在新课引入方面，教师可以设计如下情境：给出我市一天24小时内的气温变化图，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？学生通过自己的语言描述其温读逐渐升高这一特征，教师及时修正自然语言描述的准确性，在任意性及一般性上给出适当的补充。通过问题串，铺设形成概念的阶梯，不断创设疑问，引导学生积极思考、讨论，让学生一步步体会出概念，把握住概念中的关键词“区间内”“任意”等，培养学生思维的严密性、科学性，并且使学生体会使用符号语言的优点和美感，养成运用符号语言的习惯，提高课堂教学效率，打造高效课堂。
总之，在实际教学过程中，教师要遵循教学规律，运用自身独特的教学风格，发挥教学“艺”与“术”的特点，从学生的兴趣出發精心设计教学环节，让学生产生强烈的探究欲望，并积极主动地进行知识的分析和思考，使他们的数学思维能力获得发展。充分挖掘潜力，充分发挥主动性，实现高效的课堂教学。
作者简介：
秦小牛，江苏省南京市，南京市江北新区招生委员会办公室。
关键词：教学艺术；高中数学；高效教学
教学艺术，非常清晰地指出教学规律不仅仅是一门科学，教学和音乐一样也是一门艺术。而艺术的表现没有限制与边界，符合大众认知习惯与规律的艺术方法就是好的艺术表现形式。正如法国哲学家、散文作家蒙田所说，真理是这样的伟大，我们不应当藐视任何能够达到它的手段。因此在你的课堂教学上，教学风格兴之所至而稍发诗兴，甚至小有不雅，都应当允许，不要有太多的清规戒律。综观所致，教学的真正目的首先是教会学习者掌握系统的学科知识，让学习者了解学科的学习方法、形成学科思维习惯，通过在学习中克服困难，形成思考的思维品质、学会思考提升个人素养，发展自身综合能力。
德国哲学家康德指出：人的认识从感觉（cognition）开始，再从感觉上升到概念（intuition），最后形成思想（idea）。明确地指出学习是一个不断认识、探索、形式化与同化的过程，学习过程没有思维捷径可走。有效的学习原则包括：主动学习原则、最佳动机原则和阶段序进原则。正如乔治·波利亚也解释道：学习从行动与感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。其中对高深知识的认识与理解分为：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。即对于有效学习，在语言文字表达及概念建立的阶段之前应当先有一个探索阶段，最后，学习所得将转化为学生的才能和品性，融入其中，变成精神素质的一部分。
鉴于以上分析，在实际的教学实践中，高效教学应以有效学习的基本原则为原则，具体可分成以下几个原则：一、高效教学的主动学习原则，即在学生主动学习的基础之上，在给定的条件下，让学生尽可能多的靠自己去发现，让学生主动地为问题的明确表述贡献自己的一份力量；二、高效教学的最佳动机原则，教师是学生知识的教育者（推销员），学生不接受你的讲解（推销），学生对你的知识不感兴趣，学生既不懒也不笨，只不过是对别的东西更感兴趣而已。问题不在学生，而在于你的教学能力（推销技巧），教师作为一个知识的推销员，你的责任是通过你的教学方法（推销技巧）使学生确信你传授的知识是有趣的，让学生从你的教学中感受学习该学科知识的成就感，感受到值得花力气去干这件事。如在学生开始做题之前，先让他们猜猜结果或猜猜部分的结果，这不仅调动了他们学习学科知识的积极性，而且还教给学生应有的思维方式。三、高效教学的阶段序进原则，在教学过程中应重视学生学习的探索阶段与同化阶段，具体的表现在注重教学问题的设置要与学生的日常生活息息相关又要与周围世界和其他知识领域的联系。
下面就高中数学课堂教学实践谈谈高效教学的实施细节，不当之处，敬请指正。
（一） 贯穿课程文化，追溯高效教学的本源
2017版《普通高中数学课程标准》在课程基本理念中明确指出要体现数学文化的教育价值。教材中的教学知识是有限的，但其知识背后蕴藏着文化教育的背景却丰富多彩。因此，在实践教学课堂中，从数学教育和文化教育的功能出发，在新知识呈现之前，让学生从知识产生的背后故事出发，通过数学故事与史料等教材，让学生知道知识背后所蕴藏的必然性与偶然性，让学生感受数学知识产生的实用性与真实性。如在苏教版高中数学教材必修四第一章《三角函数》中，学生学习弧度制时，可以介绍弧度制引入的历史背景：“弧度（radian）”一词，最早由爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森在1875年首先创造并使用的，由半径（radius）和角（angle）两个英语单词组合而成。弧度的符号表示在历史上也几次变换。1881年霍尔斯特德用ρ表示弧度单位；20世纪初，弧度的表示不一，R或r表示的都有。直到1925年朗尼（Loney）的数学论著《平面三角》还用πc表示。20世纪三十年代，我国《数学名词》把radian译为“弪（弧和径两字合成，读jing）”，这表明圆心角的弧度数是由弧长和半径r共同决定的。直到1956年版的《数学名词》正式定为弧度。通过上述介绍，使学生对弧度制有初步的感性认识，激发学生探究新知的欲望，提高了学生学习弧度制的好奇心，为弧度制知识的学习打下良好的铺垫。
（二） 尊重学生学习的过程属性，注重学习过程的完整性与丰富性，提升学习过程的发展价值，回归高效教学的本质
从学科特点和学生认知特点出发，注重过程性目标，用经历、体验、探索等词汇刻画学生的数学活动水平。以数学教材为基本依据，强调使学生经历数学知识的产生和发展过程，挖掘数学知识所蕴涵的教育资源，为学生设计合适的数学活动，增加学生基本活动经验，积累数学知识自我建构的过程体验，使他们在数学知识的理解和应用的过程中，不断激发数学学习的兴趣，提升数学思维，培养创新精神和实践能力。如苏教版高中实验教科书《数学》必修（1）第2.1.3节“函数的单调性”是“函数的简单性质”的第一课时，函数单调性是在学生学习了函数的概念和图象后，研究函数性质的第一课，为后续函数性质研究提供研究范式，在函数性质学习中地位重要。因此在学习中要充分发挥学生的主体性，从知识的发生出发，生成知识并内化知识体系，提升学习过程发展的价值。如在新课引入方面，教师可以设计如下情境：给出我市一天24小时内的气温变化图，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？学生通过自己的语言描述其温读逐渐升高这一特征，教师及时修正自然语言描述的准确性，在任意性及一般性上给出适当的补充。通过问题串，铺设形成概念的阶梯，不断创设疑问，引导学生积极思考、讨论，让学生一步步体会出概念，把握住概念中的关键词“区间内”“任意”等，培养学生思维的严密性、科学性，并且使学生体会使用符号语言的优点和美感，养成运用符号语言的习惯，提高课堂教学效率，打造高效课堂。
总之，在实际教学过程中，教师要遵循教学规律，运用自身独特的教学风格，发挥教学“艺”与“术”的特点，从学生的兴趣出發精心设计教学环节，让学生产生强烈的探究欲望，并积极主动地进行知识的分析和思考，使他们的数学思维能力获得发展。充分挖掘潜力，充分发挥主动性，实现高效的课堂教学。
作者简介：
秦小牛，江苏省南京市，南京市江北新区招生委员会办公室。