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摘 要：对数学解题过程与结果进行严谨性、正确性的审视，在于反省补过、谨慎小心、坚忍纯正，无疑是提升数学素养的重要机制.
关键词：数学解题；周易；无咎观
一般说来，学生作为数学解题的新手在自己的解题活动中很难避免一些错误，但这并不意味着教师就可以放任学生在数学解题活动中的数学错误，不注意通过有效的教学措施积极地引导学生防范、克服、反思和利用自己在解题中的错误.严谨性作为数学学科的重要特点表明，学生的数学解题实践不能偏离“以正确为第一要务”的目标追求，否则就容易异化数学学科的科学本性和学生解题训练的有效价值.如果说“问题和解是数学的心脏”，那么对数学问题求解过程和结果进行“严谨性”“正确性”的审视无疑是保证提升数学素养的重要机制.本文拟在学习和借鉴中华文化的哲学根源性著作《周易》一书中关于“无咎观”的一些基本认识基础上，结合来自中学一线的具体教学案例说明数学解题教学中如何引导广大中学生建构解题的无咎观，以期引导学生学会正确地看待自己有可能发生的数学解题错误，并能据此更有针对性地思考自己的数学解题活动“是否有错”“何以出错”“错在何处”如何纠错”.
一、反省补过——数学解题的无咎之基
就做人做事而言，“无咎者，善补过者也”是《周易》中非常值得学习和领会的一句话.这里的“无咎”本义是指“完美无缺”“万无一失”或“没有灾患”等之类的意思，而“补过”则是指“不但不犯某种错误了，而且还把原来所犯的过错改正和补救过来”.人非圣贤，孰能无过？立足于人的行为和心态进行考察，人在实践中有所缺失其实是难免的事，关键是要善于对相应的缺失有一种悔恨之心，并且要善于从行为中切实地补过自新，唯有如此，才能做到无咎.将《周易》中的这句话联系到中学数学解题教学的指导，可以获得非常有益的启示，事实上，解题者数学解题的过程与结果如果要做到没有任何毛病的话，必然需要解题者本人有“善于补过”的意识，特别是，解题者本人要随时审察、反省自己解题的过程与最后的结果，要注意及时检查那些能引发自己产生错误的可能性因素.只有通过必要的“回头看”“检视”“审查”“反思”，解题者才能使自己在一种良好的数学解题习惯中保证数学解题的无咎状态.
例1 解方程组
案例分析 上述题目是施老师布置给某镇初级中学初二（1）班的一道课后探究题，对于施老师布置的作业，作为班级数学课代表的小红给出了如下的解法：
[解：由得即 （3）
由（3）得 ，
代入（2），得 ，
整理，得 ，
解之得 ，
分别代入（3），得 ，.
所以，所求方程组的解为，
经检验，所求两组解是原方程组的解. ]
对于自己的解答，小红感到很满意.但是，出乎意料的是，施老师并没有象往常一样对她的作业给出肯定的评价，而是在作业本子上写下两段话：“对于方程（1）和（2），非常显然的一个事实是，当时，它們的右边都等于0，据此可求解相应的或，这也就说明这两组解也是原方程组的解.”“可见，你在作业中提供的解法肯定遗失了一些根，你能找找你自己失根的原因吗？”
看到老师在作业批改中给出的反馈，小红不禁一怔，自己的解法真的是失根了吗？如果是，究竟是什么原因引起失根了呢？她开始深思起来.渐渐地，她发现，在自己的解法中，其实是有前提条件的，即只有在（2）不为0时，它们才能相除.这样，就有可能失去使（2）为0的x与y的值，而它们确实又满足（1）式，从而是原方程组的解.据此，可通过补解方程组考察它的解是不是也是（1）式的解.不难看出，这是比较显然的（这是因为该式的两边分别有及）.于是，由就可得到原方程组的另两组解
对于小红提交的“订正版作业”，施老师进行了面批，他笑着对小红说：“行呀！终于找到错误、改正错误了.知错能改，善莫大焉！”不过，施老师并没有就此结束对小红作业的指导，而是进一步引导：“小红，你能否通过回避的方式来防止自己的失根呢？”小红想了想说，“老师，可以的！”具体解法如下：
[将（2）代入（1），得
即 （4）
于是原方程组与同解.
而（4）与 （5）
及 （6）
同解.所以原方程组与及同解.
解得
解得 ]
施老师对小红第二种解法“步步为营”的严谨性大加赞赏，并追问她两个新的问题：比较两种解法，能否更清楚地认识第一种解法最初出错的原因？能否将这类问题一般化，并据此提出它们的解？
小红在施老师的指导下进一步认识到：
第一种解法之所以出错是自己只解了方程，从而丢失了方程的解.
如果将本题所解方程组一般化，就是解形如 的解，可以猜想它与方程组及同解.在施老师的指导下，小红对自己的猜想进行了证明（略）.
“震无咎者存乎悔”，做人做事要达到无咎的状态，必然要善于反思悔过.在上述的案例中，小红在施老师的指导下先是识别错误，然后分析产生错误的原因，她不仅把在解题中所犯错误改正过来，而且把所犯的错误补救过来——即对一类方程求解的问题作了更为一般的猜想和论证，这显然是数学解题活动中“反省补过”思想的一种具体体现.在引导中学生对数学错解进行反思的教学过程中，不能仅仅停留在就错改错，而是要深入与特定问题有关的数学知识结构的审察，要深入解题中数学思维过程的反思，努力找出相应环节可能出现的实质性问题，既注意概括出条件化、一般化的问题题路和结论规律，又注意对不同的解法进行横向与纵向的比较.总之，数学解题活动中，要真正达到一种无咎的状态，解题者在平时的解题练习中就要注意培养解题反思的习惯，注意随时检查、反思、改正在数学解题实践中有可能出现的错误和毛病.
二、谨慎小心——数学解题的无咎之法
关键词：数学解题；周易；无咎观
一般说来，学生作为数学解题的新手在自己的解题活动中很难避免一些错误，但这并不意味着教师就可以放任学生在数学解题活动中的数学错误，不注意通过有效的教学措施积极地引导学生防范、克服、反思和利用自己在解题中的错误.严谨性作为数学学科的重要特点表明，学生的数学解题实践不能偏离“以正确为第一要务”的目标追求，否则就容易异化数学学科的科学本性和学生解题训练的有效价值.如果说“问题和解是数学的心脏”，那么对数学问题求解过程和结果进行“严谨性”“正确性”的审视无疑是保证提升数学素养的重要机制.本文拟在学习和借鉴中华文化的哲学根源性著作《周易》一书中关于“无咎观”的一些基本认识基础上，结合来自中学一线的具体教学案例说明数学解题教学中如何引导广大中学生建构解题的无咎观，以期引导学生学会正确地看待自己有可能发生的数学解题错误，并能据此更有针对性地思考自己的数学解题活动“是否有错”“何以出错”“错在何处”如何纠错”.
一、反省补过——数学解题的无咎之基
就做人做事而言，“无咎者，善补过者也”是《周易》中非常值得学习和领会的一句话.这里的“无咎”本义是指“完美无缺”“万无一失”或“没有灾患”等之类的意思，而“补过”则是指“不但不犯某种错误了，而且还把原来所犯的过错改正和补救过来”.人非圣贤，孰能无过？立足于人的行为和心态进行考察，人在实践中有所缺失其实是难免的事，关键是要善于对相应的缺失有一种悔恨之心，并且要善于从行为中切实地补过自新，唯有如此，才能做到无咎.将《周易》中的这句话联系到中学数学解题教学的指导，可以获得非常有益的启示，事实上，解题者数学解题的过程与结果如果要做到没有任何毛病的话，必然需要解题者本人有“善于补过”的意识，特别是，解题者本人要随时审察、反省自己解题的过程与最后的结果，要注意及时检查那些能引发自己产生错误的可能性因素.只有通过必要的“回头看”“检视”“审查”“反思”，解题者才能使自己在一种良好的数学解题习惯中保证数学解题的无咎状态.
例1 解方程组
案例分析 上述题目是施老师布置给某镇初级中学初二（1）班的一道课后探究题，对于施老师布置的作业，作为班级数学课代表的小红给出了如下的解法：
[解：由得即 （3）
由（3）得 ，
代入（2），得 ，
整理，得 ，
解之得 ，
分别代入（3），得 ，.
所以，所求方程组的解为，
经检验，所求两组解是原方程组的解. ]
对于自己的解答，小红感到很满意.但是，出乎意料的是，施老师并没有象往常一样对她的作业给出肯定的评价，而是在作业本子上写下两段话：“对于方程（1）和（2），非常显然的一个事实是，当时，它們的右边都等于0，据此可求解相应的或，这也就说明这两组解也是原方程组的解.”“可见，你在作业中提供的解法肯定遗失了一些根，你能找找你自己失根的原因吗？”
看到老师在作业批改中给出的反馈，小红不禁一怔，自己的解法真的是失根了吗？如果是，究竟是什么原因引起失根了呢？她开始深思起来.渐渐地，她发现，在自己的解法中，其实是有前提条件的，即只有在（2）不为0时，它们才能相除.这样，就有可能失去使（2）为0的x与y的值，而它们确实又满足（1）式，从而是原方程组的解.据此，可通过补解方程组考察它的解是不是也是（1）式的解.不难看出，这是比较显然的（这是因为该式的两边分别有及）.于是，由就可得到原方程组的另两组解
对于小红提交的“订正版作业”，施老师进行了面批，他笑着对小红说：“行呀！终于找到错误、改正错误了.知错能改，善莫大焉！”不过，施老师并没有就此结束对小红作业的指导，而是进一步引导：“小红，你能否通过回避的方式来防止自己的失根呢？”小红想了想说，“老师，可以的！”具体解法如下：
[将（2）代入（1），得
即 （4）
于是原方程组与同解.
而（4）与 （5）
及 （6）
同解.所以原方程组与及同解.
解得
解得 ]
施老师对小红第二种解法“步步为营”的严谨性大加赞赏，并追问她两个新的问题：比较两种解法，能否更清楚地认识第一种解法最初出错的原因？能否将这类问题一般化，并据此提出它们的解？
小红在施老师的指导下进一步认识到：
第一种解法之所以出错是自己只解了方程，从而丢失了方程的解.
如果将本题所解方程组一般化，就是解形如 的解，可以猜想它与方程组及同解.在施老师的指导下，小红对自己的猜想进行了证明（略）.
“震无咎者存乎悔”，做人做事要达到无咎的状态，必然要善于反思悔过.在上述的案例中，小红在施老师的指导下先是识别错误，然后分析产生错误的原因，她不仅把在解题中所犯错误改正过来，而且把所犯的错误补救过来——即对一类方程求解的问题作了更为一般的猜想和论证，这显然是数学解题活动中“反省补过”思想的一种具体体现.在引导中学生对数学错解进行反思的教学过程中，不能仅仅停留在就错改错，而是要深入与特定问题有关的数学知识结构的审察，要深入解题中数学思维过程的反思，努力找出相应环节可能出现的实质性问题，既注意概括出条件化、一般化的问题题路和结论规律，又注意对不同的解法进行横向与纵向的比较.总之，数学解题活动中，要真正达到一种无咎的状态，解题者在平时的解题练习中就要注意培养解题反思的习惯，注意随时检查、反思、改正在数学解题实践中有可能出现的错误和毛病.
二、谨慎小心——数学解题的无咎之法