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摘要：我认为作为中学的数学教师培养学生的直觉思维能力与逻辑思维能力不能偏废，应该很好结合起来。直觉思维是未经过一步步分析，无清晰的步骤，而对问题突然间的领悟、理解或给出答案的思维，一是判断，二是想象，即包括：预感、猜想、假设、灵感等的能力。
关健词：直觉思维 能力 猜疑 民主
当前不少学生感到数学难学，进而发展到厌学；教师也感到数学难教，教得很吃力，但教学效果也不好。究其原因之一是学生的数学直觉思维能力没有得到发挥出来，认为数学很抽象，很空洞。爱因斯坦说：“我相信直觉与灵感。真正可贵的因素是直觉。”庞加莱认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具”，很多伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都由猜测得来的，换句话说，大都是凭创造性的直觉得来的。那么什么是数学直觉思维能力呢？简单地说，就是人脑对数学对象及关系的一种迅速与敏锐的想象力。一是判断，二是想象。
所谓判断，就是人脑对于数学对象及其规律性关系的迅速的认识、直接的理解、综合的判断，也就是数学的洞察力，也称数学直觉判断。它是在一瞬间实现的，因此要对它的过程进行分析、研究，甚至追忆都是十分困难的。这就是数学直觉活动神秘的原因。
所谓想象，就是人脑中已有的表象进行加工改造，从而创造出新形象的过程。它是人脑特有的功能，即使沒有实物或人工符号展现于眼前，人们也可以自由地构想出全新的关系、符号和事物。“想象”对于数学家来说作用比其他科学家更为重要。德国数学家明可夫斯基以其非凡的想象力把三维空间与时间联系起来，构筑起划时代的四维时空表达式。那么，怎样才能有效地培养数学直觉思维能力呢？以下是本人在日常教学中几点体会：
一、在教学中要充分利用学生已有的直接经验，并通过生动的语言描述、演示、实验、实习、参观等方法不断增加学生的直接经验；不能忽视引导学生通过亲身参与、独立探索去积累经验，获取知识。学生要把知识转化为自己的必须有一定的直接经验作为基础，有一定感性认识作基础。并且学生在学习数学的过程中应当努力达到“真懂”或“彻悟”的境界。这就是说，我们不应满足于弄清各个数学结论的演绎论证步骤，而应对整个过程、乃至整个理论作一番整体性的分析概括，包括结合具体实例的考察弄清相应结论或方法的直观背景，直至整个内容在头脑中成为非常直观浅显非常透彻明白的东西，也即达到了“直觉的把握”。
二、在培养学生的直觉思维能力中不能偏废逻辑思维能力，而应该很好地把结合起来。大家知道，直觉思维能力在问题解决中有很重要的作用，许多数学问题，都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想，然后再进行逻辑证明的。中学生在学习数学的过程中，直觉思维时有发生，当然在表现的程度上是初级的。例如，我班学生在解数学题“四根管子通向水池，第1、2、3号管打开后，水池12分钟可以灌满；第2、3、4号管打开后，水池15分钟可以灌满；第1、4号管打开后，水池20分钟可以灌满。如果四管同时打开，问水池需要多少时间可以灌满？”时，起初大多数同学试着用列方程组来解，但未能解出。这时，我注意到有一位男同学满脸高兴的样子，似乎已有了结果似的，于是我走过去询问他，他说他也是突然有所领悟：“管子的两倍......一分钟可灌满水池的1/12 1/15 1/20=1/5。一组管子每分钟灌满水池的1/10。于是10分钟可以把水池灌满。”这解答，我问他是怎样想出来的，他也说不上。
三、借助美妙形象的直觉诱发。
美妙形象常常是诱发直觉思维的温床，把发展数学直觉思维的注意力转向于几何。我们反对让学生初学几何时仅仅复述一系列的公理和定理，因为要是一个孩子以‘直观’几何的形式事先掌握一些概念和他们可以接受的方法，那么在以后解释这些公理和定理的时候，就能够更深刻地接受和掌握它的意义。柯尔莫洛夫指出：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成几何直观问题。”
“几何直观”对于数学各科研究有重大意义。对中学生来说，空间形状的直观想象是一件十分困难的事，若有人能闭上眼睛能想象出一个正方体被一个穿过正方体中心又垂直于它的一条对角线的平面所截出的图形是什么样子，他该算是“中学生数学家”了。如德国数学家希尔伯特长期都没有解出一个数学难题，而在一次看戏中，美妙的形象诱发了他的直觉思维，他突然悟到了解题的办法。
四、实施猜疑顿悟的启发教学。
在传统的中学数学教学过程中，主要注意力放在由学生准确地再现知识上面，常常对有天赋的学生的独到之见评价不高，甚至有的教师还挖苦讥讽，说他们异想天开，不着边际，整天不务正业；却给死记硬背的答案以高分。而前者有时虽不能给出清晰的思维过程，但结果正确；而后者说了不少，但缺少用知识的能力。我们的数学课堂应当开拓思想，这不仅是在数学研究中不应使思想过分地集中于某一点（某一可能的解答，某一可能的解题方向，等等），而且是指应当不断学习新知识，这样才能不断开阔视野。有个例子：在一次全国数学竞赛中，有这样的一道题“一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等。问重合一个面后还有几个面？”。标准答案注明为“7个”。有一位学生回答为“5个”。结果老师们判为错答，这位学生去找老师说理，但被“驳回”，坚持按标准答案给分。他委屈地想法告诉当工程师的父亲，他父亲动手做了两个实物模型，果然只有5个面，为什么呢？还需加以证明，但这位学生却能“跨越”这些演绎过程，直接得出答案。数学教学应热情鼓励如此的“跨越”。
五、创设民主宽松热烈的学习研讨环境
民主本身就能激发人的创造力。一个学生如果生活在“专制型”的班级中处处谨小慎微，思想就会受到压抑，干什么事都看大人和老师的眼色行事，不敢越雷池一步，怎么说得上创造呢。有些教师脑子里残存着封建家长的思想，教师的话就是法律，就是真理，就是权威，不允许学生稍有不满。很多学生从小就生活在“半封建”的环境里，哪来创造性呢？所以我们教学中要有民主宽松氛围，允许学生在有些问题上可以“不听大人的”。要想办法减少对犯错误的焦虑，要避免引起儿童害怕的压力，害怕会禁锢儿童的智力活动，阻碍儿童的新思想和探索力。民主和宽容对学生大胆想象、大胆创新是个很重要的条件。我们要把学生看做是人，是个有潜能的，是正在成长中的，要尊重他们，不要让他们生活在“半封建”的环境里。
智慧是思维撞击产生的火花，创造者之间的切磋争辩是激扬智能的利器。布朗克思中学1950级有20多个学生组织了一个“科学幻想小说俱乐部”，其间自由自在的学习、讨论和竞赛的气氛，极大地开发了他们的创造力。后来其中的格拉省与温伯格得到了1979年的诺贝尔物理奖。我国目前不少数学界精英都是当年数学小组的积极参加者，各地的数学奥林匹克学校正源源不断地为国家培养出数学人才。一些“小博士”聚在一起争论与反驳，质疑与答辩，使思想相撞，相互激励，彼此促进。这样的“气候”一旦形成。将十分有利于激扬人才的创造精神，诱发灵感，产生群体感应和共生效应。而以加重学生负担为特征“题海战术”恰恰是扼杀学生才智的教学歧途。
我们在教学中要允许学生向权威向老师挑战，鼓励学生标新立异，允许学生“胡思乱想”、“胡说八道”，只要不胡作非为就行；要教给学生创新的技能。
总之，我们在数学教学中应当注意对学生的逻辑思维能力与直觉思维能力的培养，不应偏废任何一方；恰恰相反，我们既应加强逻辑思维能力的训练，努力提高抽象思维的能力，又应注意加大力度培养学生的数学直觉思维能力，提高对数学美的鉴赏能力，提高学生学习数学的兴趣和能力。
参考文献
郑毓信，数学方法论，广西教育出版社
郑君文张恩华，数学学习论，广西教育出版社
关健词：直觉思维 能力 猜疑 民主
当前不少学生感到数学难学，进而发展到厌学；教师也感到数学难教，教得很吃力，但教学效果也不好。究其原因之一是学生的数学直觉思维能力没有得到发挥出来，认为数学很抽象，很空洞。爱因斯坦说：“我相信直觉与灵感。真正可贵的因素是直觉。”庞加莱认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具”，很多伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都由猜测得来的，换句话说，大都是凭创造性的直觉得来的。那么什么是数学直觉思维能力呢？简单地说，就是人脑对数学对象及关系的一种迅速与敏锐的想象力。一是判断，二是想象。
所谓判断，就是人脑对于数学对象及其规律性关系的迅速的认识、直接的理解、综合的判断，也就是数学的洞察力，也称数学直觉判断。它是在一瞬间实现的，因此要对它的过程进行分析、研究，甚至追忆都是十分困难的。这就是数学直觉活动神秘的原因。
所谓想象，就是人脑中已有的表象进行加工改造，从而创造出新形象的过程。它是人脑特有的功能，即使沒有实物或人工符号展现于眼前，人们也可以自由地构想出全新的关系、符号和事物。“想象”对于数学家来说作用比其他科学家更为重要。德国数学家明可夫斯基以其非凡的想象力把三维空间与时间联系起来，构筑起划时代的四维时空表达式。那么，怎样才能有效地培养数学直觉思维能力呢？以下是本人在日常教学中几点体会：
一、在教学中要充分利用学生已有的直接经验，并通过生动的语言描述、演示、实验、实习、参观等方法不断增加学生的直接经验；不能忽视引导学生通过亲身参与、独立探索去积累经验，获取知识。学生要把知识转化为自己的必须有一定的直接经验作为基础，有一定感性认识作基础。并且学生在学习数学的过程中应当努力达到“真懂”或“彻悟”的境界。这就是说，我们不应满足于弄清各个数学结论的演绎论证步骤，而应对整个过程、乃至整个理论作一番整体性的分析概括，包括结合具体实例的考察弄清相应结论或方法的直观背景，直至整个内容在头脑中成为非常直观浅显非常透彻明白的东西，也即达到了“直觉的把握”。
二、在培养学生的直觉思维能力中不能偏废逻辑思维能力，而应该很好地把结合起来。大家知道，直觉思维能力在问题解决中有很重要的作用，许多数学问题，都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想，然后再进行逻辑证明的。中学生在学习数学的过程中，直觉思维时有发生，当然在表现的程度上是初级的。例如，我班学生在解数学题“四根管子通向水池，第1、2、3号管打开后，水池12分钟可以灌满；第2、3、4号管打开后，水池15分钟可以灌满；第1、4号管打开后，水池20分钟可以灌满。如果四管同时打开，问水池需要多少时间可以灌满？”时，起初大多数同学试着用列方程组来解，但未能解出。这时，我注意到有一位男同学满脸高兴的样子，似乎已有了结果似的，于是我走过去询问他，他说他也是突然有所领悟：“管子的两倍......一分钟可灌满水池的1/12 1/15 1/20=1/5。一组管子每分钟灌满水池的1/10。于是10分钟可以把水池灌满。”这解答，我问他是怎样想出来的，他也说不上。
三、借助美妙形象的直觉诱发。
美妙形象常常是诱发直觉思维的温床，把发展数学直觉思维的注意力转向于几何。我们反对让学生初学几何时仅仅复述一系列的公理和定理，因为要是一个孩子以‘直观’几何的形式事先掌握一些概念和他们可以接受的方法，那么在以后解释这些公理和定理的时候，就能够更深刻地接受和掌握它的意义。柯尔莫洛夫指出：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成几何直观问题。”
“几何直观”对于数学各科研究有重大意义。对中学生来说，空间形状的直观想象是一件十分困难的事，若有人能闭上眼睛能想象出一个正方体被一个穿过正方体中心又垂直于它的一条对角线的平面所截出的图形是什么样子，他该算是“中学生数学家”了。如德国数学家希尔伯特长期都没有解出一个数学难题，而在一次看戏中，美妙的形象诱发了他的直觉思维，他突然悟到了解题的办法。
四、实施猜疑顿悟的启发教学。
在传统的中学数学教学过程中，主要注意力放在由学生准确地再现知识上面，常常对有天赋的学生的独到之见评价不高，甚至有的教师还挖苦讥讽，说他们异想天开，不着边际，整天不务正业；却给死记硬背的答案以高分。而前者有时虽不能给出清晰的思维过程，但结果正确；而后者说了不少，但缺少用知识的能力。我们的数学课堂应当开拓思想，这不仅是在数学研究中不应使思想过分地集中于某一点（某一可能的解答，某一可能的解题方向，等等），而且是指应当不断学习新知识，这样才能不断开阔视野。有个例子：在一次全国数学竞赛中，有这样的一道题“一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等。问重合一个面后还有几个面？”。标准答案注明为“7个”。有一位学生回答为“5个”。结果老师们判为错答，这位学生去找老师说理，但被“驳回”，坚持按标准答案给分。他委屈地想法告诉当工程师的父亲，他父亲动手做了两个实物模型，果然只有5个面，为什么呢？还需加以证明，但这位学生却能“跨越”这些演绎过程，直接得出答案。数学教学应热情鼓励如此的“跨越”。
五、创设民主宽松热烈的学习研讨环境
民主本身就能激发人的创造力。一个学生如果生活在“专制型”的班级中处处谨小慎微，思想就会受到压抑，干什么事都看大人和老师的眼色行事，不敢越雷池一步，怎么说得上创造呢。有些教师脑子里残存着封建家长的思想，教师的话就是法律，就是真理，就是权威，不允许学生稍有不满。很多学生从小就生活在“半封建”的环境里，哪来创造性呢？所以我们教学中要有民主宽松氛围，允许学生在有些问题上可以“不听大人的”。要想办法减少对犯错误的焦虑，要避免引起儿童害怕的压力，害怕会禁锢儿童的智力活动，阻碍儿童的新思想和探索力。民主和宽容对学生大胆想象、大胆创新是个很重要的条件。我们要把学生看做是人，是个有潜能的，是正在成长中的，要尊重他们，不要让他们生活在“半封建”的环境里。
智慧是思维撞击产生的火花，创造者之间的切磋争辩是激扬智能的利器。布朗克思中学1950级有20多个学生组织了一个“科学幻想小说俱乐部”，其间自由自在的学习、讨论和竞赛的气氛，极大地开发了他们的创造力。后来其中的格拉省与温伯格得到了1979年的诺贝尔物理奖。我国目前不少数学界精英都是当年数学小组的积极参加者，各地的数学奥林匹克学校正源源不断地为国家培养出数学人才。一些“小博士”聚在一起争论与反驳，质疑与答辩，使思想相撞，相互激励，彼此促进。这样的“气候”一旦形成。将十分有利于激扬人才的创造精神，诱发灵感，产生群体感应和共生效应。而以加重学生负担为特征“题海战术”恰恰是扼杀学生才智的教学歧途。
我们在教学中要允许学生向权威向老师挑战，鼓励学生标新立异，允许学生“胡思乱想”、“胡说八道”，只要不胡作非为就行；要教给学生创新的技能。
总之，我们在数学教学中应当注意对学生的逻辑思维能力与直觉思维能力的培养，不应偏废任何一方；恰恰相反，我们既应加强逻辑思维能力的训练，努力提高抽象思维的能力，又应注意加大力度培养学生的数学直觉思维能力，提高对数学美的鉴赏能力，提高学生学习数学的兴趣和能力。
参考文献
郑毓信，数学方法论，广西教育出版社
郑君文张恩华，数学学习论，广西教育出版社