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数列是高中数学的重点内容之一 ，也是高考考查的热点．高考中着重考查运算能力、逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”的特点，而解答题多以中、高档题目呈现．常考的知识点有：等差（等比）数列的判断、基本量的计算、性质的应用；递推数列问题；数列求和问题；数列极限的求法，归纳-猜想-证明；数列应用问题；数列与函数、三角、不等式的综合问题；数列与平面解析几何的综合问题．与数列有关的图表题、应用题体现了新课标的理念，也颇受命题者的青睐．
考点1 等差（比）数列基本问题
（1）等差（比）数列基本量计算
例1 公差不为零的等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn].若[a4]是[a3]与[a7]的等比中项, [S8=32],则[S10]= .
分析 本题考查了等比中项的定义，等差数列前[n]项和公式等基本概念．
解 由[a24=a3a7]得[(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)]即[2a1+3d=0.]再由[S8=8a1+562d=32]得[2a1+7d=8.]则[d=2,a1=-3],所以[S10=10a1+902d=60.]
点拨 在等差（比）数列中，已知五个元素[a1],[an],[Sn],[n],[d]([q])中的任意三个，便可求出其余的两个，即“知三求二”．求解时，要注意运用方程的思想及等差（比）数列的性质．
（2） 等差（比）数列性质的应用
例2 设等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，若[a2+a7+a12=24]，求[S13].
分析 本题考查了等差数列中部分和定理在解题过程中的灵活运用问题．
解 [∵{an}]是等差数列,由题意知[a2+a12=][a1+a13][=2a7]，
又[a2+a7+a12=24]，[∴][a7=8].
则[S13=13a1+a132=13×8=104.]
点拨 等差（比）数列有很多很好的性质，属高考必考内容，若能熟练掌握并灵活运用，在解题时会起到事半功倍的效果.
（3） 等差（比）数列的判断
例3 已知数列[an]中满足[a1=a,][an+1=4n+6an+4n+102n+1n∈N∗]，判断数列[an+22n+1]是否为等比数列，若是，求出[an]．
分析 本题侧重考查用定义法判断某个数列是不是等差（比）数列．
解 由题意已知[an+1+22n+3=2an+22n+1]，
[a1+22+1=a+23.]
若[a=-2]，即首项为零，此时数列[an+22n+1]不是等比数列．
若[a≠-2]，即首项不为零，此时数列[an+22n+1]是等比数列，且[an+22n+1=a+23⋅2n-1]，
[an=a+232n+12n-1-2.]
点拨 判断某个数列是否为等差（比）数列，有两种常用方法：1定义法，2看任意相邻三项是否满足等差（比）中项.若判断某个数列不是等差（比）数列，只需说明前三项不满足即可．注：对等比数列需特别考虑首项不能为零．
考点2 递推数列求通项公式问题
例4 在数列[an]中，[a1=t-1]，其中[t>0]且[t≠1]，且满足关系式：[an+1(an+tn-1)=an(tn+1-1)][(n∈N*).]求数列[an]的通项公式．
分析 利用数列递推公式求通项，常用的思路有两种. 思路一：通过归纳、猜想、证明求[an]．思路二：利用转化与化归的思想对递推公式直接变形求[an]．
解 思路1（归纳、猜想、证明）：由递推式可得[a2=12(t2-1)]，[a3=13(t3-1)]，猜想[an=tn-1n.]下面用数字归纳法证明[an=tn-1n]即可.
思路2（化归）：由递推式可得[an+1an+an+1(tn-1)=an(tn+1-1),]两边同除以[anan+1]得到[1+tn-1an=tn+1-1an+1]，即数列[tn-1an]是首项为1，公差为1的等差数列，故[an=tn-1n.]
点拨 由递推公式求通项公式是考查的重点和难点，是解决后续问题的关键，复习时应重点关注递推数列的类型与求法，重点关注叠加、叠乘、迭代、转化等解題技巧的训练.已知[Sn]与[an]的关系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，关键是用[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]）来转化．
考点3 数列求和问题
例5 已知数列[an]满足：[a1+3a2+⋅⋅⋅+(2n-1)an=][(2n-3)⋅2n+1,]数列[bn]的前[n]项和[Sn=2n2+n-2,]求数列[an⋅bn]的前[n]项和[Wn].
分析 数列求和有很多基本的方法，究竟选取何种方法有通项来决定．因此本题需先求[an,bn]，再求[an⋅bn]，最后求[Wn].
解 当[n≥2]时，
[(2n-1)⋅an=(2n-3)⋅2n+1-(2n-5)⋅2n=2n(2n-1),]
[∴an=2n.]而[a1=-4,]得[an=2n(n≥2),a1=-4.]
又当[n≥2]时，[bn=Sn-Sn-1=4n-1.]
而[b1=1,]得[b1=1,bn=4n-1(n≥2).]
[∴Wn=-4+[22×7+23×11+⋅⋅⋅+2n(4n-1)],]
记[S=22×7+23×11+24×15+⋅⋅⋅+2n(4n-1)]①
[∴2S=23×7+24×11+⋅⋅⋅+2n(4n-5)+2n+1(4n-1)]②，
①－②得
[-S=28+4(23+24+⋅⋅⋅+2n)-2n+1(4n-1)]
[=28+32(2n-2-1)-2n+1(4n-1)=-4+2n+1(5-4n),]
[∴S=4+2n+1(4n-5),]故[Wn=2n+1(4n-5).]
点拨 数列求和的常见方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解转化法，若涉及正负相间的数列求和常需分奇偶讨论，公比是参数的等比数列求和也需对公比[q=1]和[q≠1]两种情况进行分类讨论．
考点4 数阵问题
例6 将数列[{an}]中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
[a1]
[a2] [a3]
[a4] [a5] [a6]
[a7] [a8] [a9] [a10]
…
记表中的第一列数[a1],[a2],[a4],[a7]…构成的数列为[{bn}],[b1=a1=1]. [Sn]为数列[{bn}]的前[n]项和，且满足[2bnbnSn-S2n]=1（[n]≥2）.
(Ⅰ)证明数列[{1Sn}]成等差数列，并求数列[{bn}]的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当[a81=-491]时，求上表中第[k(k≥3)]行所有项的和.
解 （Ⅰ）由已知，当[n≥2]时，[2bnbnSn-Sn2=1]， 所以[2(Sn-Sn-1)(Sn-Sn-1)Sn-Sn2=1]
[⇒2(Sn-Sn-1)-Sn-1Sn=1⇒1Sn-1Sn-1=12]．
[bn=1,n=1,-2n(n+1),n≥2.]
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为[q],且[q＞0].
因为[1+2+⋅⋅⋅+12=12×132=78,]所以表中第1行至第12行共含有数列[{an}]的前78项，
故[a82]在表中第13行第三列，
因此[a82=b13⋅q2=-491.]
又[b13=-213×14,]所以[q=2].
记表中第[k(k≥3)]行所有项的和为[S]，
则[S=bk(1-qk)1-q=2k(k+1)⋅(1-2k)1-2]
[=2k(k+1)(1-2k) （k≥3）.]
点拨 数阵问题信息量大，出题灵活，对考生的阅读理解能力、运算能力、解决问题的能力要求较高，而这正符合新课改的理念. 解题时读懂规律，把握试题的本质是关键．
【专题训练六】
1．“数列[an]为等比数列”是“数列[an⋅bn]为等比数列”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 设[Sn]是等差数列[an]的前[n]项和，若[a5a3=59,]则[S9S5]等于（ ）
A. 1 B. [-1] C. 2 D. [12]
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 数列[an]是等比数列的充要条件是[an+1=anq(n∈N*)]
B. 数列[a、b、c]是等比数列的充要条件是[b2=ac]且[abc≠0]
C. 等比数列[an]，当[q>1]时是递增数列
D. 任何两个实数都有等比中项
4. 在等比数列[an]中，[a1=2]，前[n]项和为[Sn]，若数列[an+1]也是等比数列，则[Sn]等于（ ）
A. [2n+1-2] B. [3n] C. [2n] D. [3n-1]
5. 设数列[an]是等差数列，且[a2=-6,a8=6]，[Sn]是数列[an]的前[n]项和，则（ ）
A. [S4 C. [S6 6. 已知数列[an]对任意的[p、q∈N*]满足[ap+q=ap+aq]，且[a2=-6]，那么[a10]等于
A．[-165] B．[-33] C．[-30] D．[-21]
7．定义：称[np1+p2+…+pn]为[n]个正数[p1,p2,…,pn]的“均倒数”，若数列[{an}]的前[n]项的“均倒数”为[12n-1]，则数列[{an}]的通项公式为 （ ）
A. [2n-1] B. [4n-1]
C. [4n-3] D. [4n-5]
8．已知数列[{an}]是非零等差数列，又[a1、a3、a9]组成一个等比数列的前三项，则[a1+a3+a9a2+a4+a10]的值是 .
9. 已知[{an}]为等差数列，[a1+a3+a5]=105，[a2+a4+a6]=99，以[Sn]表示[{an}]的前[n]项和，则使得[Sn]达到最大值的[n]是 .
10.已知数列[an]满足[a1=1]，[an=a1+12a2+13a3+⋯+1n-1an-1][n≥2,n∈N∗]，则[a2010=] .
11. 数列[an]的前[n]项和[Sn=100n-n2(n∈N*).]
（1）[an]是什么数列？
（2）设[bn=an]，求数列[bn]的前[n]项和．
12. 已知数列{各项均为正数的数列[an]，[a1=a,a2=b]，且对满足[m+n=p+q]的正整数[m、n、p、q]都有[am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).]
（1）当[a=12, b=45]时，求通项[an;]
（2）证明：对任意[a]，存在与[a]有关的常数[λ]，使得对于每个正整数[n]，都有[1λ≤an≤λ.]
【参考答案】
1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. C
8. 1或[1316] 9. 20 10. [1005]
11. （1）等比数列
（2）[Sn=100n-n2(n∈N*,1≤n≤50)5000-100n+n2(n∈N*,n≥51)]
12．（1）[an=3n-13n+1] （2）略
考点1 等差（比）数列基本问题
（1）等差（比）数列基本量计算
例1 公差不为零的等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn].若[a4]是[a3]与[a7]的等比中项, [S8=32],则[S10]= .
分析 本题考查了等比中项的定义，等差数列前[n]项和公式等基本概念．
解 由[a24=a3a7]得[(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)]即[2a1+3d=0.]再由[S8=8a1+562d=32]得[2a1+7d=8.]则[d=2,a1=-3],所以[S10=10a1+902d=60.]
点拨 在等差（比）数列中，已知五个元素[a1],[an],[Sn],[n],[d]([q])中的任意三个，便可求出其余的两个，即“知三求二”．求解时，要注意运用方程的思想及等差（比）数列的性质．
（2） 等差（比）数列性质的应用
例2 设等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，若[a2+a7+a12=24]，求[S13].
分析 本题考查了等差数列中部分和定理在解题过程中的灵活运用问题．
解 [∵{an}]是等差数列,由题意知[a2+a12=][a1+a13][=2a7]，
又[a2+a7+a12=24]，[∴][a7=8].
则[S13=13a1+a132=13×8=104.]
点拨 等差（比）数列有很多很好的性质，属高考必考内容，若能熟练掌握并灵活运用，在解题时会起到事半功倍的效果.
（3） 等差（比）数列的判断
例3 已知数列[an]中满足[a1=a,][an+1=4n+6an+4n+102n+1n∈N∗]，判断数列[an+22n+1]是否为等比数列，若是，求出[an]．
分析 本题侧重考查用定义法判断某个数列是不是等差（比）数列．
解 由题意已知[an+1+22n+3=2an+22n+1]，
[a1+22+1=a+23.]
若[a=-2]，即首项为零，此时数列[an+22n+1]不是等比数列．
若[a≠-2]，即首项不为零，此时数列[an+22n+1]是等比数列，且[an+22n+1=a+23⋅2n-1]，
[an=a+232n+12n-1-2.]
点拨 判断某个数列是否为等差（比）数列，有两种常用方法：1定义法，2看任意相邻三项是否满足等差（比）中项.若判断某个数列不是等差（比）数列，只需说明前三项不满足即可．注：对等比数列需特别考虑首项不能为零．
考点2 递推数列求通项公式问题
例4 在数列[an]中，[a1=t-1]，其中[t>0]且[t≠1]，且满足关系式：[an+1(an+tn-1)=an(tn+1-1)][(n∈N*).]求数列[an]的通项公式．
分析 利用数列递推公式求通项，常用的思路有两种. 思路一：通过归纳、猜想、证明求[an]．思路二：利用转化与化归的思想对递推公式直接变形求[an]．
解 思路1（归纳、猜想、证明）：由递推式可得[a2=12(t2-1)]，[a3=13(t3-1)]，猜想[an=tn-1n.]下面用数字归纳法证明[an=tn-1n]即可.
思路2（化归）：由递推式可得[an+1an+an+1(tn-1)=an(tn+1-1),]两边同除以[anan+1]得到[1+tn-1an=tn+1-1an+1]，即数列[tn-1an]是首项为1，公差为1的等差数列，故[an=tn-1n.]
点拨 由递推公式求通项公式是考查的重点和难点，是解决后续问题的关键，复习时应重点关注递推数列的类型与求法，重点关注叠加、叠乘、迭代、转化等解題技巧的训练.已知[Sn]与[an]的关系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，关键是用[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]）来转化．
考点3 数列求和问题
例5 已知数列[an]满足：[a1+3a2+⋅⋅⋅+(2n-1)an=][(2n-3)⋅2n+1,]数列[bn]的前[n]项和[Sn=2n2+n-2,]求数列[an⋅bn]的前[n]项和[Wn].
分析 数列求和有很多基本的方法，究竟选取何种方法有通项来决定．因此本题需先求[an,bn]，再求[an⋅bn]，最后求[Wn].
解 当[n≥2]时，
[(2n-1)⋅an=(2n-3)⋅2n+1-(2n-5)⋅2n=2n(2n-1),]
[∴an=2n.]而[a1=-4,]得[an=2n(n≥2),a1=-4.]
又当[n≥2]时，[bn=Sn-Sn-1=4n-1.]
而[b1=1,]得[b1=1,bn=4n-1(n≥2).]
[∴Wn=-4+[22×7+23×11+⋅⋅⋅+2n(4n-1)],]
记[S=22×7+23×11+24×15+⋅⋅⋅+2n(4n-1)]①
[∴2S=23×7+24×11+⋅⋅⋅+2n(4n-5)+2n+1(4n-1)]②，
①－②得
[-S=28+4(23+24+⋅⋅⋅+2n)-2n+1(4n-1)]
[=28+32(2n-2-1)-2n+1(4n-1)=-4+2n+1(5-4n),]
[∴S=4+2n+1(4n-5),]故[Wn=2n+1(4n-5).]
点拨 数列求和的常见方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解转化法，若涉及正负相间的数列求和常需分奇偶讨论，公比是参数的等比数列求和也需对公比[q=1]和[q≠1]两种情况进行分类讨论．
考点4 数阵问题
例6 将数列[{an}]中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
[a1]
[a2] [a3]
[a4] [a5] [a6]
[a7] [a8] [a9] [a10]
…
记表中的第一列数[a1],[a2],[a4],[a7]…构成的数列为[{bn}],[b1=a1=1]. [Sn]为数列[{bn}]的前[n]项和，且满足[2bnbnSn-S2n]=1（[n]≥2）.
(Ⅰ)证明数列[{1Sn}]成等差数列，并求数列[{bn}]的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当[a81=-491]时，求上表中第[k(k≥3)]行所有项的和.
解 （Ⅰ）由已知，当[n≥2]时，[2bnbnSn-Sn2=1]， 所以[2(Sn-Sn-1)(Sn-Sn-1)Sn-Sn2=1]
[⇒2(Sn-Sn-1)-Sn-1Sn=1⇒1Sn-1Sn-1=12]．
[bn=1,n=1,-2n(n+1),n≥2.]
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为[q],且[q＞0].
因为[1+2+⋅⋅⋅+12=12×132=78,]所以表中第1行至第12行共含有数列[{an}]的前78项，
故[a82]在表中第13行第三列，
因此[a82=b13⋅q2=-491.]
又[b13=-213×14,]所以[q=2].
记表中第[k(k≥3)]行所有项的和为[S]，
则[S=bk(1-qk)1-q=2k(k+1)⋅(1-2k)1-2]
[=2k(k+1)(1-2k) （k≥3）.]
点拨 数阵问题信息量大，出题灵活，对考生的阅读理解能力、运算能力、解决问题的能力要求较高，而这正符合新课改的理念. 解题时读懂规律，把握试题的本质是关键．
【专题训练六】
1．“数列[an]为等比数列”是“数列[an⋅bn]为等比数列”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 设[Sn]是等差数列[an]的前[n]项和，若[a5a3=59,]则[S9S5]等于（ ）
A. 1 B. [-1] C. 2 D. [12]
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 数列[an]是等比数列的充要条件是[an+1=anq(n∈N*)]
B. 数列[a、b、c]是等比数列的充要条件是[b2=ac]且[abc≠0]
C. 等比数列[an]，当[q>1]时是递增数列
D. 任何两个实数都有等比中项
4. 在等比数列[an]中，[a1=2]，前[n]项和为[Sn]，若数列[an+1]也是等比数列，则[Sn]等于（ ）
A. [2n+1-2] B. [3n] C. [2n] D. [3n-1]
5. 设数列[an]是等差数列，且[a2=-6,a8=6]，[Sn]是数列[an]的前[n]项和，则（ ）
A. [S4
A．[-165] B．[-33] C．[-30] D．[-21]
7．定义：称[np1+p2+…+pn]为[n]个正数[p1,p2,…,pn]的“均倒数”，若数列[{an}]的前[n]项的“均倒数”为[12n-1]，则数列[{an}]的通项公式为 （ ）
A. [2n-1] B. [4n-1]
C. [4n-3] D. [4n-5]
8．已知数列[{an}]是非零等差数列，又[a1、a3、a9]组成一个等比数列的前三项，则[a1+a3+a9a2+a4+a10]的值是 .
9. 已知[{an}]为等差数列，[a1+a3+a5]=105，[a2+a4+a6]=99，以[Sn]表示[{an}]的前[n]项和，则使得[Sn]达到最大值的[n]是 .
10.已知数列[an]满足[a1=1]，[an=a1+12a2+13a3+⋯+1n-1an-1][n≥2,n∈N∗]，则[a2010=] .
11. 数列[an]的前[n]项和[Sn=100n-n2(n∈N*).]
（1）[an]是什么数列？
（2）设[bn=an]，求数列[bn]的前[n]项和．
12. 已知数列{各项均为正数的数列[an]，[a1=a,a2=b]，且对满足[m+n=p+q]的正整数[m、n、p、q]都有[am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).]
（1）当[a=12, b=45]时，求通项[an;]
（2）证明：对任意[a]，存在与[a]有关的常数[λ]，使得对于每个正整数[n]，都有[1λ≤an≤λ.]
【参考答案】
1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. C
8. 1或[1316] 9. 20 10. [1005]
11. （1）等比数列
（2）[Sn=100n-n2(n∈N*,1≤n≤50)5000-100n+n2(n∈N*,n≥51)]
12．（1）[an=3n-13n+1] （2）略