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[摘 要] 要成为一名优秀的高中数学教师，仅仅研究教科书的内容是远远不够的，教师要对自己的课堂教学进行不断地反思. 通过反思，一线教师的自身数学素养和课堂教学能力才能达到一定的水准，并会对自己后继的课堂教学产生有效的影响. 本文结合高中数学反思性教学实践，探讨了如何开展课前、课中和课后反思，提高数学课堂教学效率，促进教师专业成长的问题.
[关键词] 教师成长；反思性教学；途径策略
作为数学教师，我们不能只满足于每天上完备好的课，改完学生交的作业就可以了，应该还要有一个重要的环节就是每天在完成课堂教学任务后反思自己的教学过程，记录每一个知识点落实过程中的亮点和缺失，自己教学过程中的短板，并不断地创新，不断地完善自己，不断地提高自己的教育理论与教学业务水平.
反思是提高教师教学能力，促进教师专业发展的有效方法. 因此，数学教师进行反思性教学不但可以梳理和总结过去，更重要的是能帮助今后教学，能更好地提高数学课堂教学质量.
[?] 教师课前反思，有的放矢，增强教学设计的预见性
教师首先应该反思学情，以学定教，让教学富有针对性. 笔者起初忽略了学生对教学的重要性，埋头于书本和教参的研究，认为如果能渗透教材内容，上课生动，就能达到较好的效果，然而事实证明效果并不理想. 通过反思，笔者认识到教学的首要环节是掌握学生的基础和特点. 笔者所带两个班级学生也存在较大的差异，比如3班的学生理解能力稍好，但容易自我满足，学习很难深入. 学生看似认真，实际上却很少跟随笔者的节奏；8班数学课堂气氛活跃，学生参与度较高，但很多学生都是跟着同学“空叫”而不去思考，知识点没有真正掌握，个体上，为数不少的学生的基础达到令人心寒的地步，需要从初中的内容开始辅导.
在进入课堂之前进行必要的反思，能使教学成为一种自觉的实践，也能使教学在可预见性的前提下，向学生能够接受的方向发展. 教学实践也表明：经过课前反思后的教学设计更容易接近自己学生的实际，课堂效率更高.
例1：在人教版必修四第三章《两角差的余弦公式》的备课中，按照教参的思路是：首先在学生已有的经验的基础上创设情境，大家知道30°，45°，60°等是特殊角，那么15°=45°-30°是特殊角吗？你知道cos15°的值吗？联想乘法分配律a（b-c）=ab-ac，请同学们思考一下下列猜想是否正确：cos（45°-30°）=cos45°-cos30°，如何解决这类问题？然后按照教材，直接探索公式cos（α-β）. 上课前，再次审查教案时，总觉得按以上设计，没有充分地体现出公式的发现过程. 因此，又重新调整了设计思路：先利用特殊角去求cos15°，再去探索cos（α-β），因为高一学生的解题习惯还停留在拿到题就进行计算结果的阶段.
如图1，∠C=90°，∠BAC =15°，引导学生利用直角三角形模型，作∠CBD=60°，
[D][A][B][C]
令BC=1，则CD=，BD=AD=2，所以AC=2 ，則AB== .
所以cos15°===.
既然知道了cos15°≠cos45°-cos30°，那么与cos30°，cos45°，sin30°，sin45°这四个值有没有联系呢？事实上，cos15°=cos（45°-30°）== =× ×=cos30°·cos45° sin30°·sin45°.
类比猜想，一般地，有cos（α-β）=cosα·cosβ sinα·sinβ.
通过这样的教学节奏下来符合学生的认知规律和认知水平，整节课学生对两角差的余弦的学习充满了热情，知识落实得扎实，是一节高效的课堂.
[?] 教师课中反思，及时调控，提高课堂效率
教师在课堂教学过程中由于学生的认知水平有限，对于一些数学概念的理解程度可能与我们教师在备课时所预设的情形有偏差，这样课堂效率就会受影响. 这时教师必须在课中及时反思自己在教学过程中存在的问题并及时调整教学方案让课堂最终成为高效课堂.
1. 学生解题出现意料外的错误时的反思
例2：笔者在《平面向量数量积的物理背景及其含义》的这一节课堂教学中，面对的美术班学生普遍存在数学水平较低，接受能力弱. 上课环节是先由物理中“功”的实例为背景，自然地抽象出数学运算，正确地形成平面向量数量积的定义：a·b=
a
·
b
cosθ. 在学生正确掌握了向量的夹角后，觉得学生热热闹闹都跟着自己的节奏走，好像掌握得挺好，于是很自信地叫了两位成绩较靠后的同学进行板演，巩固运算，习题是：在边长为2的正三角形ABC中，求·，·的值. 结果学生求·的值时对夹角的确定出现了错误，下面的同学也有部分出错. 本来备课时设定例题结束后进行运算律的探究，笔者及时反思：从学生的反应来看这个基础知识点部分学生还没掌握，想想必须调整教学节奏以学生为主，灵机一动把正三角形ABC补充成菱形ABCD. 为了调节学生的学习气氛，提高学习热情，于是决定让学生进行分组编题计算比赛. 笔者有意识地保留了·，·，·等典型的计算结果，这时学生热情高涨，个个跃跃欲试，最终借助这个菱形让所有学生对平面向量数量积的运算得到了熟练的掌握，学生充满了成就感. 这时笔者再抛出问题：a·b的值什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？有了刚才各种向量运算的基础，学生很快得出了决定平面向量数量积正负的条件. 这一及时的反思调整虽然使得整节课进度慢了，但学生对这一知识点的深入理解、掌握，反而把这一节课上得特别有效果，学生的作业正确率很高.
2. 学生探究出现疑点时的反思
例3：在《直线与平面平行的判定定理》这一节课中，让学生通过直观感知发现判定定理是这一节课的重难点. 笔者在教学过程中按照教科书的设计让学生通过对翻动书本、旋转门等一些小实验的操作，让学生发现只要平面外一条直线与平面内一条直线平行就可以判定直线与平面平行. 在艺术生班上课时做了几次实验学生仍没能向自己预设的方向发展，这时笔者反思是直接把定理抛给学生让他们背熟定理后机械化地去运用，还是继续引导学生发现定理. 本着课堂是学生的，立体几何的教学要努力做到让学生学在情境中，思在情理中，悟在内心中的目的，于是笔者马上调整教学设计. 为了更形象地展示直线与平面的平行模型，笔者特意叫了班上一位男生作为直线（因为比较紧张，这位学生站得很笔直），并让学生以班级教室的四面墙壁为平面，讨论这位站着的男生与教室各个面的直观感觉（与前后左右四面墙都平行）. 这时笔者问学生这位男生与四面墙里的各条线的位置关系如何. 学生积极地进行观察、讨论，课堂气氛顿时变得活跃，学生参与度马上增加了，得出平行、垂直的都有. 这时这位男生有点不好意思了，人站着倾斜了，笔者马上找住机会问全班学生这时的他与四面墙的位置关系如何. 学生发现只跟两个面平行了. 笔者再继续追问：为什么他就不与左右两个面平行了呢？学生在一两个好生的带领下得出因为他不与左右墙中的线平行了. 有了这个活的模型，学生就有了找寻定理的方向——只要跟平面里的直线平行就行. 这时笔者调动学生积极地探究到底需要与平面内的几条直线平行，于是让全班学生重新体会翻书、转门的实验，学生顺理成章地发现了直线与平面平行的判定定理. 这是“让数学走进生活，让生活诠释数学”的一个典型例子. 教师在课中及时反思，适时地调整教学内容和方法，顺应学生的发展需要，采用生活中鲜活的事例去解释数学问题，让学生体会生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的道理.
[?] 教师课后反思，记录总结，变过程总结为教学提升
（1）教师勤于课后反思，有利于及时总结课堂教学的得失，有利于后续教学的及时调整，从而在原有基础上有效地提高课堂教学水平，进而把具体的教学实践及其经验教训，升华为个人教学的理论成果，不断促成自身的成长.
例4：（双曲线的复习课）一次教研会，上课前教师事先发下了一张复习提纲，其中有4个填空题、6个解答题，学生做练习时间为25分钟左右，教师讲评时间为20分钟左右. 学生1～4题做好后，教师马上点评，打出幻灯片梳理双曲线的基础知识点；学生做到第5、6题时，教师讲解第6题，突出对双曲线几何性质的运用；教师讲第8题，重在分析双曲线在实际中的应用；第9、10题留作课外思考.
这样一节课，容量很大，基本完成了初定的目标，课后仔细想想，其实存在的问题也不少. 第一，学生成了解题的机器. 在解题过程中产生的思想方法及独特的思维，不经意间被教师的讲解掩盖了，没有得到交流，这违背了“练”的初衷. 第二，教学缺乏主线. 忽略了学生是主体，他们应该要知道为什么要做这些问题，通过解决这些问题，要达到什么目的等，是要通过合理的教学活动得到概括，以形成知识主线，在知和行的交互活动中负起协调，促进学生思维互动、资源共享.
（2）教师的课后反思不但要反思自己的课堂教学手段，还需要认真反思学生的学习过程. 为了促进每位学生的发展，教师在反思自身教学行为的同时，应该认真观察并思考学生的学习过程，及时地检查并审视学生在学习过程中的困惑与收获，形成的能力与掌握的方法等. 通过这样的反思，教师及时调整教学行为，真正实现“以生定教，以学定教”.
例如，许多学生满足于做题后的“任务完成”感，很少进行解题方法的总结与反思. 教师应该“重锤敲打”，引导学生开展多方位思考，寻找新的“更优”“更快”的解题方法与技巧，从而预防定式思维，提高问题解决能力. 在引领学生探寻“一题多解”和“多题一解”的过程中，不仅可以训练学生的发散性思维，也可让一些学生展示自己独特的解题方法，从而提高部分学生探究数学的积极性.
例5：已知二次函数f（x）=x2 ax b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，则4a b的取值范围是__________.
解法1：利用二次函数解析式的两根式求解.
设y=f（x）的两个零点分别是α，β，则f（x）=（x-α）（x-β），且α，β∈（0，1）.
又因为f（4）=4a b 16，所以4a b=f（4）-16.
又f（4）=（4-α）（4-β），α∈（0，1），所以-α∈（-1，0），所以4-α∈（3，4），所以（4-α）（4-β）∈（9，16）.
所以4a b∈（-7，0）.
解法2：利用线性规划求解.
Δ>0，
f（0）>0，
f（1）>0，
0<-<1，得到a2-4b>0，
b>0，
a b>-1，
-2 解法3：利用不等式性质求解. 设函数的两个零点是x1，x2，则x
ax1 b=0，
x
ax2 b=0， 得到a=-（x1 x2），
b=x1x2.又因为x1，x2∈（0，1），得0 以上所涉及的方法都是学生应掌握的. 复习课中教师借助一个典型例题，引导学生进行知识点和解题方法等全方位的反思，能激发学生解题的积极性和主动性. 学生通过反思可以对所学的数学知识、方法、思路、策略等进行回顾或重复，有利于培养学生的元认知.
通过几年的教学反思，笔者在以下几方面得到了极大的提高：①教学理论水平得到提高. 由于反思翻阅了很多数学杂志，关注了一些专家的教学理论，并不断吸取新东西. ②教学的艺术性得到改善. 由于反思平时在教研中认真学习他人的教学方法，从而丰富了自身的课堂教学理念. ③优化了课堂教学方式，可以和学生进行深度的交流. ④任教班级的学生数学成绩不断提高. 由于自己在反思教学中训练了学生的反思能力，所以学生学习数学的主动性强了，数学水平自然得以提高. ⑤当教师的幸福感增加了. 由于反思教学收获了一些成功，自己得以肯定，也更加有动力去学习更好的东西以服务教学. 因此，我们数学教师应该关注反思性教学，让反思成为自己教学工作中一个必备的环节，这样不断地挑战自我，在学习中不断地更新，在反思中不断地前进和发展.
参考文献：
[1] 李鹏. 从数学教学反思到反思性数学教学[J].教育学术月刊，2012，（10）：102—104.
[2] 朱妍. 反思性教学在高三数学教学中的实践研究[J].时代教育，2015，（16）：207—207.
[3] 姚杨. 反思课堂教学，提高数学素养——高中数学课堂教学反思探析[J].内蒙古教育，2016，（04）：72—73.
[关键词] 教师成长；反思性教学；途径策略
作为数学教师，我们不能只满足于每天上完备好的课，改完学生交的作业就可以了，应该还要有一个重要的环节就是每天在完成课堂教学任务后反思自己的教学过程，记录每一个知识点落实过程中的亮点和缺失，自己教学过程中的短板，并不断地创新，不断地完善自己，不断地提高自己的教育理论与教学业务水平.
反思是提高教师教学能力，促进教师专业发展的有效方法. 因此，数学教师进行反思性教学不但可以梳理和总结过去，更重要的是能帮助今后教学，能更好地提高数学课堂教学质量.
[?] 教师课前反思，有的放矢，增强教学设计的预见性
教师首先应该反思学情，以学定教，让教学富有针对性. 笔者起初忽略了学生对教学的重要性，埋头于书本和教参的研究，认为如果能渗透教材内容，上课生动，就能达到较好的效果，然而事实证明效果并不理想. 通过反思，笔者认识到教学的首要环节是掌握学生的基础和特点. 笔者所带两个班级学生也存在较大的差异，比如3班的学生理解能力稍好，但容易自我满足，学习很难深入. 学生看似认真，实际上却很少跟随笔者的节奏；8班数学课堂气氛活跃，学生参与度较高，但很多学生都是跟着同学“空叫”而不去思考，知识点没有真正掌握，个体上，为数不少的学生的基础达到令人心寒的地步，需要从初中的内容开始辅导.
在进入课堂之前进行必要的反思，能使教学成为一种自觉的实践，也能使教学在可预见性的前提下，向学生能够接受的方向发展. 教学实践也表明：经过课前反思后的教学设计更容易接近自己学生的实际，课堂效率更高.
例1：在人教版必修四第三章《两角差的余弦公式》的备课中，按照教参的思路是：首先在学生已有的经验的基础上创设情境，大家知道30°，45°，60°等是特殊角，那么15°=45°-30°是特殊角吗？你知道cos15°的值吗？联想乘法分配律a（b-c）=ab-ac，请同学们思考一下下列猜想是否正确：cos（45°-30°）=cos45°-cos30°，如何解决这类问题？然后按照教材，直接探索公式cos（α-β）. 上课前，再次审查教案时，总觉得按以上设计，没有充分地体现出公式的发现过程. 因此，又重新调整了设计思路：先利用特殊角去求cos15°，再去探索cos（α-β），因为高一学生的解题习惯还停留在拿到题就进行计算结果的阶段.
如图1，∠C=90°，∠BAC =15°，引导学生利用直角三角形模型，作∠CBD=60°，
[D][A][B][C]
令BC=1，则CD=，BD=AD=2，所以AC=2 ，則AB== .
所以cos15°===.
既然知道了cos15°≠cos45°-cos30°，那么与cos30°，cos45°，sin30°，sin45°这四个值有没有联系呢？事实上，cos15°=cos（45°-30°）== =× ×=cos30°·cos45° sin30°·sin45°.
类比猜想，一般地，有cos（α-β）=cosα·cosβ sinα·sinβ.
通过这样的教学节奏下来符合学生的认知规律和认知水平，整节课学生对两角差的余弦的学习充满了热情，知识落实得扎实，是一节高效的课堂.
[?] 教师课中反思，及时调控，提高课堂效率
教师在课堂教学过程中由于学生的认知水平有限，对于一些数学概念的理解程度可能与我们教师在备课时所预设的情形有偏差，这样课堂效率就会受影响. 这时教师必须在课中及时反思自己在教学过程中存在的问题并及时调整教学方案让课堂最终成为高效课堂.
1. 学生解题出现意料外的错误时的反思
例2：笔者在《平面向量数量积的物理背景及其含义》的这一节课堂教学中，面对的美术班学生普遍存在数学水平较低，接受能力弱. 上课环节是先由物理中“功”的实例为背景，自然地抽象出数学运算，正确地形成平面向量数量积的定义：a·b=
a
·
b
cosθ. 在学生正确掌握了向量的夹角后，觉得学生热热闹闹都跟着自己的节奏走，好像掌握得挺好，于是很自信地叫了两位成绩较靠后的同学进行板演，巩固运算，习题是：在边长为2的正三角形ABC中，求·，·的值. 结果学生求·的值时对夹角的确定出现了错误，下面的同学也有部分出错. 本来备课时设定例题结束后进行运算律的探究，笔者及时反思：从学生的反应来看这个基础知识点部分学生还没掌握，想想必须调整教学节奏以学生为主，灵机一动把正三角形ABC补充成菱形ABCD. 为了调节学生的学习气氛，提高学习热情，于是决定让学生进行分组编题计算比赛. 笔者有意识地保留了·，·，·等典型的计算结果，这时学生热情高涨，个个跃跃欲试，最终借助这个菱形让所有学生对平面向量数量积的运算得到了熟练的掌握，学生充满了成就感. 这时笔者再抛出问题：a·b的值什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？有了刚才各种向量运算的基础，学生很快得出了决定平面向量数量积正负的条件. 这一及时的反思调整虽然使得整节课进度慢了，但学生对这一知识点的深入理解、掌握，反而把这一节课上得特别有效果，学生的作业正确率很高.
2. 学生探究出现疑点时的反思
例3：在《直线与平面平行的判定定理》这一节课中，让学生通过直观感知发现判定定理是这一节课的重难点. 笔者在教学过程中按照教科书的设计让学生通过对翻动书本、旋转门等一些小实验的操作，让学生发现只要平面外一条直线与平面内一条直线平行就可以判定直线与平面平行. 在艺术生班上课时做了几次实验学生仍没能向自己预设的方向发展，这时笔者反思是直接把定理抛给学生让他们背熟定理后机械化地去运用，还是继续引导学生发现定理. 本着课堂是学生的，立体几何的教学要努力做到让学生学在情境中，思在情理中，悟在内心中的目的，于是笔者马上调整教学设计. 为了更形象地展示直线与平面的平行模型，笔者特意叫了班上一位男生作为直线（因为比较紧张，这位学生站得很笔直），并让学生以班级教室的四面墙壁为平面，讨论这位站着的男生与教室各个面的直观感觉（与前后左右四面墙都平行）. 这时笔者问学生这位男生与四面墙里的各条线的位置关系如何. 学生积极地进行观察、讨论，课堂气氛顿时变得活跃，学生参与度马上增加了，得出平行、垂直的都有. 这时这位男生有点不好意思了，人站着倾斜了，笔者马上找住机会问全班学生这时的他与四面墙的位置关系如何. 学生发现只跟两个面平行了. 笔者再继续追问：为什么他就不与左右两个面平行了呢？学生在一两个好生的带领下得出因为他不与左右墙中的线平行了. 有了这个活的模型，学生就有了找寻定理的方向——只要跟平面里的直线平行就行. 这时笔者调动学生积极地探究到底需要与平面内的几条直线平行，于是让全班学生重新体会翻书、转门的实验，学生顺理成章地发现了直线与平面平行的判定定理. 这是“让数学走进生活，让生活诠释数学”的一个典型例子. 教师在课中及时反思，适时地调整教学内容和方法，顺应学生的发展需要，采用生活中鲜活的事例去解释数学问题，让学生体会生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的道理.
[?] 教师课后反思，记录总结，变过程总结为教学提升
（1）教师勤于课后反思，有利于及时总结课堂教学的得失，有利于后续教学的及时调整，从而在原有基础上有效地提高课堂教学水平，进而把具体的教学实践及其经验教训，升华为个人教学的理论成果，不断促成自身的成长.
例4：（双曲线的复习课）一次教研会，上课前教师事先发下了一张复习提纲，其中有4个填空题、6个解答题，学生做练习时间为25分钟左右，教师讲评时间为20分钟左右. 学生1～4题做好后，教师马上点评，打出幻灯片梳理双曲线的基础知识点；学生做到第5、6题时，教师讲解第6题，突出对双曲线几何性质的运用；教师讲第8题，重在分析双曲线在实际中的应用；第9、10题留作课外思考.
这样一节课，容量很大，基本完成了初定的目标，课后仔细想想，其实存在的问题也不少. 第一，学生成了解题的机器. 在解题过程中产生的思想方法及独特的思维，不经意间被教师的讲解掩盖了，没有得到交流，这违背了“练”的初衷. 第二，教学缺乏主线. 忽略了学生是主体，他们应该要知道为什么要做这些问题，通过解决这些问题，要达到什么目的等，是要通过合理的教学活动得到概括，以形成知识主线，在知和行的交互活动中负起协调，促进学生思维互动、资源共享.
（2）教师的课后反思不但要反思自己的课堂教学手段，还需要认真反思学生的学习过程. 为了促进每位学生的发展，教师在反思自身教学行为的同时，应该认真观察并思考学生的学习过程，及时地检查并审视学生在学习过程中的困惑与收获，形成的能力与掌握的方法等. 通过这样的反思，教师及时调整教学行为，真正实现“以生定教，以学定教”.
例如，许多学生满足于做题后的“任务完成”感，很少进行解题方法的总结与反思. 教师应该“重锤敲打”，引导学生开展多方位思考，寻找新的“更优”“更快”的解题方法与技巧，从而预防定式思维，提高问题解决能力. 在引领学生探寻“一题多解”和“多题一解”的过程中，不仅可以训练学生的发散性思维，也可让一些学生展示自己独特的解题方法，从而提高部分学生探究数学的积极性.
例5：已知二次函数f（x）=x2 ax b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，则4a b的取值范围是__________.
解法1：利用二次函数解析式的两根式求解.
设y=f（x）的两个零点分别是α，β，则f（x）=（x-α）（x-β），且α，β∈（0，1）.
又因为f（4）=4a b 16，所以4a b=f（4）-16.
又f（4）=（4-α）（4-β），α∈（0，1），所以-α∈（-1，0），所以4-α∈（3，4），所以（4-α）（4-β）∈（9，16）.
所以4a b∈（-7，0）.
解法2：利用线性规划求解.
Δ>0，
f（0）>0，
f（1）>0，
0<-<1，得到a2-4b>0，
b>0，
a b>-1，
-2
ax1 b=0，
x
ax2 b=0， 得到a=-（x1 x2），
b=x1x2.又因为x1，x2∈（0，1），得0
通过几年的教学反思，笔者在以下几方面得到了极大的提高：①教学理论水平得到提高. 由于反思翻阅了很多数学杂志，关注了一些专家的教学理论，并不断吸取新东西. ②教学的艺术性得到改善. 由于反思平时在教研中认真学习他人的教学方法，从而丰富了自身的课堂教学理念. ③优化了课堂教学方式，可以和学生进行深度的交流. ④任教班级的学生数学成绩不断提高. 由于自己在反思教学中训练了学生的反思能力，所以学生学习数学的主动性强了，数学水平自然得以提高. ⑤当教师的幸福感增加了. 由于反思教学收获了一些成功，自己得以肯定，也更加有动力去学习更好的东西以服务教学. 因此，我们数学教师应该关注反思性教学，让反思成为自己教学工作中一个必备的环节，这样不断地挑战自我，在学习中不断地更新，在反思中不断地前进和发展.
参考文献：
[1] 李鹏. 从数学教学反思到反思性数学教学[J].教育学术月刊，2012，（10）：102—104.
[2] 朱妍. 反思性教学在高三数学教学中的实践研究[J].时代教育，2015，（16）：207—207.
[3] 姚杨. 反思课堂教学，提高数学素养——高中数学课堂教学反思探析[J].内蒙古教育，2016，（04）：72—73.