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摘 要：在初中数学教学中，往往出现这样一种情况，许多学生做习题只会机械模仿，缺少独立思考的能力，当题目的形式稍加变化，就束手无策。如果将变式训练的方法加入到数学教学里，以知识点的本质为基础，演变出形式不同的变式，引导学生通过不同的思路解决题目，将对学生思维积极性和变通性有很好的培养。本文就如何运用变式训练培养学生的数学能力、提高应变能力进行研究。
关键词：初中数学教学；变式训练；提高应变能力
一、 引言
所谓变式训练不是毫无根据的变化，而是抓住原命题的本质，不断变换原命题的条件、或结论、或图形等从而产生新的数学情境，引导学生从多个角度去寻找解决问题的答案。“变式训练”对于教师来说是在数学教学的一个重要环节，也是一条有效的教学途径。所以在初中的数学教学里，教师引入“變式训练”的方法，从不同的角度、不同的方位启发学生对数学问题展开讨论和思考，让学生更加有深度地理解数学奥秘，由“变”的表象中发现“不变”的内涵，再由“不变”的内涵里探索“变”的规律，可以大幅度提升学生的思维发散和创新能力。
二、 在介绍新的数学概念时，引入变式，启发学生积极观察、分析与归纳，从表象到内涵，培养学生正确全面的认知能力
从数学教学中学生的思维特征来看，学习数学概念，教师揭示它的本质和延伸知识，远远比只介绍数学概念的定义更被学生理解。在数学概念教授的过程里，可以利用变式向学生展示形成概念的各个过程，通过各种变式的多样性来调高学生学习的兴趣和激发学生的学习欲望，让学生自己“发掘”和“创新”，培养学生的观察、分析以及概括能力。同时，运用变式的方法，也可以达到引导学生积极参与观察、分析、归纳，从现象到本质，培养学生正确全面的认知能力的效果。
三、 在定理和公式的教学过程中，教师通过变式可以更加深刻地揭示定理和公式的内在联系，引导学生培养变通的思维能力
学生不能灵活、熟悉地应用数学定理和公式的根源在于其理解这些千丝万缕联系的不同形态内容的过程是机械的，缺乏变通；也就是学生缺乏多向变通性思维形式的结果。所以在高中数学定理和公式的教学中，教师应该把握住变式中的本质特征，将相关定理和公式之间的联系展示给学生，同时也揭示那些公式定理成立所需的条件，从而培养学生辩证分析能力。
四、 学生通过变式来解决几何图形的问题，提高学生的几何图形的想象能力和发散思维
变式非毫无根据的变化，而是指对数学命题合理地进行改装，即教师可以不断地对命题中的非本质特征进行更换，把问题中的条件或结论进行变换，转变提问的形式，或适配入实际生活的各种情景，但是对象中的本质因素稳定不变，从而引导学生掌握数学问题的本质特征，也便是我们俗语说的“换汤不换药”。而在数学里，变式可分为下面三类，依次解析如下：
（一） 多题一解，适当变式，培养学生殊途同归的思维能力。
数学对一个知识点的考察，有多种形式，但其题目的本质都是一样的。要培养学生的，就是透过题目看本质的解析能力。而在实际教学过程中，对于教师来讲，要善于归类总结同类型的题目，再给学生练习巩固。通过习题引导学生探索发现知识点的不同考察架构，总结出不同考察方式的不同解题途径，感悟他们之间深层次的联系。比如以下例题：如图1，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC上的高，AH与GF相交于K。现已知GF=18，BC=48，EF=10，求AK的长。
分析：这是一个“三角形内接四边形”的问题。通过GF∥BC，证明△AGF∽△ABC，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可以得到，设AK=x，然后代入AK/AH=GF/BC得到方程x/（x 10）=18/48，通过解方程求得AK=6。解决本题的关键是，利用比例式AK/AH=GF/BC列方程，而下面的一系列变式问题都是通过这一思路实现求解的。
例1 如图2，在△ABC中，BC=16cm，高AD=8cm，矩形EFGH的边EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，EF=6。求HE的长。
分析：通过GH∥BC，易证△AGH∽△ACB，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得AM/AD=GH/BC，设HE=xcm，然后代入得比例式方程（8-x）/8=6/16，解方程求得HE=5cm。
例2 如图2，在△ABC中，BC=18cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，EH∶EF=1∶3。求矩形EFGH的周长。
分析：由GH∥BC可以证得△AGH∽△ACB，然后利用“相似三角形对应高的比等于相似比”这一定理又可得AM/AD=GH/BC，设EH=xcm，那么EF=3xcm，然后代入方程AM/AD=GH/BC得（12-x）/12=3x/18，通过解方程可以求出EH=4，故HG=EF=12cm，于是求出矩形EFGH的周长为32cm。
例3 如图2，在三角形ABC里，边BC=a，高AD=h，EF在BC上，G、H分别在边AC、AB上，设HE=x，EF=y，求x与y之间的函数关系。
分析：由HG∥BC，可以证得△AHG∽△ABC，然后利用“相似三角形对应高的比等于相似比”的定理可得AM/AD=GH/BC，先证明HE=MD、GH=EF，然后得出长度关系AM=h-x，AD=h，GH=y，BC=a代入比例式，得到（h-x）/h=y/a，整理就可得y=a-ax/h。
（二） 一题多解，殊途同归，通过训练不同的解体思路，引导学生灵活地运用知识，培养思维性变通性。
一题多解的本质是通过不一样的论证方法，来反映条件和结论之间的联系。数学上一题多解，通常运用两种训练方法：一是根据常规解法发散，寻求不同的解题思路，二是落实条件和结论的本质联系，直接发散思维思考可以通过哪些不同的思路到达结论。两者的思考模式不一样，但是其最终目标都是在发散性思维的基础上“殊途同归”。 例如，现有三角形ABC，已知D、E在边BC上，并且线段AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
思路一：从△ABC和△ADE都是等腰三角形的思路出发，过三角形顶点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线，由“等腰三角形底边上的三线合一”这一项数学定理，得到垂足H是两个等腰三角形底边上的中点，证得BH=CH，DH=EH，从而得证两线段长相等。
思路二：用三角形全等证明线段相等的思路，本题可想办法证明△ABD≌△ACE，或者证△ABE≌△ACD，得两种证法，而证明这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以此题通过这一思路有六种证法。其基本原理都是“全等三角形的对应边相等”。
思路三：运用等腰三角形的轴对称性，并且用叠合法可证。
在初中数学上此类方面的问题数不胜数，特别是在几何证明一类的问题上，运用一题多解的变式训练方法大大有利于学生的理解和领悟。运用好一题多解的训练方法，不仅可以将各知识点的内涵和外延全面沟通，深化知识，还能有效培养学生的发散性思维。发散出多种解题思路之后多解归一，则有利于提炼解决问题的通用方法，从各种思路中择优而取，培养学生的聚合思维。
五、 结语
变式训练是初中数学的一项重头戏，数学分数占比重大，在中考会对初中生的成绩产生较大影响。初中数学中的变式训练的特点是变通性和多样性强，对于学生来讲，抽象的数学理解起来难度相对较大，但是如果通过各类变式训练激发学子的学习热情，使学生在学习中找到兴趣，充分掌握学习的技巧与方法，就可以有效提高初中数学的学习效率及学习效果，同时有利于初中数学老师的教学，更有利于提高学生在思考问题和学习习惯上的发散思维能力和联想联系能力，为学生在之后的高中、大学甚至是更深层次文化内容的学习打好一个坚实的基础。
参考文献：
[1]李世春.浅谈初中数学教学中的变式训练[J].科技创新导报，2015（16）：171-172.
[2]吴小瑶.浅析初中數学教学中的变式训练[J].理科考试研究：初中版，2015，22（18）：5-6.
[3]闫俊.浅析初中数学教学中的变式训练[J].读与写：上，下旬，2015，22（19）：5-6.
作者简介：
谢金芬，福建省龙岩市，龙岩市第七中学。
关键词：初中数学教学；变式训练；提高应变能力
一、 引言
所谓变式训练不是毫无根据的变化，而是抓住原命题的本质，不断变换原命题的条件、或结论、或图形等从而产生新的数学情境，引导学生从多个角度去寻找解决问题的答案。“变式训练”对于教师来说是在数学教学的一个重要环节，也是一条有效的教学途径。所以在初中的数学教学里，教师引入“變式训练”的方法，从不同的角度、不同的方位启发学生对数学问题展开讨论和思考，让学生更加有深度地理解数学奥秘，由“变”的表象中发现“不变”的内涵，再由“不变”的内涵里探索“变”的规律，可以大幅度提升学生的思维发散和创新能力。
二、 在介绍新的数学概念时，引入变式，启发学生积极观察、分析与归纳，从表象到内涵，培养学生正确全面的认知能力
从数学教学中学生的思维特征来看，学习数学概念，教师揭示它的本质和延伸知识，远远比只介绍数学概念的定义更被学生理解。在数学概念教授的过程里，可以利用变式向学生展示形成概念的各个过程，通过各种变式的多样性来调高学生学习的兴趣和激发学生的学习欲望，让学生自己“发掘”和“创新”，培养学生的观察、分析以及概括能力。同时，运用变式的方法，也可以达到引导学生积极参与观察、分析、归纳，从现象到本质，培养学生正确全面的认知能力的效果。
三、 在定理和公式的教学过程中，教师通过变式可以更加深刻地揭示定理和公式的内在联系，引导学生培养变通的思维能力
学生不能灵活、熟悉地应用数学定理和公式的根源在于其理解这些千丝万缕联系的不同形态内容的过程是机械的，缺乏变通；也就是学生缺乏多向变通性思维形式的结果。所以在高中数学定理和公式的教学中，教师应该把握住变式中的本质特征，将相关定理和公式之间的联系展示给学生，同时也揭示那些公式定理成立所需的条件，从而培养学生辩证分析能力。
四、 学生通过变式来解决几何图形的问题，提高学生的几何图形的想象能力和发散思维
变式非毫无根据的变化，而是指对数学命题合理地进行改装，即教师可以不断地对命题中的非本质特征进行更换，把问题中的条件或结论进行变换，转变提问的形式，或适配入实际生活的各种情景，但是对象中的本质因素稳定不变，从而引导学生掌握数学问题的本质特征，也便是我们俗语说的“换汤不换药”。而在数学里，变式可分为下面三类，依次解析如下：
（一） 多题一解，适当变式，培养学生殊途同归的思维能力。
数学对一个知识点的考察，有多种形式，但其题目的本质都是一样的。要培养学生的，就是透过题目看本质的解析能力。而在实际教学过程中，对于教师来讲，要善于归类总结同类型的题目，再给学生练习巩固。通过习题引导学生探索发现知识点的不同考察架构，总结出不同考察方式的不同解题途径，感悟他们之间深层次的联系。比如以下例题：如图1，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC上的高，AH与GF相交于K。现已知GF=18，BC=48，EF=10，求AK的长。
分析：这是一个“三角形内接四边形”的问题。通过GF∥BC，证明△AGF∽△ABC，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可以得到，设AK=x，然后代入AK/AH=GF/BC得到方程x/（x 10）=18/48，通过解方程求得AK=6。解决本题的关键是，利用比例式AK/AH=GF/BC列方程，而下面的一系列变式问题都是通过这一思路实现求解的。
例1 如图2，在△ABC中，BC=16cm，高AD=8cm，矩形EFGH的边EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，EF=6。求HE的长。
分析：通过GH∥BC，易证△AGH∽△ACB，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得AM/AD=GH/BC，设HE=xcm，然后代入得比例式方程（8-x）/8=6/16，解方程求得HE=5cm。
例2 如图2，在△ABC中，BC=18cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，EH∶EF=1∶3。求矩形EFGH的周长。
分析：由GH∥BC可以证得△AGH∽△ACB，然后利用“相似三角形对应高的比等于相似比”这一定理又可得AM/AD=GH/BC，设EH=xcm，那么EF=3xcm，然后代入方程AM/AD=GH/BC得（12-x）/12=3x/18，通过解方程可以求出EH=4，故HG=EF=12cm，于是求出矩形EFGH的周长为32cm。
例3 如图2，在三角形ABC里，边BC=a，高AD=h，EF在BC上，G、H分别在边AC、AB上，设HE=x，EF=y，求x与y之间的函数关系。
分析：由HG∥BC，可以证得△AHG∽△ABC，然后利用“相似三角形对应高的比等于相似比”的定理可得AM/AD=GH/BC，先证明HE=MD、GH=EF，然后得出长度关系AM=h-x，AD=h，GH=y，BC=a代入比例式，得到（h-x）/h=y/a，整理就可得y=a-ax/h。
（二） 一题多解，殊途同归，通过训练不同的解体思路，引导学生灵活地运用知识，培养思维性变通性。
一题多解的本质是通过不一样的论证方法，来反映条件和结论之间的联系。数学上一题多解，通常运用两种训练方法：一是根据常规解法发散，寻求不同的解题思路，二是落实条件和结论的本质联系，直接发散思维思考可以通过哪些不同的思路到达结论。两者的思考模式不一样，但是其最终目标都是在发散性思维的基础上“殊途同归”。 例如，现有三角形ABC，已知D、E在边BC上，并且线段AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
思路一：从△ABC和△ADE都是等腰三角形的思路出发，过三角形顶点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线，由“等腰三角形底边上的三线合一”这一项数学定理，得到垂足H是两个等腰三角形底边上的中点，证得BH=CH，DH=EH，从而得证两线段长相等。
思路二：用三角形全等证明线段相等的思路，本题可想办法证明△ABD≌△ACE，或者证△ABE≌△ACD，得两种证法，而证明这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以此题通过这一思路有六种证法。其基本原理都是“全等三角形的对应边相等”。
思路三：运用等腰三角形的轴对称性，并且用叠合法可证。
在初中数学上此类方面的问题数不胜数，特别是在几何证明一类的问题上，运用一题多解的变式训练方法大大有利于学生的理解和领悟。运用好一题多解的训练方法，不仅可以将各知识点的内涵和外延全面沟通，深化知识，还能有效培养学生的发散性思维。发散出多种解题思路之后多解归一，则有利于提炼解决问题的通用方法，从各种思路中择优而取，培养学生的聚合思维。
五、 结语
变式训练是初中数学的一项重头戏，数学分数占比重大，在中考会对初中生的成绩产生较大影响。初中数学中的变式训练的特点是变通性和多样性强，对于学生来讲，抽象的数学理解起来难度相对较大，但是如果通过各类变式训练激发学子的学习热情，使学生在学习中找到兴趣，充分掌握学习的技巧与方法，就可以有效提高初中数学的学习效率及学习效果，同时有利于初中数学老师的教学，更有利于提高学生在思考问题和学习习惯上的发散思维能力和联想联系能力，为学生在之后的高中、大学甚至是更深层次文化内容的学习打好一个坚实的基础。
参考文献：
[1]李世春.浅谈初中数学教学中的变式训练[J].科技创新导报，2015（16）：171-172.
[2]吴小瑶.浅析初中數学教学中的变式训练[J].理科考试研究：初中版，2015，22（18）：5-6.
[3]闫俊.浅析初中数学教学中的变式训练[J].读与写：上，下旬，2015，22（19）：5-6.
作者简介：
谢金芬，福建省龙岩市，龙岩市第七中学。