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摘 要：数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式。如何在教学活动中发展学生的数学思维能力，特级教师丁杭缨的做法给人以启迪。
关键词：思维；教学；思考
中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）22-010-2
近日，浙江省杭州市长青小学的特級教师丁杭缨老师上了一节精彩的数学课《三角形三边的关系》，“为学生的思维发展而教”的思想贯穿全课，给听课老师留下了深刻的印象，现摘取其中的一个教学片段与大家共赏。
【教学片段】
媒体出示：在能拼成三角形的各组小棒右面括号里画“√”。（单位：厘米）
师：你能用算式来表示它们能否组成三角形吗？
生1：第一组3 4>5，所以，这三根小棒能拼成三角形。
生2：第二组3 3>3，所以，这三根小棒能拼成三角形。
生3：第三组2 2<6，所以，这三根小棒不能拼成三角形。
生4：第四组3 3>5，所以，这三根小棒能拼成三角形。
师：同学们真会判断，请大家继续观察，先看看第一组有什么特点？
生1：我发现这三个数都差一。
生2：我发现只要是三个相邻的自然数就一定能拼成三角形。
师：为什么呀？
生2：因为三个相邻的自然数相差很小，也就是三条边的长短差不多，就一定能拼成三角形。
师：这位同学凭直觉，发现了这个了不起的规律，你们同意吗？
生都点头同意。
生3：我不同意。
师：说说你的理由？
生3：如果是1 2﹦3就不行。
师：是吗？同学们，你们怎么没想到呢？我们应该谢谢他，那么除了1、2、3不行，其它三个相邻的自然数就一定能拼成三角形，你们同意吗？
生4：不同意。像0、1、2这三个自然数，0 1<2，就不行。
师：0表示什么？
生4：0表示没有。
师：既然0表示没有，那就表示只有2条边，能拼成三角形吗？
生一致表示不能拼成三角形。
师：那除了刚才的两组：1、2、3和0、1、2，其它三个相邻的自然数就一定能拼成三角形吗？
生一致表示同意。
师：你能举例说明吗？
生1：4 5>6，这三条边就能拼成三角形。
师：难道只有这些小的数？能来大点的数吗？
生2：1000 1001>1002，这三条边也能拼成三角形。
师：想象一下，用3、4、5这三条边拼成的三角形会是怎样一个三角形？
生1：像黑板上的第二类。
师：你的想象力真好，这个三角形有个特点，它有一个角是直角，所以它是个直角三角形。那第二组3、3、3这三条边拼成的三角形又会是怎样一个三角形呢？
生2：是个等边三角形。
师：是吗？（媒体演示：三边拼成一个等边三角形）由此你可以断定，只要三条边……
生2：只要三条边相等，拼成的就是等边三角形。
师：能举例吗？
生2：1000、1000、1000。
师：哦，你要拼一个大大的等边三角形。请大家再看第三组的三条边2、2、6，能改变一下数据，使它们能组成三角形吗？
生1：改为2、2、3，2 2>3。
生2：改为2、2、1，1 2>2。
生3：改为2、5、6，2 5>6。
师：你们的办法真多。那想象一下第四组3、3、5拼成的三角形又会是怎样的呢？
生1：拼成的三角形有2条边是相等的。
生2：拼成的三角形是等腰三角形。
师：你知道得真多，它确实叫做等腰三角形。（媒体演示：三边拼成一个等腰三角形）
师：同学们，如果我把第四组3、3、5中的5换成别的数据，使它还能拼成三角形，可以换成哪些呢？
生1：可以换成1、2、3、4。
师：你是怎么知道的？
生1：我想，三角形中两条短边之和大于第三边，底边作为短边，与3相加要大于3，底边最短是1；如果把3作为短边，底边作为长边的话，3 3必须大于底边，所以底边最长是5，由此我断定是1、2、3、4、5。
师：同学们，你们听明白他的意思了吗？掌声送给他！
学生鼓掌。
师：同学们想象一下，底边是1的三角形会是怎样一个三角形？
生1：是一个高高的、瘦瘦的等腰三角形。（媒体演示：三边3、3、1拼成一个等腰三角形）
师：底边是2的三角形又是怎样一个三角形呢？
生2：比刚才这个三角形要矮一点，胖一点。（媒体演示：三边3、3、2拼成一个等腰三角形）
师：底边是3的三角形又是怎样一个三角形呢？
生3：是个等边三角形。（媒体演示：三边3、3、3拼成一个等边三角形）
师：底边是4的三角形又会是怎样一个三角形呢？
生4：比刚才第二个三角形还要矮一点，胖一点。（媒体演示：三边3、3、4拼成一个等腰三角形）
师：如果我把第四组3、3、5中的3换成别的数据，使它还能拼成三角形，可以换成哪些呢？媒体出示题目。
生1：大于3，小于8。
师：大于3，小于8是什么意思？
生1：就是4、5、6、7。
师：如果换成4cm，想象一下，会是怎样一个三角形？
生2：会是一个直角三角形。（媒体演示：三边4、3、5拼成一个直角三角形） 师：如果换成5cm，又是怎样一个三角形？
生3：会是一个等腰三角形。（媒体演示：三边5、3、5拼成一个等腰三角形）
师：如果换成6cm，会是怎样一个三角形？你能比划一下吗？
生比划。（媒体演示：三边6、3、5拼成一个三角形）
师：继续想象，如果换成7cm，这个三角形与刚才的三角形又有什么不同？
生4：这个三角形会越来越高。（媒体演示：三边7、3、5拼成一个三角形）
师：除了同学们所说的越来越矮以外，你们还发现了什么？
生5：我发现了有两条边3cm和5cm没有变化，第三条边在变化，三角形的形状也在变化。
生6：我发现第三条变在逐渐变长，它所对的角也在逐渐变大。
师：你的发现真了不起，老师佩服你的观察力。
……
【我的思考】
数学课堂教学，其实就是学生、教师、文本之间的一种精神的沟通和心灵上的碰撞。数学教学就是要对学生的思维能力和思维品质进行训练和提升，并且在学生的思维发展过程中完成数学知识的建构。如何在数学教学中更好地训练学生的思维，丁老师给我们上了生动的一课。
1.在不断深入的活动中训练思维的深刻性
思维的深刻性指的是通过事物的表面现象认识事物的本质及事物间的本质联系的能力。思维深刻性是思维品质的基础。可以促进思维的准确性、概括性和预见性，主要表现为对数学现象、结论能不仅知其然，还知其所以然，能透过现象认识其本质。我们数学课要做的也就是和学生一起经历一个从事物现象到本质的认识过程。因此在不断深化的学习活动中定能助长学生对客观事物现象的深刻、敏锐的触角。丁老师一开始出示了“在能拼成三角形的各组小棒右面括号里画√”这样一个实际的经验情境，作为思维的开发阶段。在判断完之后，又让学生找找每一组数的特点，此刻的学生思维的闸门已经打开，学生的思维与自己原有的知识在交锋，与原有的思维在碰撞，学生通过自己思维的努力，突破了原有知识和思维的偏狭，实现了思维的跨越：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、胖的三角形、瘦的三角形、高高的三角形、矮矮的三角形等等全在学生的口中“顺势而出”，并随着教师的引导，学生的思维伴随着观察一步步走向深入，逐渐认识到事物现象后面的本质，并在这个过程中促使学生思维深刻性，对客观事物的敏锐性得到进一步的滋养。
2.在相互表达和倾听中提升思维的严密性
思维的严密性是在思考问题时能考虑到涉及问题的各个方面。思维是语言的内核，语言是思维的外壳，两者有着密切的联系。学生的表达往往反映了他的内在思维过程，对学生表达的指导，让学生对他人表达的“挑刺”其实就是一个思维的锻炼过程，一种科学思维方法的学习。在我们的数学教学中，教师若能关注学生的表达和倾听，抓住其中的缺陷，引领学生认识自身回答的不足，则对学生思维的严密性培养也能起到极为重要的作用。在这个教学片段中，当一个学生提出了：我发现只要是三个相邻的自然数就一定能拼成三角形时，丁老师并没有急于否定，而是在表扬了这位同学过后又向学生提出了这样一个问题：这位同学凭直觉，发现了这个了不起的规律，你们同意吗？学生通过讨论、修正、完善，最后明白了：除了1、2、3和0、1、2这两组不能拼成三角形外，其它三个相邻的自然数都能拼成三角形。在数学课的交流中，我们应该像丁老师那样关注学生的表达，培养学生的倾听习惯，并在表达和倾听中让学生思维严密性得到进一步的发展。
3.在解决具体问题的情境中锻炼思维的灵活性
思维的灵活性是创新思维的必要条件。思维的灵活性，表现在对具体问题的解决能从实际出发，随机应变，能根据问题的具体特点采取行之有效的解决方法，而不是墨守陈规。例如在本片段的教学中，丁老师要求学生把第四组3、3、5中的5换成别的数据，使它还能拼成三角形时，学生心扉自然敞开，处于完全自由的状态，思维活跃，闸门一下被打开：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；學生在这样的问题解决过程中，体验到了成功的乐趣，更重要的是在不知不觉中锻炼了学生思维的灵活性。
“冰冻三尺，非一日之寒”。提高学生的思维能力，是一个长期的过程。如果在数学课堂上我们能像丁老师那样带着“发展学生思维”的理念指导学生开展学习活动，相信我们的数学课会产生更大的效益，为孩子们的终身幸福奠下坚实的基础。
关键词：思维；教学；思考
中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）22-010-2
近日，浙江省杭州市长青小学的特級教师丁杭缨老师上了一节精彩的数学课《三角形三边的关系》，“为学生的思维发展而教”的思想贯穿全课，给听课老师留下了深刻的印象，现摘取其中的一个教学片段与大家共赏。
【教学片段】
媒体出示：在能拼成三角形的各组小棒右面括号里画“√”。（单位：厘米）
师：你能用算式来表示它们能否组成三角形吗？
生1：第一组3 4>5，所以，这三根小棒能拼成三角形。
生2：第二组3 3>3，所以，这三根小棒能拼成三角形。
生3：第三组2 2<6，所以，这三根小棒不能拼成三角形。
生4：第四组3 3>5，所以，这三根小棒能拼成三角形。
师：同学们真会判断，请大家继续观察，先看看第一组有什么特点？
生1：我发现这三个数都差一。
生2：我发现只要是三个相邻的自然数就一定能拼成三角形。
师：为什么呀？
生2：因为三个相邻的自然数相差很小，也就是三条边的长短差不多，就一定能拼成三角形。
师：这位同学凭直觉，发现了这个了不起的规律，你们同意吗？
生都点头同意。
生3：我不同意。
师：说说你的理由？
生3：如果是1 2﹦3就不行。
师：是吗？同学们，你们怎么没想到呢？我们应该谢谢他，那么除了1、2、3不行，其它三个相邻的自然数就一定能拼成三角形，你们同意吗？
生4：不同意。像0、1、2这三个自然数，0 1<2，就不行。
师：0表示什么？
生4：0表示没有。
师：既然0表示没有，那就表示只有2条边，能拼成三角形吗？
生一致表示不能拼成三角形。
师：那除了刚才的两组：1、2、3和0、1、2，其它三个相邻的自然数就一定能拼成三角形吗？
生一致表示同意。
师：你能举例说明吗？
生1：4 5>6，这三条边就能拼成三角形。
师：难道只有这些小的数？能来大点的数吗？
生2：1000 1001>1002，这三条边也能拼成三角形。
师：想象一下，用3、4、5这三条边拼成的三角形会是怎样一个三角形？
生1：像黑板上的第二类。
师：你的想象力真好，这个三角形有个特点，它有一个角是直角，所以它是个直角三角形。那第二组3、3、3这三条边拼成的三角形又会是怎样一个三角形呢？
生2：是个等边三角形。
师：是吗？（媒体演示：三边拼成一个等边三角形）由此你可以断定，只要三条边……
生2：只要三条边相等，拼成的就是等边三角形。
师：能举例吗？
生2：1000、1000、1000。
师：哦，你要拼一个大大的等边三角形。请大家再看第三组的三条边2、2、6，能改变一下数据，使它们能组成三角形吗？
生1：改为2、2、3，2 2>3。
生2：改为2、2、1，1 2>2。
生3：改为2、5、6，2 5>6。
师：你们的办法真多。那想象一下第四组3、3、5拼成的三角形又会是怎样的呢？
生1：拼成的三角形有2条边是相等的。
生2：拼成的三角形是等腰三角形。
师：你知道得真多，它确实叫做等腰三角形。（媒体演示：三边拼成一个等腰三角形）
师：同学们，如果我把第四组3、3、5中的5换成别的数据，使它还能拼成三角形，可以换成哪些呢？
生1：可以换成1、2、3、4。
师：你是怎么知道的？
生1：我想，三角形中两条短边之和大于第三边，底边作为短边，与3相加要大于3，底边最短是1；如果把3作为短边，底边作为长边的话，3 3必须大于底边，所以底边最长是5，由此我断定是1、2、3、4、5。
师：同学们，你们听明白他的意思了吗？掌声送给他！
学生鼓掌。
师：同学们想象一下，底边是1的三角形会是怎样一个三角形？
生1：是一个高高的、瘦瘦的等腰三角形。（媒体演示：三边3、3、1拼成一个等腰三角形）
师：底边是2的三角形又是怎样一个三角形呢？
生2：比刚才这个三角形要矮一点，胖一点。（媒体演示：三边3、3、2拼成一个等腰三角形）
师：底边是3的三角形又是怎样一个三角形呢？
生3：是个等边三角形。（媒体演示：三边3、3、3拼成一个等边三角形）
师：底边是4的三角形又会是怎样一个三角形呢？
生4：比刚才第二个三角形还要矮一点，胖一点。（媒体演示：三边3、3、4拼成一个等腰三角形）
师：如果我把第四组3、3、5中的3换成别的数据，使它还能拼成三角形，可以换成哪些呢？媒体出示题目。
生1：大于3，小于8。
师：大于3，小于8是什么意思？
生1：就是4、5、6、7。
师：如果换成4cm，想象一下，会是怎样一个三角形？
生2：会是一个直角三角形。（媒体演示：三边4、3、5拼成一个直角三角形） 师：如果换成5cm，又是怎样一个三角形？
生3：会是一个等腰三角形。（媒体演示：三边5、3、5拼成一个等腰三角形）
师：如果换成6cm，会是怎样一个三角形？你能比划一下吗？
生比划。（媒体演示：三边6、3、5拼成一个三角形）
师：继续想象，如果换成7cm，这个三角形与刚才的三角形又有什么不同？
生4：这个三角形会越来越高。（媒体演示：三边7、3、5拼成一个三角形）
师：除了同学们所说的越来越矮以外，你们还发现了什么？
生5：我发现了有两条边3cm和5cm没有变化，第三条边在变化，三角形的形状也在变化。
生6：我发现第三条变在逐渐变长，它所对的角也在逐渐变大。
师：你的发现真了不起，老师佩服你的观察力。
……
【我的思考】
数学课堂教学，其实就是学生、教师、文本之间的一种精神的沟通和心灵上的碰撞。数学教学就是要对学生的思维能力和思维品质进行训练和提升，并且在学生的思维发展过程中完成数学知识的建构。如何在数学教学中更好地训练学生的思维，丁老师给我们上了生动的一课。
1.在不断深入的活动中训练思维的深刻性
思维的深刻性指的是通过事物的表面现象认识事物的本质及事物间的本质联系的能力。思维深刻性是思维品质的基础。可以促进思维的准确性、概括性和预见性，主要表现为对数学现象、结论能不仅知其然，还知其所以然，能透过现象认识其本质。我们数学课要做的也就是和学生一起经历一个从事物现象到本质的认识过程。因此在不断深化的学习活动中定能助长学生对客观事物现象的深刻、敏锐的触角。丁老师一开始出示了“在能拼成三角形的各组小棒右面括号里画√”这样一个实际的经验情境，作为思维的开发阶段。在判断完之后，又让学生找找每一组数的特点，此刻的学生思维的闸门已经打开，学生的思维与自己原有的知识在交锋，与原有的思维在碰撞，学生通过自己思维的努力，突破了原有知识和思维的偏狭，实现了思维的跨越：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、胖的三角形、瘦的三角形、高高的三角形、矮矮的三角形等等全在学生的口中“顺势而出”，并随着教师的引导，学生的思维伴随着观察一步步走向深入，逐渐认识到事物现象后面的本质，并在这个过程中促使学生思维深刻性，对客观事物的敏锐性得到进一步的滋养。
2.在相互表达和倾听中提升思维的严密性
思维的严密性是在思考问题时能考虑到涉及问题的各个方面。思维是语言的内核，语言是思维的外壳，两者有着密切的联系。学生的表达往往反映了他的内在思维过程，对学生表达的指导，让学生对他人表达的“挑刺”其实就是一个思维的锻炼过程，一种科学思维方法的学习。在我们的数学教学中，教师若能关注学生的表达和倾听，抓住其中的缺陷，引领学生认识自身回答的不足，则对学生思维的严密性培养也能起到极为重要的作用。在这个教学片段中，当一个学生提出了：我发现只要是三个相邻的自然数就一定能拼成三角形时，丁老师并没有急于否定，而是在表扬了这位同学过后又向学生提出了这样一个问题：这位同学凭直觉，发现了这个了不起的规律，你们同意吗？学生通过讨论、修正、完善，最后明白了：除了1、2、3和0、1、2这两组不能拼成三角形外，其它三个相邻的自然数都能拼成三角形。在数学课的交流中，我们应该像丁老师那样关注学生的表达，培养学生的倾听习惯，并在表达和倾听中让学生思维严密性得到进一步的发展。
3.在解决具体问题的情境中锻炼思维的灵活性
思维的灵活性是创新思维的必要条件。思维的灵活性，表现在对具体问题的解决能从实际出发，随机应变，能根据问题的具体特点采取行之有效的解决方法，而不是墨守陈规。例如在本片段的教学中，丁老师要求学生把第四组3、3、5中的5换成别的数据，使它还能拼成三角形时，学生心扉自然敞开，处于完全自由的状态，思维活跃，闸门一下被打开：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；學生在这样的问题解决过程中，体验到了成功的乐趣，更重要的是在不知不觉中锻炼了学生思维的灵活性。
“冰冻三尺，非一日之寒”。提高学生的思维能力，是一个长期的过程。如果在数学课堂上我们能像丁老师那样带着“发展学生思维”的理念指导学生开展学习活动，相信我们的数学课会产生更大的效益，为孩子们的终身幸福奠下坚实的基础。