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图式是人脑中已有的知识经验的网络。认知发展理论中，图式是指一个有组织、可重复的行为模式或心理结构，是一种认知结构的单元。根据图式理论的观点，人脑中所贮存的知识都是由一个个单元组成的，这种单元就是图式。当面临一定的信息，激活相关的图式后，图式会为我们提供解释信息的背景知识。图式在知识的学习过程中具有准备、搜索、赋值、预测、推理和整合的作用。如果学生在数学学习的过程中建立了良好的图式，就能根据合适的表征问题，搜索其需要的信息，并对图式中的“空格”进行赋值，从而帮助我们解决问题。同样，图式也有整合和推理的作用，比如在乘法的图式中，从两位数乘一位数到两位数乘两位数，图式的内容逐渐丰富并逐步整合，学生根据已有的图式推测多位数乘法的法则，发挥图式的推理功能。那么，在数学教学过程中，如何有效地习得图式以满足数学学习的需求呢？本文结合案例谈一谈自己的看法。
一、 找准图式的生长点
已有的图式对于新知识的掌握十分重要。学生已经具备了哪些图式？这些图式的结构是怎样的？已有图式与新知识之间的关联点是什么？可能的冲突点在哪里？客观地分析这些内容，才能找准图式的生长点，满足数学学习的需求。
以“两位数乘两位数”的教学为例，学生在学习之前已经建立了两位数乘一位数以及两位数乘整十数计算的图式，遇到这样的问题时，会产生相应的图式，大脑进行运用即可输出答案。当学生遇到两位数乘两位数时，大脑中没有相关的图式，即产生了“不平衡”的状态，而且旧知识不可同化新知识，需要经历“顺应”的过程，建立新知识的图式。当图式建立完成，学生遇到两位数乘两位数的计算，大脑则会调用新的图式。
从以上分析可以看出，新图式与已有图式之间具有一定的联系，相关性越强，学生新图式的建立就越容易。虽然新图式与已有图式有联系，但是学生在遇到新刺激时，调用的是新图式，而不是旧图式，这也能解释教师的一个困惑：不就是把两位数乘一位数算两次吗，学生怎么还会错？举例来说，学生算21×7=147是对的，但是在21×71中，十位7×21就等于51（2×7=14，1 4=5）。两位数乘一位数是两位数乘两位数的下位图式，下位图式是上位图式的基础，是构成上位图式的必要条件，如果没有经历借助于下位图式产生新图式的过程，那么学生就不能学会两位数乘两位数的方法。
二、 找对图式的修改方式
新知识是对已有图式的修改和完善。这种修改和完善主要有两种形式。第一种形式是当图式对当前情境提供充足的解释时，图式的结构得到巩固。例如学生在学习三位数除以一位数后学习商中间有零的除法。第二种形式是对已有图式做出扩展、限制或修正，在某种程度上改变已有的图式，导致图式的发展或新图式的产生。要进行这种修改，需要学生首先意识到某一图式难以解释新的情境，而后学生才有可能对现有的图式做出修正。笔者所例举的正是第二种形式。学生已有的是三个变量的图式，如今增加了一个变量，从而使新的图式有更广的包容性。
1.激活图式，积累经验
美国认知心理学家古德曼认为，学习是构建内在心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆之中，而是以已知的知识经验为基础，通过与外界的相互作用来构建新的理解。现代心理学认为：人脑中的知识不可能独立地储存，总要通过与其他知识建立某种关系而储存。而且只有通过一定的网络系统储存的知识才能被有效地提取利用。这也是我们通常所采用的“复习铺垫”或是“情境创设”的心理背景。通过这样的活动，激活学生已有的图式，疏通相关的知识网络，为新图式的“同化”或是“顺应”做好准备。
情境：教师出示一箱10袋奶粉和2袋奶粉，妈妈准备买12袋奶粉送给长辈，营业员给了一箱又2袋，每袋奶粉28元，妈妈要付多少元？
列式：28×12，估一估大约是多少。
谈话：这个式子学过吗？用你能理解的方法找出答案。
学生中出现了如下几种方法：
（1）12个28连加。
（2）28×6×2
（3）28×2×6
（4）28×10 28×2
谈话：大家用已经会的方法解决了问题，如果每一道题都这么计算，你觉得怎样？（生：麻烦，要学竖式。）数学要追求简洁，我们一起来学习笔算。
图式理论认为，新知是在同化或是顺应中产生的。如何最大程度地激活与新知识相关的图式是新图式产生的重要基础。如果只是将一道式子28×12交给学生，学生激活的是两位数乘一位数的图式，只能算出56的结果。如果把抽象的算式置于10袋奶粉和2袋奶粉的情境图中，直观的图像刺激了学生的感官，学生激活乘法的意义（连加）、连乘、乘加混合。在情境的帮助下，学生充分利用已有和知识经验，探索不同的计算方法，激活了不同的图式，发展学生的数学思考能力。
2.缩减组块，构建图式
图式理论指出：知识的内在联系越紧密，结构化程度越高，识记和存贮效果越好。图式具有知识内在联系紧，结构化程度高的特点。图式中所包含的知识都是简约化的知识，是识记的支撑点。简约化知识点之间各种联系便成为识记的线索。图式是一种“组块”，当零散的知识点转化为结构严谨的图式时，可以缩简需要识记的单元数量，但并不减少所衰亡材料的范围。
出示竖式28×12。
师：在其中你能见到已学过的乘法吗？
学生找到一位数相乘、两位数乘一位数。
谈话：原来其中有我们学过的两位数乘一位数呀，先算28乘2，这一步求的是什么？怎么才能让我看清先算什么呢？
生：把十位的1挡起来，就不会搞混了。
师：下一步该算什么呢？
学生根据刚才的分步式及情境图，认为再算28乘1。师故意把积28末尾写在个位。
学生认为不对：现在该求10袋奶粉的价钱，就是10个28，应该是280，8写在十位，2写在百位。 谈话：看起来是1乘28，其实是10乘28，根据昨天的学习，可以先用1乘28，只不过要把积的末尾写在十位，后面的0可以不写，留下位置就行了。
师：怎么看清第二步算什么？
生：把个位2挡起来，用十位1乘28。
师：最后怎么办？
指名说，先算什么，再算什么。
生：“先把十位挡起来，用2乘28，再把个位挡起来，用1乘28，末尾写在十位。”
心理学家米勒认为人脑中短时记忆的信息容量为7±2个组块。儿童的信息容量则更少。当记忆数量超过短时记忆的容量，学生就会漏掉信息。我们可以将学生脑中的信息组成块，增加短时记忆的容量信息单元。教学中，教师采用先将十位挡起，两位数乘个位相组合;再将个位挡起，两位数乘十位相组合，帮助学生将复杂的信息清晰地组块。两次相乘与四次相乘相比，组块程度更高，缩减了记忆的负担，提高信息运用效率。
3.凸显变量，简化图式
图式化认知是指当头脑中某种图式一旦形成，一些细节就丧失了，而代之以结构化的抽象。图式具有概括性和抽象性，如果我们的认知一直处于具体的实例中，那么，抽象就无法完成，图式的结构也无法形成。
将两道乘法题进行比较，谈话：两位数乘两位数，计算时有什么相同的地方？
学生概括小结为：先用个位去乘两位数，积的末尾写在个位;再用十位去乘两位数，积的末尾写在十位。
练习环节：
12×44（46人错2人）13×72（46人错10人）
62×41（46人错18人）
课堂作业：
33×21
一、 找准图式的生长点
已有的图式对于新知识的掌握十分重要。学生已经具备了哪些图式？这些图式的结构是怎样的？已有图式与新知识之间的关联点是什么？可能的冲突点在哪里？客观地分析这些内容，才能找准图式的生长点，满足数学学习的需求。
以“两位数乘两位数”的教学为例，学生在学习之前已经建立了两位数乘一位数以及两位数乘整十数计算的图式，遇到这样的问题时，会产生相应的图式，大脑进行运用即可输出答案。当学生遇到两位数乘两位数时，大脑中没有相关的图式，即产生了“不平衡”的状态，而且旧知识不可同化新知识，需要经历“顺应”的过程，建立新知识的图式。当图式建立完成，学生遇到两位数乘两位数的计算，大脑则会调用新的图式。
从以上分析可以看出，新图式与已有图式之间具有一定的联系，相关性越强，学生新图式的建立就越容易。虽然新图式与已有图式有联系，但是学生在遇到新刺激时，调用的是新图式，而不是旧图式，这也能解释教师的一个困惑：不就是把两位数乘一位数算两次吗，学生怎么还会错？举例来说，学生算21×7=147是对的，但是在21×71中，十位7×21就等于51（2×7=14，1 4=5）。两位数乘一位数是两位数乘两位数的下位图式，下位图式是上位图式的基础，是构成上位图式的必要条件，如果没有经历借助于下位图式产生新图式的过程，那么学生就不能学会两位数乘两位数的方法。
二、 找对图式的修改方式
新知识是对已有图式的修改和完善。这种修改和完善主要有两种形式。第一种形式是当图式对当前情境提供充足的解释时，图式的结构得到巩固。例如学生在学习三位数除以一位数后学习商中间有零的除法。第二种形式是对已有图式做出扩展、限制或修正，在某种程度上改变已有的图式，导致图式的发展或新图式的产生。要进行这种修改，需要学生首先意识到某一图式难以解释新的情境，而后学生才有可能对现有的图式做出修正。笔者所例举的正是第二种形式。学生已有的是三个变量的图式，如今增加了一个变量，从而使新的图式有更广的包容性。
1.激活图式，积累经验
美国认知心理学家古德曼认为，学习是构建内在心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆之中，而是以已知的知识经验为基础，通过与外界的相互作用来构建新的理解。现代心理学认为：人脑中的知识不可能独立地储存，总要通过与其他知识建立某种关系而储存。而且只有通过一定的网络系统储存的知识才能被有效地提取利用。这也是我们通常所采用的“复习铺垫”或是“情境创设”的心理背景。通过这样的活动，激活学生已有的图式，疏通相关的知识网络，为新图式的“同化”或是“顺应”做好准备。
情境：教师出示一箱10袋奶粉和2袋奶粉，妈妈准备买12袋奶粉送给长辈，营业员给了一箱又2袋，每袋奶粉28元，妈妈要付多少元？
列式：28×12，估一估大约是多少。
谈话：这个式子学过吗？用你能理解的方法找出答案。
学生中出现了如下几种方法：
（1）12个28连加。
（2）28×6×2
（3）28×2×6
（4）28×10 28×2
谈话：大家用已经会的方法解决了问题，如果每一道题都这么计算，你觉得怎样？（生：麻烦，要学竖式。）数学要追求简洁，我们一起来学习笔算。
图式理论认为，新知是在同化或是顺应中产生的。如何最大程度地激活与新知识相关的图式是新图式产生的重要基础。如果只是将一道式子28×12交给学生，学生激活的是两位数乘一位数的图式，只能算出56的结果。如果把抽象的算式置于10袋奶粉和2袋奶粉的情境图中，直观的图像刺激了学生的感官，学生激活乘法的意义（连加）、连乘、乘加混合。在情境的帮助下，学生充分利用已有和知识经验，探索不同的计算方法，激活了不同的图式，发展学生的数学思考能力。
2.缩减组块，构建图式
图式理论指出：知识的内在联系越紧密，结构化程度越高，识记和存贮效果越好。图式具有知识内在联系紧，结构化程度高的特点。图式中所包含的知识都是简约化的知识，是识记的支撑点。简约化知识点之间各种联系便成为识记的线索。图式是一种“组块”，当零散的知识点转化为结构严谨的图式时，可以缩简需要识记的单元数量，但并不减少所衰亡材料的范围。
出示竖式28×12。
师：在其中你能见到已学过的乘法吗？
学生找到一位数相乘、两位数乘一位数。
谈话：原来其中有我们学过的两位数乘一位数呀，先算28乘2，这一步求的是什么？怎么才能让我看清先算什么呢？
生：把十位的1挡起来，就不会搞混了。
师：下一步该算什么呢？
学生根据刚才的分步式及情境图，认为再算28乘1。师故意把积28末尾写在个位。
学生认为不对：现在该求10袋奶粉的价钱，就是10个28，应该是280，8写在十位，2写在百位。 谈话：看起来是1乘28，其实是10乘28，根据昨天的学习，可以先用1乘28，只不过要把积的末尾写在十位，后面的0可以不写，留下位置就行了。
师：怎么看清第二步算什么？
生：把个位2挡起来，用十位1乘28。
师：最后怎么办？
指名说，先算什么，再算什么。
生：“先把十位挡起来，用2乘28，再把个位挡起来，用1乘28，末尾写在十位。”
心理学家米勒认为人脑中短时记忆的信息容量为7±2个组块。儿童的信息容量则更少。当记忆数量超过短时记忆的容量，学生就会漏掉信息。我们可以将学生脑中的信息组成块，增加短时记忆的容量信息单元。教学中，教师采用先将十位挡起，两位数乘个位相组合;再将个位挡起，两位数乘十位相组合，帮助学生将复杂的信息清晰地组块。两次相乘与四次相乘相比，组块程度更高，缩减了记忆的负担，提高信息运用效率。
3.凸显变量，简化图式
图式化认知是指当头脑中某种图式一旦形成，一些细节就丧失了，而代之以结构化的抽象。图式具有概括性和抽象性，如果我们的认知一直处于具体的实例中，那么，抽象就无法完成，图式的结构也无法形成。
将两道乘法题进行比较，谈话：两位数乘两位数，计算时有什么相同的地方？
学生概括小结为：先用个位去乘两位数，积的末尾写在个位;再用十位去乘两位数，积的末尾写在十位。
练习环节：
12×44（46人错2人）13×72（46人错10人）
62×41（46人错18人）
课堂作业：
33×21