高中解析几何学，圆作为解析几何初步是学习圆锥曲线的基础与绝好铺垫，地位角色很重要，是高考题型的常客.而高中生接触到解析几何，感觉只要代数运算就可以把解析几何学好，其实不然，有些问题适当从几何性质的角度思考问题，会峰回路转，柳暗花明.换个角度看问题，会有不同的收获和感受.下面列举几个例题，让我们体会，几何性质的优美妙用.
　　图1
　　例1 （2014年宿迁一模）已知△ABC的三个顶点
　　A（-1，0），B（1，0），C（3，2）其外接圆为圆H，
　　（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
　　（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点
　　M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围.
　　分析：（1）略.（2）原答案用设点的代数解法，过程繁杂，学生不容易理解，如果从圆的几何图形性质考虑，转化圆心半径的方法，题目非常好懂简单.
　　解：
　　由条件求得：线段BH：y=-3x+3（0≤x≤1），
　　设P（a，-3a+3）（0≤a≤1），作直线PC交圆于S，T由题意PM=MN，MN≤ST.
　　PS≤PM
　　恒有PS≤ST，即PC-r≤2r， 化简有
　　PC≤3r.
　　问题转化为：当0≤a≤1时
　　（a-3）2+（-3a+3-2）2≤3r
　　恒成立.
　　解得r≥103，又圆与线段必相离，故
　　d>r，d=|3×3+2-3|
　　32+12=4105综上
　　103≤r≤
　　4105.
　　图2
　　例2 （全国卷改编）如图2，设向量
　　a，b，c，满足
　　|a|=|b|=2，
　　a·b=2，
　　〈a-c，b-c〉=120°， 则
　　|c|的最大值等于 .
　　分析：本题从目标向量
　　c下手，转化坐标，变量太多.而如果注重向量图形及夹角，立即发现出题者意图，考查向量夹角、向量减法、四点共圆.
　　解：a·b=
　　|a||b|cosθ=
　　4cosθ=2，解得
　　θ=60°，即
　　∠AOB=60°.又因为∠ACB=120°，故
　　OABC四点共圆，连接圆心，在
　　Rt△AOD中，有∠AOD=30°，OA=2，解得|c|
　　max=2R=OD=433.
　　图3
　　例3 （镇江调研改编）如图3，直线
　　x+2y+5/2=0与圆
　　x2+y2=1相交于A、B两点，O为原点，则
　　OA·OB=.
　　分析：如果直接从代数角度设点，显然比较繁，若能从形的角度立即能将问题转化到圆心到直线距离，及解三角形的问题.
　　解：，d=
　　|5/2|
　　12+22=12.在
　　Rt△OAD中，
　　OA=R=1，OD=d=1/2，解得
　　∠AOD=60°，即
　　∠AOB=120°.OA·OB
　　=|OA||OB|
　　cos∠AOB=cos120°=-1/2.
　　图4
　　例4 （全国卷改编）如图4，已知圆O的半径为R， PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么
　　PA·PB的最小值为 .
　　分析：从目标式向量数量积的运算思考，可以从坐标运算或定义运算出发，显然定义更方便，本题把切线长转化到圆心距离的问题，抓住圆心与切点连线垂直的几何性质，放到直角三角形中处理，在利用基本不等式即可.
　　解：PA·PB
　　=|PA|·|PB|
　　cos∠APB=PA2cos∠APB=（OP2-R2）（1-2sin2∠APO）=
　　（OP2-R2）（1-2（ROP）2）=OP2+2
　　R4OP2-3R2≥
　　2OP2·2R4OP2
　　-3R2=（22-3）R.
　　图5
　　例5 过直线4x-3y=0上的一点作圆（x-4）2+（y-2）2=1的两条切线
　　l1，l2，当直线l1，l2关于4x-3y=0对称时，它们之间的夹角为 .
　　分析：本题从代数运算角度显然很繁杂，通过画图，将其转化为圆心、切点、切线常见模型，不难发现直线上的此点与圆心连线和直线垂直.
　　解：
　　连结PC，如图5标记各角，由题意知： ∠BPO=∠DPO=
　　β，PA、PB是圆的切线，得∠BPC=∠APC=α，
　　因为2α+2β=π，故
　　α+β=π/2，即CP⊥OP，d=|4×4-3×2|
　　42+（-3）2=2，
　　求得α=π/6故两直线的夹角为π/3.
　　通过几道典型例题，我们不难发现，高中解析几何有关圆的问题，可以利用圆的几何性质优化解题，巧妙解决一些代数难算难处理的问题，主要原则将问题转化到圆心和半径，因为这是圆的两个最基本的要素，抓住这个原则，解题就会事半功倍，马到成功