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摘要方程思想是一种重要的数学思想,方程思想对解决实际数学问题,尤其是综合题型,非常有用。本文将从什么是方程思想,如何运用方程思想解题,学生利用方程进行问题解决的能力培养三个方面对方程思想进行探讨。运用方程思想解决实际问题是从现实生活到数学的一种提炼过程,其解题过程并不是一种简单的形式化的过程,抓住等量关系,将题目中的等量关系用含有未知数的式子表示出来,是方程思想的一种体现。
关键词方程思想 等量关系 问题解决
中图分类号:G633.6文献标识码:A
著名数学家R·柯朗60年前曾担心:“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,解题虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。”我国目前的数学教育就存在这样的现状,一些数学教师在授课过程中采取“知识点—典型题—解题方法”的教学模式,对一系列典型题抛给学生一套法则解题,然后实行题海战术,反复操练各类题型,使学生熟悉到“条件反射”的地步,严重束缚了学生思维发展,违背了教育最初的育人目的。有位数学教师曾经做过测试:对同样的数学教学内容,采取不同的指导思想,分别施教于两个平行班:A班采取讲题型和解题技巧为主的讲法;B班采取分析问题来龙去脉,探究解题策略及传授相应数学思想方法的讲法。课程结束后,A班测试成绩略高于B班测试成绩,两个月后又进行了一次测试,B班成绩人均高于A班7分!就教学过程而言,A班的讲授法重视题目的识别与记忆水平,是典型的机械教学;B班的讲授法则重视数学思想方法的传授。就学生自我发展而言,B班的讲授法更占优势,在数学问题解决上思路更加清晰,对学生自身认知结构构建及思维能力提高起到积极作用。由此可见,数学思想方法的学习和运用对学生学好数学的重要意义,本文则针对数学思想方法中较为重要的方程思想在中学数学解题中的应用进行探讨。
1 方程思想
所谓“方程思想”,就是从问题中的未知量入手,探求未知量和已知量之间的数量关系,通过适当设元建立相应个数的方程,解方程(组),最终达到解题目的的思维方式。由于方程是含有未知数的等式,因此,应用方程思想解决数学问题,要经过设未知数、列方程、解方程的过程。
2 如何运用方程思想解题
2.1 运用方程思想的解题步骤
G·波利亚在《怎样解题》中提出了“怎样解题表”的四个步骤:第一,弄清问题:你必须弄清问题;第二,拟定计划:找出已知数与未知数之间的联系,如果找不出直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划;第三,实现计划:实行你的计划;第四,回顾。验算所得到的解。
依据“怎样解题表”的观点,将运用方程思想解决数学问题大致归结为如下四个步骤:第一,在弄清楚问题的基础上,将问题转换为一个或几个未知量;第二,寻找未知量与已知量之间的关系式,即用两个不同的式子表示同一个量,得到一个或几个方程;第三,解方程或方程组;第四,将方程或方程组的解带入原问题中进行检验,最终得到问题的正解。
下面就具体的鸡兔同笼问题进行方程思想解题的具体说明:我国古代数学名著《孙子算经》中有一著名的“鸡兔同笼”问题:今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何?首先,这是一道简单的数学问题,根据问什么求什么的原则,我们设鸡有x只,兔有y只,我们将问题转换为求解未知量x,y的问题。然后,我们寻求x,y与题中已知条件的关系式,我们发现用x,y表示的鸡兔的头和35构成等量关系,用x,y表示鸡兔的足与94构成等量关系,于是,我们得到方程组,我们观察到恰好有两个未知数和两个关于未知数的方程,求解方程组,得到x=23,y=12,符合题目要求,于是最终得到鸡兔的个数分别为23和12。这就是一道具体的运用方程思想解决数学问题的实例。
2.2 运用方程思想需要注意的问题
2.2.1 如何设未知数
在解决一些数学问题时,未知数设定得当,问题解决的就简单;未知数设定不得当,问题解决的过程就会复杂,有时甚至无法解决问题。初学利用方程思想解数学问题时由于学生关于方程思想的认知结构刚刚构建,多数问题都是“求什么设什么”,但是,随着数学学习的深入,情况就发生转变,许多数学问题重在培养学生的思维能力,就不仅仅局限于此,因此要选择适当的对象设成未知数,力求解决问题的最简化。
例如:△ABC中,∠A=90€埃螧=60€埃敲凑飧鋈切蔚娜哂?:2:的关系。一般情况下,设一倍量为x比较简单。
2.2.2 寻求等量关系
用两个不同的等式表示同一个量,就得到一个方程,有多少个未知数就要列出多少个这样的方程。寻求等量关系的过程中,需要根据具体情况挖掘题目中隐含的条件,也就是挖掘题目中没有明确给出,隐藏在题目中的基本概念,基本性质,定理或生活实际等。
例如:一辆汽车以每小时70公里的速度从A城市开往B城市,随后用每小时60公里的速度返回。问它在整个行程中的平均速度是多少?
分析:平均速度=整个路程∕行驶时间。题目只给了来和回的速度,并没有明确给出求平均速度需要的整个路程数和行驶时间数,需要我们自己挖掘隐含条件。(下转第153页)(上接第114页)
2.2.3 构造方程解决问题
有些数学问题尤其是近些年出现的一些综合题型,其题目难度较大,运用方程思想解决问题可以简化难度,但运用这种方法并不是很直观的,对学生的思维能力有较高的要求,需要认清问题的本质,有丰富的联想能力。
例如:解方程组
分析:将方程组中的一个方程进行变形,用一个未知数表示另一个未知数,代入另一个方程,我们会发现这种循规蹈矩的解法计算繁琐。观察这两个方程的形式,转念一想,其形状貌似一元二次方程根与系数的关系,于是,解这个方程组时根据一元二次方程根与系数关系,把方程组中x,y看成一元二次方程z2-32z+231=0的两根。解这个方程得z1=21,z2=11。所以原方程组的解为。显然,运用方程思想达到了简化题目的目的。
2.2.4 回顾检验解的合理性
解方程解出的是方程的解,与原问题并不一定吻合,需要具体情况具体解决,检验根的最终正确性。
例如:一超市以每3根16元钱的价格购进一批签字笔,又从另外一处以每4根21元钱价格购进比前一批数量加倍的签字笔,如果以每3根k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,求k的值。
分析:可以设超市第一次购进x根签字笔,则第二次购进2x根签字笔。根据题意,列出方程:(x+2x)=(x·+2x·)(1+20%),整理得:xk=,根据实际情况由于x≠0,两边除以x,得k=19,于是问题解决。
3 学生利用方程进行问题解决的能力培养
3.1 培养学生具有运用方程思想解题的意识
看起来与代数毫无关系的一些问题,其实是需要运用代数方法,列出方程解决的,发展思维能力,学习解题技巧,挖掘题目中的隐含条件,构建运用方程思想解题的意识,在学习中不断积累这种解题技巧。
3.2 培养学生正确列出方程的能力
善于挖掘题目中的隐含条件,充分利用已知条件,列出正确的方程,是解题的关键,要求学生在做题过程中培养善于观察,独立思考的能力。
3.3 培养学生运用方程思想解决问题的能力
解析几何的轨迹计算问题,一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,方程,函数,不等式等内容,运用方程思想解题占着举足轻重的地位,应在做题的过程中培养方程思想的解题的能力。
3.4 加强发散、收敛思维训练,培养学生创新思维的能力
创新思维是运用方程思想解决数学问题创新能力的核心,没有思维的创新就没有解题的创新。培养学生的创造性思维应该加强学生发散思维的流畅性,变通性和独创性的训练。
运用方程思想解题的关键是利用公式,定理或已知条件中的已知结论构造方程或方程组。这种思想在代数、几何以及生活实际中有着广泛的应用。在国内各省市中考、高考题中经常出现。
参考文献
[1]G·波利亚.刘远图译.数学的发现(第2卷)[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1980:127～129.
[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002:34～39.
[3]文庆城.现代化学教学论[M].北京:科学出版社,2009:184～193.
[4]马复.中学数学思想方法初论[M].合肥:安徽教育出版社,1993:62～66.
[5]吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003:217～220.
[6]徐兆洋,李森.论中小学数学课程中的情景及其作用[J].课程.教材.教法,2010(2):62～66.
关键词方程思想 等量关系 问题解决
中图分类号:G633.6文献标识码:A
著名数学家R·柯朗60年前曾担心:“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,解题虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。”我国目前的数学教育就存在这样的现状,一些数学教师在授课过程中采取“知识点—典型题—解题方法”的教学模式,对一系列典型题抛给学生一套法则解题,然后实行题海战术,反复操练各类题型,使学生熟悉到“条件反射”的地步,严重束缚了学生思维发展,违背了教育最初的育人目的。有位数学教师曾经做过测试:对同样的数学教学内容,采取不同的指导思想,分别施教于两个平行班:A班采取讲题型和解题技巧为主的讲法;B班采取分析问题来龙去脉,探究解题策略及传授相应数学思想方法的讲法。课程结束后,A班测试成绩略高于B班测试成绩,两个月后又进行了一次测试,B班成绩人均高于A班7分!就教学过程而言,A班的讲授法重视题目的识别与记忆水平,是典型的机械教学;B班的讲授法则重视数学思想方法的传授。就学生自我发展而言,B班的讲授法更占优势,在数学问题解决上思路更加清晰,对学生自身认知结构构建及思维能力提高起到积极作用。由此可见,数学思想方法的学习和运用对学生学好数学的重要意义,本文则针对数学思想方法中较为重要的方程思想在中学数学解题中的应用进行探讨。
1 方程思想
所谓“方程思想”,就是从问题中的未知量入手,探求未知量和已知量之间的数量关系,通过适当设元建立相应个数的方程,解方程(组),最终达到解题目的的思维方式。由于方程是含有未知数的等式,因此,应用方程思想解决数学问题,要经过设未知数、列方程、解方程的过程。
2 如何运用方程思想解题
2.1 运用方程思想的解题步骤
G·波利亚在《怎样解题》中提出了“怎样解题表”的四个步骤:第一,弄清问题:你必须弄清问题;第二,拟定计划:找出已知数与未知数之间的联系,如果找不出直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划;第三,实现计划:实行你的计划;第四,回顾。验算所得到的解。
依据“怎样解题表”的观点,将运用方程思想解决数学问题大致归结为如下四个步骤:第一,在弄清楚问题的基础上,将问题转换为一个或几个未知量;第二,寻找未知量与已知量之间的关系式,即用两个不同的式子表示同一个量,得到一个或几个方程;第三,解方程或方程组;第四,将方程或方程组的解带入原问题中进行检验,最终得到问题的正解。
下面就具体的鸡兔同笼问题进行方程思想解题的具体说明:我国古代数学名著《孙子算经》中有一著名的“鸡兔同笼”问题:今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何?首先,这是一道简单的数学问题,根据问什么求什么的原则,我们设鸡有x只,兔有y只,我们将问题转换为求解未知量x,y的问题。然后,我们寻求x,y与题中已知条件的关系式,我们发现用x,y表示的鸡兔的头和35构成等量关系,用x,y表示鸡兔的足与94构成等量关系,于是,我们得到方程组,我们观察到恰好有两个未知数和两个关于未知数的方程,求解方程组,得到x=23,y=12,符合题目要求,于是最终得到鸡兔的个数分别为23和12。这就是一道具体的运用方程思想解决数学问题的实例。
2.2 运用方程思想需要注意的问题
2.2.1 如何设未知数
在解决一些数学问题时,未知数设定得当,问题解决的就简单;未知数设定不得当,问题解决的过程就会复杂,有时甚至无法解决问题。初学利用方程思想解数学问题时由于学生关于方程思想的认知结构刚刚构建,多数问题都是“求什么设什么”,但是,随着数学学习的深入,情况就发生转变,许多数学问题重在培养学生的思维能力,就不仅仅局限于此,因此要选择适当的对象设成未知数,力求解决问题的最简化。
例如:△ABC中,∠A=90€埃螧=60€埃敲凑飧鋈切蔚娜哂?:2:的关系。一般情况下,设一倍量为x比较简单。
2.2.2 寻求等量关系
用两个不同的等式表示同一个量,就得到一个方程,有多少个未知数就要列出多少个这样的方程。寻求等量关系的过程中,需要根据具体情况挖掘题目中隐含的条件,也就是挖掘题目中没有明确给出,隐藏在题目中的基本概念,基本性质,定理或生活实际等。
例如:一辆汽车以每小时70公里的速度从A城市开往B城市,随后用每小时60公里的速度返回。问它在整个行程中的平均速度是多少?
分析:平均速度=整个路程∕行驶时间。题目只给了来和回的速度,并没有明确给出求平均速度需要的整个路程数和行驶时间数,需要我们自己挖掘隐含条件。(下转第153页)(上接第114页)
2.2.3 构造方程解决问题
有些数学问题尤其是近些年出现的一些综合题型,其题目难度较大,运用方程思想解决问题可以简化难度,但运用这种方法并不是很直观的,对学生的思维能力有较高的要求,需要认清问题的本质,有丰富的联想能力。
例如:解方程组
分析:将方程组中的一个方程进行变形,用一个未知数表示另一个未知数,代入另一个方程,我们会发现这种循规蹈矩的解法计算繁琐。观察这两个方程的形式,转念一想,其形状貌似一元二次方程根与系数的关系,于是,解这个方程组时根据一元二次方程根与系数关系,把方程组中x,y看成一元二次方程z2-32z+231=0的两根。解这个方程得z1=21,z2=11。所以原方程组的解为。显然,运用方程思想达到了简化题目的目的。
2.2.4 回顾检验解的合理性
解方程解出的是方程的解,与原问题并不一定吻合,需要具体情况具体解决,检验根的最终正确性。
例如:一超市以每3根16元钱的价格购进一批签字笔,又从另外一处以每4根21元钱价格购进比前一批数量加倍的签字笔,如果以每3根k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,求k的值。
分析:可以设超市第一次购进x根签字笔,则第二次购进2x根签字笔。根据题意,列出方程:(x+2x)=(x·+2x·)(1+20%),整理得:xk=,根据实际情况由于x≠0,两边除以x,得k=19,于是问题解决。
3 学生利用方程进行问题解决的能力培养
3.1 培养学生具有运用方程思想解题的意识
看起来与代数毫无关系的一些问题,其实是需要运用代数方法,列出方程解决的,发展思维能力,学习解题技巧,挖掘题目中的隐含条件,构建运用方程思想解题的意识,在学习中不断积累这种解题技巧。
3.2 培养学生正确列出方程的能力
善于挖掘题目中的隐含条件,充分利用已知条件,列出正确的方程,是解题的关键,要求学生在做题过程中培养善于观察,独立思考的能力。
3.3 培养学生运用方程思想解决问题的能力
解析几何的轨迹计算问题,一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,方程,函数,不等式等内容,运用方程思想解题占着举足轻重的地位,应在做题的过程中培养方程思想的解题的能力。
3.4 加强发散、收敛思维训练,培养学生创新思维的能力
创新思维是运用方程思想解决数学问题创新能力的核心,没有思维的创新就没有解题的创新。培养学生的创造性思维应该加强学生发散思维的流畅性,变通性和独创性的训练。
运用方程思想解题的关键是利用公式,定理或已知条件中的已知结论构造方程或方程组。这种思想在代数、几何以及生活实际中有着广泛的应用。在国内各省市中考、高考题中经常出现。
参考文献
[1]G·波利亚.刘远图译.数学的发现(第2卷)[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1980:127～129.
[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002:34～39.
[3]文庆城.现代化学教学论[M].北京:科学出版社,2009:184～193.
[4]马复.中学数学思想方法初论[M].合肥:安徽教育出版社,1993:62～66.
[5]吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003:217～220.
[6]徐兆洋,李森.论中小学数学课程中的情景及其作用[J].课程.教材.教法,2010(2):62～66.