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【摘要】针对学生思维比较僵化问题，教师在教学过程如何打开学生思维，引导学生解题，本文从以下几方面提出建议，培养学生整体思想，逆向思维，敢于寻求变异，一题多解，数形结合，严密思维，通过以上途径引导学生解题，让学生学会思考，提高他们综合运用数学知识解决实际问题的能力。
【关键词】整体思想 逆向思维 寻求变异 数形结合
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）20-0117-02
在数学解题过程中，教师要注意培养学生应用知识的敏捷性和灵活性，啟迪和发展他们的思维能力，让他们具有比较宽广的解题思路，怎样才能做到这一点呢？我认為很重要的一点是在平时的教学过程中应该积极引导学生，本文从初中数学教学的角度谈谈如何引导这个问题。
一、要树立整体思想 不要囿于局部
面对一道题目，学生常常把相互联系的问题割裂开来孤立地去思考，而不会从整体上去审视把握寻找突破口，从而束手无策，或者误入歧途。
例1 如图，已知△ABC中，∠A=80°，D是BC的延长线上的一点，∠ABC和∠ACD的平分线BE、CE交于E，求∠E的度数。
学生容易想到∠E=∠ECD-∠EBC，但是接下去他们的注意力往往只是集中于分别求出∠ECD和∠EBC的度数，实际上这两个角的大小随着点A位置的不同而改变，并无确定的值，这时要启发学生把∠ECD-∠EBC作为一个整体对待，想到∠ACD=∠ABC+∠A时，即2∠ECD=2∠EBC+80°，从而∠ECD-∠EBC=40°，故∠E=40°
例2 如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（- ，0），判断a-b+c的正负。
学生自然地想到：由于抛物线的开口向下，所以a<0，因抛物线的顶点在第一象限，它的横坐标- >0，于是得到b>0，又由图像易知c>0，但是接下去无法判断a-b+c的正负，这时可提醒学生，不要把a-b+c割裂开来，而应从整体上去加以考虑，事实上当x=-1时，y=a-b+c，对应的点（-1，a-b+c）在第三象限，立即就可得到a-b+c<0.
二、要会逆向思维，不要只是顺向思考
学生习惯于从条件推出结论的思考方法，这种思维方式是常用的，且往往是有效的，但如果局限于这样的方法，不会逆向思维，那么有些问题或者不能得到解决，或者解题过程不简捷，同时，逆向使用某些公式或定理也是一种重要的解题思路，在学习过程中教师应用时帮助学生掌握。
例3 求证：不存在实数m，使方程8x2-（m-1）x+m-7=0的两实数根互为倒数。
分析：直接去证明很困难，可逆向加以考虑，如果存在实数m，使方程的两实数根互为倒数，m=？
由一元二次方程的根与系数的关系和已知条件知道 =1，解得m=15，但当m=15时△<0，方程没有实数根，因此不存在实数m，使方程的两实数根互为倒数，问题迎刃而解。
三、要敢于寻求变异，不要墨守成规
学生在解题时一般从已有的经验和习惯的方法入手，这是很自然的，但是不应该把这样的经验和方法作为一成不变的模式，在解题时要敢于突破常规，使解题思路和解题方法新颖而别致。
例4已知A= ，B= ，比较A、B的大小
对于这种问题，一般情况下，总考虑对分线或分子直接进行通分来比较A、B的大小，但是，对于此题，这样做，会很繁琐，分析它们的特征，发现分子上的两个数字仅仅是个位上不同，分母上的两个数字亦如此，于是打破常规采用换元法。设5678901234=x，6789012345=y则A= ，B= ，得，A-B= - = ，∵2x>y，y（y+2）>0，∴A>B
把分数的大小比较变换为分式的大小比较，乍看起来，这样做有悖常理，但正是这样做，使解题过程简单明了。
例5 一船逆水而上，船上某人有一件木质东西掉入水中，当船调转船头去追赶时，时间已过2分钟，再过多久，船才能追上所掉的东西？
这道题应是列方程解应用题问题，可以设x分钟后船追上所掉的东西，但列方程时却发现相等关系不容易找到，让学生在碰壁以后仔细想一想，造成困难的原因主要是缺少速度这个量，因此鼓励他们大胆引入辅助未知数。
设船在静水中的速度和水流的速度分别为v1米/分，v2米/分，如图所示，东西在A处掉入水中，船从A处航行到B处时再回头已航行了2（v1-v2）米，而此时掉入水中的木质东西已漂浮了2v2米到达C处，船从B处开始，在到D处追上所掉的东西，一共行了（v1+v2）x米，木质东西从C处到D处又漂浮了v2x米，于是有方程2（v1-v2）+2v2+v2x=（v1+v2）x
解得x=2
上述方程中出现了三个未知数v1，v2，x，但并不能解出v1，v2的值，它们所起的作用在于把复杂而隐蔽的数量关系清晰地表示了出来，如果不能突破常规，这道题就不容易入手。
四、要不断探索 不要满足于一得之功
学生在学习过程中不断积累经验，逐步形成了一定的解题 套路，能有效地解决熟悉的问题，教师应该明确指出，如果只会按照题型对号入座，满足于一得之功，那就限制了思路的开拓，教师要提倡一题多解，表扬不断探索的精神，可将各种解法加以对照，比较优劣，开阔视野，不断提高学生的思维能力。
例6已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为s1，两根平方和为s2，两根立方和为s3，求as3+bs2+cs1的值。
学生从题设条件容易想到利用一元二次方程的根与系数的关系来解决，这时侯教师提出是否有更简捷的方法，并和学生一起探讨。
解法1：设两根分别为x1，x2，则x1·x2= ，x1+x2=-
∴s1=- s2=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2= -
s3=x13+x23=（x1+x2）（x12-x1x2+x22）=- （ - - ）=- +
∴as3+bs2+cs1=a（- + ）+b（ - ）-c· =0
解法2：设两根分别为x1，x2，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，
于是as3+bs2+cs1=a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）
=ax13+bx12+cx1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=x1·0+x2·0=0
比较两种解法，显然是解法2利用根的定义来解决要简便得多。
五、要形数结合 不要形数分家
学生往往见到几何题就只想几何的方法，见到代数题就只想到代数的方法，有时冥思苦想了半天仍未找出答案，在平时教学中，教师应该适时地引導学生注意两者之间的结合，开拓他们的思路。
例7已知x+3+x-1=4，求x的取值范围
这道题当然可以采用去掉绝对值的符号的办法加以解决，但是从帮助学生确立数形结合的思想来说，运用绝对值的几何意义来解具有很大的启发作用，而且解法更简便。
解：设A，B，X分别是数轴上表示-3，1和x的点，则X与A，B两点的距离的和是4。
由图可见，当X在A，B两点之间的任一位置（包括端点A，B）时，线段AX的长与XB的长的和总是等于4，而在此范围之外则大于4，∴-3≤x ≤1。
例8 已知等腰三角形腰长为10，面积为48，求它的内切圆半径r。
解：如图，设△ABC中，AB=AC=10，BC=2x高AD=y，⊙o内切于△ABC的底边BC于D.由等腰三角形的对称性得BD=DC=x根据题意得方程组：
·2x·y=48 ·2x·r+2· ·10r=48x +y =10
解之，得r=3或r= ，它们都符合题意。
这道题利用三角形的面积和勾股定理列出方程组，过程明确，简洁。两个解的出现彌补了几何示意图的不足，出乎学生的意料之外，加深了他们对用代数方法解几何题的印象和认识。
六、要仔细审视 不要以偏概全
仔细审题，对题目中的条件和结论进行全面的，慎密的思考分析，是正确解答题目的前提，特别要注意题目中存在的隐含条件，在得到某种答案以后不要沾沾自喜，浅尝辄止，要考虑多种可能性，防止以偏概全，造成错解或漏解。
例8已知 ，？茁是一元二次方2x2+6x+1=0程的两根，求 + 的值。
错解： ∵ +？茁=-3， ？茁=
∴ + = + = =-3
实际上，由 +？茁=-3<0， ？茁= >0可知a<0，？茁<0。学生没有注意到这个隐含条件，再加上对算术平方根的概念理解不透彻，造成了错解。
正确的解法是： + = + =- =-3
从应试教育向素质教育转变，对中学数学教学提出了更高的要求，这就需要我们在教学工作中加强研究，充分发挥学生认知主体作用，注重对学生认知方法的培养，积极引导学生进行数学解题，让学生学会思考，提高他们综合运用数学知识解决实际问题的能力，最终达到提高素质的目的。
参考文献：
[1]单墫.解题研究[M].南京师范大学出版社，2002
[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2001
[3]南秀全.新黄冈数学题库[M].青岛出版社，2008年
作者简介：
叶振洪（1968-），男，广东广州人，本科，数学中学一级，研究方向：初中数学教学。
【关键词】整体思想 逆向思维 寻求变异 数形结合
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）20-0117-02
在数学解题过程中，教师要注意培养学生应用知识的敏捷性和灵活性，啟迪和发展他们的思维能力，让他们具有比较宽广的解题思路，怎样才能做到这一点呢？我认為很重要的一点是在平时的教学过程中应该积极引导学生，本文从初中数学教学的角度谈谈如何引导这个问题。
一、要树立整体思想 不要囿于局部
面对一道题目，学生常常把相互联系的问题割裂开来孤立地去思考，而不会从整体上去审视把握寻找突破口，从而束手无策，或者误入歧途。
例1 如图，已知△ABC中，∠A=80°，D是BC的延长线上的一点，∠ABC和∠ACD的平分线BE、CE交于E，求∠E的度数。
学生容易想到∠E=∠ECD-∠EBC，但是接下去他们的注意力往往只是集中于分别求出∠ECD和∠EBC的度数，实际上这两个角的大小随着点A位置的不同而改变，并无确定的值，这时要启发学生把∠ECD-∠EBC作为一个整体对待，想到∠ACD=∠ABC+∠A时，即2∠ECD=2∠EBC+80°，从而∠ECD-∠EBC=40°，故∠E=40°
例2 如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（- ，0），判断a-b+c的正负。
学生自然地想到：由于抛物线的开口向下，所以a<0，因抛物线的顶点在第一象限，它的横坐标- >0，于是得到b>0，又由图像易知c>0，但是接下去无法判断a-b+c的正负，这时可提醒学生，不要把a-b+c割裂开来，而应从整体上去加以考虑，事实上当x=-1时，y=a-b+c，对应的点（-1，a-b+c）在第三象限，立即就可得到a-b+c<0.
二、要会逆向思维，不要只是顺向思考
学生习惯于从条件推出结论的思考方法，这种思维方式是常用的，且往往是有效的，但如果局限于这样的方法，不会逆向思维，那么有些问题或者不能得到解决，或者解题过程不简捷，同时，逆向使用某些公式或定理也是一种重要的解题思路，在学习过程中教师应用时帮助学生掌握。
例3 求证：不存在实数m，使方程8x2-（m-1）x+m-7=0的两实数根互为倒数。
分析：直接去证明很困难，可逆向加以考虑，如果存在实数m，使方程的两实数根互为倒数，m=？
由一元二次方程的根与系数的关系和已知条件知道 =1，解得m=15，但当m=15时△<0，方程没有实数根，因此不存在实数m，使方程的两实数根互为倒数，问题迎刃而解。
三、要敢于寻求变异，不要墨守成规
学生在解题时一般从已有的经验和习惯的方法入手，这是很自然的，但是不应该把这样的经验和方法作为一成不变的模式，在解题时要敢于突破常规，使解题思路和解题方法新颖而别致。
例4已知A= ，B= ，比较A、B的大小
对于这种问题，一般情况下，总考虑对分线或分子直接进行通分来比较A、B的大小，但是，对于此题，这样做，会很繁琐，分析它们的特征，发现分子上的两个数字仅仅是个位上不同，分母上的两个数字亦如此，于是打破常规采用换元法。设5678901234=x，6789012345=y则A= ，B= ，得，A-B= - = ，∵2x>y，y（y+2）>0，∴A>B
把分数的大小比较变换为分式的大小比较，乍看起来，这样做有悖常理，但正是这样做，使解题过程简单明了。
例5 一船逆水而上，船上某人有一件木质东西掉入水中，当船调转船头去追赶时，时间已过2分钟，再过多久，船才能追上所掉的东西？
这道题应是列方程解应用题问题，可以设x分钟后船追上所掉的东西，但列方程时却发现相等关系不容易找到，让学生在碰壁以后仔细想一想，造成困难的原因主要是缺少速度这个量，因此鼓励他们大胆引入辅助未知数。
设船在静水中的速度和水流的速度分别为v1米/分，v2米/分，如图所示，东西在A处掉入水中，船从A处航行到B处时再回头已航行了2（v1-v2）米，而此时掉入水中的木质东西已漂浮了2v2米到达C处，船从B处开始，在到D处追上所掉的东西，一共行了（v1+v2）x米，木质东西从C处到D处又漂浮了v2x米，于是有方程2（v1-v2）+2v2+v2x=（v1+v2）x
解得x=2
上述方程中出现了三个未知数v1，v2，x，但并不能解出v1，v2的值，它们所起的作用在于把复杂而隐蔽的数量关系清晰地表示了出来，如果不能突破常规，这道题就不容易入手。
四、要不断探索 不要满足于一得之功
学生在学习过程中不断积累经验，逐步形成了一定的解题 套路，能有效地解决熟悉的问题，教师应该明确指出，如果只会按照题型对号入座，满足于一得之功，那就限制了思路的开拓，教师要提倡一题多解，表扬不断探索的精神，可将各种解法加以对照，比较优劣，开阔视野，不断提高学生的思维能力。
例6已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为s1，两根平方和为s2，两根立方和为s3，求as3+bs2+cs1的值。
学生从题设条件容易想到利用一元二次方程的根与系数的关系来解决，这时侯教师提出是否有更简捷的方法，并和学生一起探讨。
解法1：设两根分别为x1，x2，则x1·x2= ，x1+x2=-
∴s1=- s2=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2= -
s3=x13+x23=（x1+x2）（x12-x1x2+x22）=- （ - - ）=- +
∴as3+bs2+cs1=a（- + ）+b（ - ）-c· =0
解法2：设两根分别为x1，x2，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，
于是as3+bs2+cs1=a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）
=ax13+bx12+cx1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=x1·0+x2·0=0
比较两种解法，显然是解法2利用根的定义来解决要简便得多。
五、要形数结合 不要形数分家
学生往往见到几何题就只想几何的方法，见到代数题就只想到代数的方法，有时冥思苦想了半天仍未找出答案，在平时教学中，教师应该适时地引導学生注意两者之间的结合，开拓他们的思路。
例7已知x+3+x-1=4，求x的取值范围
这道题当然可以采用去掉绝对值的符号的办法加以解决，但是从帮助学生确立数形结合的思想来说，运用绝对值的几何意义来解具有很大的启发作用，而且解法更简便。
解：设A，B，X分别是数轴上表示-3，1和x的点，则X与A，B两点的距离的和是4。
由图可见，当X在A，B两点之间的任一位置（包括端点A，B）时，线段AX的长与XB的长的和总是等于4，而在此范围之外则大于4，∴-3≤x ≤1。
例8 已知等腰三角形腰长为10，面积为48，求它的内切圆半径r。
解：如图，设△ABC中，AB=AC=10，BC=2x高AD=y，⊙o内切于△ABC的底边BC于D.由等腰三角形的对称性得BD=DC=x根据题意得方程组：
·2x·y=48 ·2x·r+2· ·10r=48x +y =10
解之，得r=3或r= ，它们都符合题意。
这道题利用三角形的面积和勾股定理列出方程组，过程明确，简洁。两个解的出现彌补了几何示意图的不足，出乎学生的意料之外，加深了他们对用代数方法解几何题的印象和认识。
六、要仔细审视 不要以偏概全
仔细审题，对题目中的条件和结论进行全面的，慎密的思考分析，是正确解答题目的前提，特别要注意题目中存在的隐含条件，在得到某种答案以后不要沾沾自喜，浅尝辄止，要考虑多种可能性，防止以偏概全，造成错解或漏解。
例8已知 ，？茁是一元二次方2x2+6x+1=0程的两根，求 + 的值。
错解： ∵ +？茁=-3， ？茁=
∴ + = + = =-3
实际上，由 +？茁=-3<0， ？茁= >0可知a<0，？茁<0。学生没有注意到这个隐含条件，再加上对算术平方根的概念理解不透彻，造成了错解。
正确的解法是： + = + =- =-3
从应试教育向素质教育转变，对中学数学教学提出了更高的要求，这就需要我们在教学工作中加强研究，充分发挥学生认知主体作用，注重对学生认知方法的培养，积极引导学生进行数学解题，让学生学会思考，提高他们综合运用数学知识解决实际问题的能力，最终达到提高素质的目的。
参考文献：
[1]单墫.解题研究[M].南京师范大学出版社，2002
[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2001
[3]南秀全.新黄冈数学题库[M].青岛出版社，2008年
作者简介：
叶振洪（1968-），男，广东广州人，本科，数学中学一级，研究方向：初中数学教学。