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摘 要通过引入本原单位根,我们得到了Ramanujan 的 级数恒等式的细化形式。它的特殊情形包含了众多新的双边求和公式。
关键词Ramanujan 的级数恒等式;双边级数求和公式;本原单位根
中图分类号O157.1文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)012-0065-01
设和是两个复数并且满足。定义升阶乘为:
, 。
当为整数时,升阶乘为
参照[1,p. 502], Ramanujan 的级数恒等式能被陈述为:
(1)
其中,收敛条件是。
在本文中,主要定理能被表达如下。
定理1:设是一个正整数。对满足条件的整数,有:
其中,
(第个本原单位根),并且收敛条件为。
注释:在定理1中,表示在第一列的位置。
证明:
把(1)中分别实行变量替换,,,
并且参照本原单位根的性质(r 是一个正整数),
可以建立以下的线性方程组:
(2)
其中, 。
根据克莱默法则,可以得到方程组(2)的唯一解,即定理所述内容。
在定理1中,取,有如下双边级数求和公式成立。
推论2 (双边级数求和公式)
其中 。
当m取其它数值时,有更多相应的双边级数求和公式出现。本文不再依次展示。
参考文献
[1] G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy,Special Functions,Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[2] A.J.Yee, Combinatorial proof of Ramanujan’ssummation and the q-Gauss summation , J.Combin.Theory Ser. A 105 (2004), 63-77.
作者简介:
杨芳(1983- ),女,汉族,山西临汾人,助教,硕士,主要从事医疗仪器设计、数学算法,海南省海口市海南医学院信息技术部。
关键词Ramanujan 的级数恒等式;双边级数求和公式;本原单位根
中图分类号O157.1文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)012-0065-01
设和是两个复数并且满足。定义升阶乘为:
, 。
当为整数时,升阶乘为
参照[1,p. 502], Ramanujan 的级数恒等式能被陈述为:
(1)
其中,收敛条件是。
在本文中,主要定理能被表达如下。
定理1:设是一个正整数。对满足条件的整数,有:
其中,
(第个本原单位根),并且收敛条件为。
注释:在定理1中,表示在第一列的位置。
证明:
把(1)中分别实行变量替换,,,
并且参照本原单位根的性质(r 是一个正整数),
可以建立以下的线性方程组:
(2)
其中, 。
根据克莱默法则,可以得到方程组(2)的唯一解,即定理所述内容。
在定理1中,取,有如下双边级数求和公式成立。
推论2 (双边级数求和公式)
其中 。
当m取其它数值时,有更多相应的双边级数求和公式出现。本文不再依次展示。
参考文献
[1] G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy,Special Functions,Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[2] A.J.Yee, Combinatorial proof of Ramanujan’ssummation and the q-Gauss summation , J.Combin.Theory Ser. A 105 (2004), 63-77.
作者简介:
杨芳(1983- ),女,汉族,山西临汾人,助教,硕士,主要从事医疗仪器设计、数学算法,海南省海口市海南医学院信息技术部。