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摘 要:从奇数Jb序列中发现,除了2与5,其他所有素数只存在于尾数为1、3、7、9的奇数中,然后求出Jb序列中的合数方程式,当Jb数轴上消去这些合数后,即得到Jb数轴上的素数及素数分布情况。又将偶数PY分为两个相等的整数,采用和差共有数ΔK,将两个相等的整数变为两个素数,ΔK从尾数相等及Jb序列素数的分布中求出,(+ΔK)+(-ΔK)=0,则得到下式:PY=([12P]Y+ΔK)+([12P]Y-ΔK)=qi+qi+1,qi為素数,由此证明了哥德巴赫-欧拉猜想是成立的。
关键词:偶数;奇数;合数;素数;和差共有数
序言:德国数学家哥德巴赫(Goldbach,Christoan,1690—1764)于1742年6月7日在给欧拉(Enler,Lecnhard,1707—1783,瑞士数学家,天文学家)的信中,提出了下列猜想,即任何一个n≥9的奇数,可以用三个素数之和来表示。同年6月30日,欧拉在回信中表示,为了解决这个问题,需要充分证明:每一个偶数都是两个素数之和。哥德巴赫问题或哥德巴赫-欧拉问题可归结为以下论点:任意一个n≥4的偶数都可分为两个素数之和;任何一个n≥7的奇数都可分为三个素数之和(详见参考文献[1]和[2])。
已经过去了270多年了,很多数学家都未能证明这两个相关的问题。许多数学爱好者也争相证明。这两个看似简单而又很难证明的相关猜想,让许多人耗去了一生的心血。
其实数与数之间的相互关系,不能用那些模糊的、复杂的数学推理去证明。我们只要根据数与数之间的变化规律,即可用准确而简单的公式来证明。
序幕:在未证明命题之前,首先要确定数名的代表符号及解释各词组的定义。这里令:Py代表偶数、Jb代表奇数、HR代表合数、qi代表素数(或质数)、ΔK代表和差共有数、[C]·代表尾数、m代表自然数或正整数,以1为进位单位,m=1,2,3,…∞,n代表公式中的序列数,以1为进位单位,n=1,2,3,…∞,b、y、i、R、k为脚注号,表示有许多不同的整数或连续或不连续的序列数;(+ΔK)+(-ΔK)恒等于零。
重要词组:偶数、奇数、合数、素数、尾数、序列数、和差共有数。
对于早已熟知的词组无须注解。这里只注解一个新词组-和差共有数:任何一个偶数,均可分成两个完全相等的整数,其中一个整数加一个整数可成为素数,另一个相等的整数减去同一个整数也可成为素数,这个共同的整数即为该两个相等整数的和差共有数。得公式:
PY=[12P]Y+[12P]Y=([12P]Y+ΔK)+([12P]Y-ΔK)=qi+qi+1
哥德巴赫-欧拉猜想的准证明:要证明命题,首先要了解素数(质数)在Jb数轴上的分布规律。在Jb数轴上消除了合数数组,则得到了Jb数轴上剩余的空格数组就是素数数组了。因为在Jb数轴上,Jb[5]·是以5为尾数,大于5的所有数均为合数数组,无须研究。除了2与5,其余全部素数只存在于Jb中的四个数轴中:Jb[3]·、Jb[7]·、Jb[9]·、Jb[11]·。为了有效消除Jb数轴上的合数数组,第一必须保证合数数组的尾数是一致的;第二要保证至计算点没有合数数组的遗漏。为保证这两个必要条件,建立以下合数方程式。
(2-2)式、(5-5)式、(8-8)式及(11-11)式中,每一个合数数组的n均从0开始,以1为进位单位,各个合数数组互不干扰。上述四个数轴,各自消除了由方程式所给出的合数数组后,数轴上剩余的合数空格数组即为素数。在数轴上出现了同一个Jb数组有多个重复的合数数组,只取其一个合数数组,因为Jb数轴上的数组都是唯一的。为了方便检验,我们以Jb[11]·数轴为例,取部分值进行运算,以观察实际效果。
我们利用上述合数方程式,可求得任意的奇数中素数的占有量。
二、素数数组的变化规律
1.单位数组中qi的部分实算占有量
为了便于比较,我们将m序列数组分成许多相等的数段,m最小数是1,而向大数方向的数是无限的。为了避开10以内的特殊点(后面做专项说明),令m=Jb+Py=500个数组+500个数组=1000个数组,Jb从11起始,Py從12起始,把m序列数组分成很多以1000个数组为单位的数组段。相应得到,Jb=Jb[C]·+ Jb[5]·=400个数组+100个数组=500个数组,Jb[C]·=Jb[3]·+ Jb[7]·+Jb[9]·+Jb[11]·=100个数组+100个数组+100个数组+100个数组=400个数组。由前面的方程式及介绍的方法,很容易求得尾数为:[3]·=3, [7]·=7, [9]·=9, [11]·=[1]·=1的qi在400个Jb[C]·数组中的占有量,相应得到qi在m及Jb中的占有量。由此即得以下的比例:qi/Jb[C]·,qi/Jb,qi/m。实测值列入E表实测项,q0从11-1009共400个Jb[C]·数组qi的占有量,q1从1011-2009共400个Jb[C]·数组qi的占有量,以此类推。由E表实测数据看出,随着Jb[C]·向大数方向推移,qi的占有量在不断的减少。
2.在系列数组段中qi的变化规律
作者取部分实测值的光滑曲线,发现是一条很规则的数学曲线。经研究推演,得到光滑曲线的方程式为:
qi0=[165×[1-n=1∞710n+12]] (A)
(A)式中:n=1,2,……∞,n所对应的数组段qi0与qi相同。计算时,小数点后四舍五入取整数。由于合数的增量及合数重复密度的差异,实测值qi沿着理论值qi0发生小幅度的波动。理论值qi0列入E表qi0项。
由实测值qi与理论值qi0得到两者的公差数为:
⊿S=±[qi-qi02n-1]=±[223681-1]=±5 公差较小。部分外延验证,理论曲线代表实测曲线的基本线。
由qi在Jb[C]·中占有量的曲线显示,随着数段向大数方向推移,开始数段qi的下降速度较快,然后再向更大的数组段方向推移时,qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降速度越来越缓慢,这和新的数组段中,新的合数起始点不断增多完全一致。在比较小的数组段中,新的合数起始点数量较多,由公式qi=Jb[C]·-HR[C]·已知,HR[C]·增大时,qi减少,Jb[C]·向更大的数段推移时,×qi的间距因qi减少而逐渐拉大,在较大数段中新的合数起始点的数量逐渐减少,致使qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降的速度越来越缓慢;总之,单位素数的占有量随着数组段向大数方向推移在不断的减少。由(A)式得到,当n很大很大时,7/10(n+1)2→0, (A)式的后部分由变数逐渐趋近于常数,得到(A)式的极限值为:[limqi]>20。由此得到qi与Jb[C]·、Jb、m的最大比例、中等比例与最小比例分别为:qi0/Jb[C]·=165/400→80/400→>20/400,qi0/Jb=165/500→80/500→>20/500,qi0/m=165/1000→80/1000→>20/1000。
哥德巴赫-欧拉猜想的证明:
1.几個特殊点及小整数的直观判定
0不是正整数也不是负整数的整数。1是正整数或自然数最小整数但不是素数。2是小偶数也是最小素数。2与5只能在自然数基数或正整数基数中被定为素数。>5以5为尾数的所有奇数均为合数。2与5为不能进入运算系统的特殊点。小整数是否符合猜想很容易直接判定。如:4=2+2;6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+5;12=5+7;14=7+7=3+11;16=5+11=3+13;18=5+13=7+11;20=7+13=3+17。>20的任意偶数可分成两个素数之和的素数全部存在于尾数为:1、3、7、9的奇数中,已由前面的方程式给出。>5的小奇数分成三个素数之和可直观判定。如:7=2+2+3;9=3+3+3;11=3+3+5;13=3+5+5=3+3+7;15=5+5+5=3+5+7;17=3+7+7=3+3+11;19=3+5+11=5+7+7;21=3+5+13=3+7+11。>21的任意奇数可由方程式给出。
这里有个新提法:同一个偶数可分成多个不同的两个素数之和的素数对,依次被称为一个素数对,两个素数对及多个素数对。比如前面的小偶数也可分成一个素数对及两个素数对。
2.Δk的求解与(B)式的证明
从前面的方程式已详尽知道了qi在m序列中的分布规律,为解决证题打下了基础。我们又已知,任何大于或等于4的偶数均可分成两个完全相等的整数,如果我们能求出Δk,下式必然成立:
3.(B)式的进一步证明
(1)视素数对ΔK(f)与[12] PY的关系式
为了区分真假素数对,我们将ΔK分成两部分,令ΔK(f)为视素数对的数量,ΔK(g)为真素数对的数量。ΔK(f)视素数对的定义为:和的两个数组都是合数,也可以是一个数组是合数,另一个数组是素数,也可以是和的两个数组都是素数。ΔK(g)真素数对的定义为:和的两个数组都必须是素数。由(B)式的10个分式已知,[12] PY±ΔK的ΔK数为:ΔK=3个[C]·+3个10K,当K每进位1时,则在ΔK中进位10。视素数对ΔK(f)的多少取决于[12] PY的大小。由此得到:
由(C)式即可求得PY为任何大的偶数时,PY拥有的视素数对ΔK(f)的数量。比如PY=102,由(C)式求得:ΔK(f)=(51-1)×[310]=15个视素数对。此时ΔK=ΔK(f),由前面的公式查得:[PY]·=2及[[12] PY]·=1时,得ΔK=0+10K;2+10K;8+10K(K=0,1,2,……)。由此得到:PY=51+51=102=(51+0)+(51-0)=(51+10)+(51-10)=(51+20)+(51-20)=(51+30)+(51-30)=(51+40)+(51-40)=(51+2)+(51-2)=(51+12)+(51-12)=(51+22)+(51-22)=(51+32)+(51-32)=(51+42)+(51-42)=(51+8)+(51-8)=(51+18)+(51-18)=(51+28)+(51-28)=(51+38)+(51-38)=(51+48)+(51-48)。數组对上面打X为非素数对,数组对上面打△为真素数对。由具体式求得ΔK(f)=15个对,ΔK(g)=7个对,得到真素数对在视素数对中占有的百分比为:ΔK(g)/ ΔK(f)×100/100=46.7%。
(2)ΔK(g)的超低取值
参考文献:
[1]主编丹尼尔·拉佩兹(Dznie/N·1·apedecs),科学技术百科全书,第一卷,数学[M].科学出版社,1980:5.
[2]曾少潜主编,世界著名科学家简介,增订版[M].科学技术文献出版社,1983:11-15,21.
[3]作者黄诗炎,《应用尾数域证明费尔马大定理》,发表在《中国科教论文选》第一卷[M].红旗出版社出版,1997:653-659.
作者简介:
黄诗炎(1937—),男,湖北保康人,工程师,主要从事地震预测研究及数论研究。
关键词:偶数;奇数;合数;素数;和差共有数
序言:德国数学家哥德巴赫(Goldbach,Christoan,1690—1764)于1742年6月7日在给欧拉(Enler,Lecnhard,1707—1783,瑞士数学家,天文学家)的信中,提出了下列猜想,即任何一个n≥9的奇数,可以用三个素数之和来表示。同年6月30日,欧拉在回信中表示,为了解决这个问题,需要充分证明:每一个偶数都是两个素数之和。哥德巴赫问题或哥德巴赫-欧拉问题可归结为以下论点:任意一个n≥4的偶数都可分为两个素数之和;任何一个n≥7的奇数都可分为三个素数之和(详见参考文献[1]和[2])。
已经过去了270多年了,很多数学家都未能证明这两个相关的问题。许多数学爱好者也争相证明。这两个看似简单而又很难证明的相关猜想,让许多人耗去了一生的心血。
其实数与数之间的相互关系,不能用那些模糊的、复杂的数学推理去证明。我们只要根据数与数之间的变化规律,即可用准确而简单的公式来证明。
序幕:在未证明命题之前,首先要确定数名的代表符号及解释各词组的定义。这里令:Py代表偶数、Jb代表奇数、HR代表合数、qi代表素数(或质数)、ΔK代表和差共有数、[C]·代表尾数、m代表自然数或正整数,以1为进位单位,m=1,2,3,…∞,n代表公式中的序列数,以1为进位单位,n=1,2,3,…∞,b、y、i、R、k为脚注号,表示有许多不同的整数或连续或不连续的序列数;(+ΔK)+(-ΔK)恒等于零。
重要词组:偶数、奇数、合数、素数、尾数、序列数、和差共有数。
对于早已熟知的词组无须注解。这里只注解一个新词组-和差共有数:任何一个偶数,均可分成两个完全相等的整数,其中一个整数加一个整数可成为素数,另一个相等的整数减去同一个整数也可成为素数,这个共同的整数即为该两个相等整数的和差共有数。得公式:
PY=[12P]Y+[12P]Y=([12P]Y+ΔK)+([12P]Y-ΔK)=qi+qi+1
哥德巴赫-欧拉猜想的准证明:要证明命题,首先要了解素数(质数)在Jb数轴上的分布规律。在Jb数轴上消除了合数数组,则得到了Jb数轴上剩余的空格数组就是素数数组了。因为在Jb数轴上,Jb[5]·是以5为尾数,大于5的所有数均为合数数组,无须研究。除了2与5,其余全部素数只存在于Jb中的四个数轴中:Jb[3]·、Jb[7]·、Jb[9]·、Jb[11]·。为了有效消除Jb数轴上的合数数组,第一必须保证合数数组的尾数是一致的;第二要保证至计算点没有合数数组的遗漏。为保证这两个必要条件,建立以下合数方程式。
(2-2)式、(5-5)式、(8-8)式及(11-11)式中,每一个合数数组的n均从0开始,以1为进位单位,各个合数数组互不干扰。上述四个数轴,各自消除了由方程式所给出的合数数组后,数轴上剩余的合数空格数组即为素数。在数轴上出现了同一个Jb数组有多个重复的合数数组,只取其一个合数数组,因为Jb数轴上的数组都是唯一的。为了方便检验,我们以Jb[11]·数轴为例,取部分值进行运算,以观察实际效果。
我们利用上述合数方程式,可求得任意的奇数中素数的占有量。
二、素数数组的变化规律
1.单位数组中qi的部分实算占有量
为了便于比较,我们将m序列数组分成许多相等的数段,m最小数是1,而向大数方向的数是无限的。为了避开10以内的特殊点(后面做专项说明),令m=Jb+Py=500个数组+500个数组=1000个数组,Jb从11起始,Py從12起始,把m序列数组分成很多以1000个数组为单位的数组段。相应得到,Jb=Jb[C]·+ Jb[5]·=400个数组+100个数组=500个数组,Jb[C]·=Jb[3]·+ Jb[7]·+Jb[9]·+Jb[11]·=100个数组+100个数组+100个数组+100个数组=400个数组。由前面的方程式及介绍的方法,很容易求得尾数为:[3]·=3, [7]·=7, [9]·=9, [11]·=[1]·=1的qi在400个Jb[C]·数组中的占有量,相应得到qi在m及Jb中的占有量。由此即得以下的比例:qi/Jb[C]·,qi/Jb,qi/m。实测值列入E表实测项,q0从11-1009共400个Jb[C]·数组qi的占有量,q1从1011-2009共400个Jb[C]·数组qi的占有量,以此类推。由E表实测数据看出,随着Jb[C]·向大数方向推移,qi的占有量在不断的减少。
2.在系列数组段中qi的变化规律
作者取部分实测值的光滑曲线,发现是一条很规则的数学曲线。经研究推演,得到光滑曲线的方程式为:
qi0=[165×[1-n=1∞710n+12]] (A)
(A)式中:n=1,2,……∞,n所对应的数组段qi0与qi相同。计算时,小数点后四舍五入取整数。由于合数的增量及合数重复密度的差异,实测值qi沿着理论值qi0发生小幅度的波动。理论值qi0列入E表qi0项。
由实测值qi与理论值qi0得到两者的公差数为:
⊿S=±[qi-qi02n-1]=±[223681-1]=±5 公差较小。部分外延验证,理论曲线代表实测曲线的基本线。
由qi在Jb[C]·中占有量的曲线显示,随着数段向大数方向推移,开始数段qi的下降速度较快,然后再向更大的数组段方向推移时,qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降速度越来越缓慢,这和新的数组段中,新的合数起始点不断增多完全一致。在比较小的数组段中,新的合数起始点数量较多,由公式qi=Jb[C]·-HR[C]·已知,HR[C]·增大时,qi减少,Jb[C]·向更大的数段推移时,×qi的间距因qi减少而逐渐拉大,在较大数段中新的合数起始点的数量逐渐减少,致使qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降的速度越来越缓慢;总之,单位素数的占有量随着数组段向大数方向推移在不断的减少。由(A)式得到,当n很大很大时,7/10(n+1)2→0, (A)式的后部分由变数逐渐趋近于常数,得到(A)式的极限值为:[limqi]>20。由此得到qi与Jb[C]·、Jb、m的最大比例、中等比例与最小比例分别为:qi0/Jb[C]·=165/400→80/400→>20/400,qi0/Jb=165/500→80/500→>20/500,qi0/m=165/1000→80/1000→>20/1000。
哥德巴赫-欧拉猜想的证明:
1.几個特殊点及小整数的直观判定
0不是正整数也不是负整数的整数。1是正整数或自然数最小整数但不是素数。2是小偶数也是最小素数。2与5只能在自然数基数或正整数基数中被定为素数。>5以5为尾数的所有奇数均为合数。2与5为不能进入运算系统的特殊点。小整数是否符合猜想很容易直接判定。如:4=2+2;6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+5;12=5+7;14=7+7=3+11;16=5+11=3+13;18=5+13=7+11;20=7+13=3+17。>20的任意偶数可分成两个素数之和的素数全部存在于尾数为:1、3、7、9的奇数中,已由前面的方程式给出。>5的小奇数分成三个素数之和可直观判定。如:7=2+2+3;9=3+3+3;11=3+3+5;13=3+5+5=3+3+7;15=5+5+5=3+5+7;17=3+7+7=3+3+11;19=3+5+11=5+7+7;21=3+5+13=3+7+11。>21的任意奇数可由方程式给出。
这里有个新提法:同一个偶数可分成多个不同的两个素数之和的素数对,依次被称为一个素数对,两个素数对及多个素数对。比如前面的小偶数也可分成一个素数对及两个素数对。
2.Δk的求解与(B)式的证明
从前面的方程式已详尽知道了qi在m序列中的分布规律,为解决证题打下了基础。我们又已知,任何大于或等于4的偶数均可分成两个完全相等的整数,如果我们能求出Δk,下式必然成立:
3.(B)式的进一步证明
(1)视素数对ΔK(f)与[12] PY的关系式
为了区分真假素数对,我们将ΔK分成两部分,令ΔK(f)为视素数对的数量,ΔK(g)为真素数对的数量。ΔK(f)视素数对的定义为:和的两个数组都是合数,也可以是一个数组是合数,另一个数组是素数,也可以是和的两个数组都是素数。ΔK(g)真素数对的定义为:和的两个数组都必须是素数。由(B)式的10个分式已知,[12] PY±ΔK的ΔK数为:ΔK=3个[C]·+3个10K,当K每进位1时,则在ΔK中进位10。视素数对ΔK(f)的多少取决于[12] PY的大小。由此得到:
由(C)式即可求得PY为任何大的偶数时,PY拥有的视素数对ΔK(f)的数量。比如PY=102,由(C)式求得:ΔK(f)=(51-1)×[310]=15个视素数对。此时ΔK=ΔK(f),由前面的公式查得:[PY]·=2及[[12] PY]·=1时,得ΔK=0+10K;2+10K;8+10K(K=0,1,2,……)。由此得到:PY=51+51=102=(51+0)+(51-0)=(51+10)+(51-10)=(51+20)+(51-20)=(51+30)+(51-30)=(51+40)+(51-40)=(51+2)+(51-2)=(51+12)+(51-12)=(51+22)+(51-22)=(51+32)+(51-32)=(51+42)+(51-42)=(51+8)+(51-8)=(51+18)+(51-18)=(51+28)+(51-28)=(51+38)+(51-38)=(51+48)+(51-48)。數组对上面打X为非素数对,数组对上面打△为真素数对。由具体式求得ΔK(f)=15个对,ΔK(g)=7个对,得到真素数对在视素数对中占有的百分比为:ΔK(g)/ ΔK(f)×100/100=46.7%。
(2)ΔK(g)的超低取值
参考文献:
[1]主编丹尼尔·拉佩兹(Dznie/N·1·apedecs),科学技术百科全书,第一卷,数学[M].科学出版社,1980:5.
[2]曾少潜主编,世界著名科学家简介,增订版[M].科学技术文献出版社,1983:11-15,21.
[3]作者黄诗炎,《应用尾数域证明费尔马大定理》,发表在《中国科教论文选》第一卷[M].红旗出版社出版,1997:653-659.
作者简介:
黄诗炎(1937—),男,湖北保康人,工程师,主要从事地震预测研究及数论研究。