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【中图分类号】G633.6
高三复习,而每次拉练后的试卷讲评是最关键的,只有对拉练题目讲深讲透,挖掘到位,才能开阔学生思维,才能让学生站在高处俯视高考,避免就题论题,只见树木不见森林。下面就笔者对高三复习考试试题中的"一般"题目进行挖掘,拓展。
一、方法拓展,注重一题多解,培养学生思维的广度。
例1、. 已知所表示的平面区域为M,若M的面积为S,则的最小值为( )
A.30 B.32 C.3 D.36
【思路分析】:画出不等式组表示的平面区域,易知,,转化为求函数,在上的最小值,大部分老师是利用型(即分子次数高于分母次数)均值不等式求解,即下面的解法二。
法一:二次函数定轴定区间令
故即时,.
法二:型,利用均值不等式
当且仅当即时取.
法三:导数法 令令当时,
当时, ,所以.
【教学反思】虽然法二容易想到,但用分母表示分子的过程试比较艰苦,最好利用换元,所以,所以再利用均值不等式;方法一不好想,但却是解决本题的最佳方法;方法三虽然求导有点复杂,但导数法是绝招,几乎所有的函数求最值问题都可以利用导数解决。
所以,建议基础较好的同学把这三种方法都掌握。
二、变式拓展,注重思维量和训练量。
例2、.已知函数,数列满足,,.(1)求数列的通项公式;(2)令,若对一切成立,求最小正整数.
解:(1)因为所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以
(2)当时,,又,
所以时,所以
且易知递增,所以故对一切成立,解得所以正整数的最小值为2012
【变式1】若对一切成立,求最小正整数.
分析:恒成立问题解得故最小正整数为2012
【变式2】若存在,使成立,求最小正整数.
分析:有解问题得故最小正整数为2010
【变式3】若存在,使成立,求最小正整数.
分析:有解问题得故最小正整数为2009
【教学反思】本题第二问是一个恒成立问题,但,无最大值,所以有等号,学生往往漏掉等号;变式1同样有等号;变式2和变式3都是有解问题,一方面和本题的恒成立作对比;另一方面还是考察何时取等号。通过变式,学生的思维得到规范,对恒成立和有解问题的认识更加深刻。
三、由特殊到一般,注重抓住数学问题的本质。
例3. 设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)易知 设P(x,y),则
= ,,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(2)假设存在满足条件的直线易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线的斜率不存在时,直线与椭圆无交点,所在直线斜率存在,设为k,则直线的方程为
由方程组.依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|.综上所述,不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
【变式拓展1】对第一问进行一般化:设是椭圆为其左右焦点,求的最大值和最小值
解析:设,则,(*)
因为是椭圆上的点,所以所以代入(*)得
,因为,所以
所以当即时,;所以当时,。至此,我们得到了一般性的结论,对本题而言,,所以;,由一般结论来检验特殊问题,自此学生完成了对本题目的系统认识,学生发出了惊叹,脸上露出了笑容。
【变式拓展2】对第一问进行纵向比较:设是椭圆为其左右焦点,求的最值。
解析:设,则,,
因为,所以,所以当时,;所以当时,
【变式拓展3】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F1C|=|F1D|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:由本题第二问的解答过程知,解得,无解,故不存在直线,使得|F1C|=|F1D|。
【变式拓展4】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,和存在点使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.(存在)
解析:由本题第二问的解答过程知,解得在即上有解,令,故,故存在直线,使得|PC|=|PD|
【副产品】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,和点使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:解得,不满足,故不存在直线,使得|PC|=|PD|
另解:由变式拓展4的结论知:因为,所以不存在直线,使得|PC|=|PD|
【变式拓展5】是否存在定点,对任意过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:和斜率有关,故不是定值,故不存在直线l,使得|PC|=|PD|
【教学反思】本题第一问是利用消元和函数思想求最值,这是通法,对于椭圆的标准方程也可用同样的方法去做,便可得到一般性的结论,完成了认识的第一个阶段:由特殊到一般;利用一般性的结论再去验证本题的答案,完成了认识的第二个阶段:由一般到特殊。变式拓展1给出了对比;拓展3至拓展5,由具体有解问题到一般有解问题,再到恒成立问题,步步为营,由浅入深,设计巧妙,符合学生的认知规律。
高三复习,而每次拉练后的试卷讲评是最关键的,只有对拉练题目讲深讲透,挖掘到位,才能开阔学生思维,才能让学生站在高处俯视高考,避免就题论题,只见树木不见森林。下面就笔者对高三复习考试试题中的"一般"题目进行挖掘,拓展。
一、方法拓展,注重一题多解,培养学生思维的广度。
例1、. 已知所表示的平面区域为M,若M的面积为S,则的最小值为( )
A.30 B.32 C.3 D.36
【思路分析】:画出不等式组表示的平面区域,易知,,转化为求函数,在上的最小值,大部分老师是利用型(即分子次数高于分母次数)均值不等式求解,即下面的解法二。
法一:二次函数定轴定区间令
故即时,.
法二:型,利用均值不等式
当且仅当即时取.
法三:导数法 令令当时,
当时, ,所以.
【教学反思】虽然法二容易想到,但用分母表示分子的过程试比较艰苦,最好利用换元,所以,所以再利用均值不等式;方法一不好想,但却是解决本题的最佳方法;方法三虽然求导有点复杂,但导数法是绝招,几乎所有的函数求最值问题都可以利用导数解决。
所以,建议基础较好的同学把这三种方法都掌握。
二、变式拓展,注重思维量和训练量。
例2、.已知函数,数列满足,,.(1)求数列的通项公式;(2)令,若对一切成立,求最小正整数.
解:(1)因为所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以
(2)当时,,又,
所以时,所以
且易知递增,所以故对一切成立,解得所以正整数的最小值为2012
【变式1】若对一切成立,求最小正整数.
分析:恒成立问题解得故最小正整数为2012
【变式2】若存在,使成立,求最小正整数.
分析:有解问题得故最小正整数为2010
【变式3】若存在,使成立,求最小正整数.
分析:有解问题得故最小正整数为2009
【教学反思】本题第二问是一个恒成立问题,但,无最大值,所以有等号,学生往往漏掉等号;变式1同样有等号;变式2和变式3都是有解问题,一方面和本题的恒成立作对比;另一方面还是考察何时取等号。通过变式,学生的思维得到规范,对恒成立和有解问题的认识更加深刻。
三、由特殊到一般,注重抓住数学问题的本质。
例3. 设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)易知 设P(x,y),则
= ,,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(2)假设存在满足条件的直线易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线的斜率不存在时,直线与椭圆无交点,所在直线斜率存在,设为k,则直线的方程为
由方程组.依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|.综上所述,不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
【变式拓展1】对第一问进行一般化:设是椭圆为其左右焦点,求的最大值和最小值
解析:设,则,(*)
因为是椭圆上的点,所以所以代入(*)得
,因为,所以
所以当即时,;所以当时,。至此,我们得到了一般性的结论,对本题而言,,所以;,由一般结论来检验特殊问题,自此学生完成了对本题目的系统认识,学生发出了惊叹,脸上露出了笑容。
【变式拓展2】对第一问进行纵向比较:设是椭圆为其左右焦点,求的最值。
解析:设,则,,
因为,所以,所以当时,;所以当时,
【变式拓展3】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F1C|=|F1D|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:由本题第二问的解答过程知,解得,无解,故不存在直线,使得|F1C|=|F1D|。
【变式拓展4】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,和存在点使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.(存在)
解析:由本题第二问的解答过程知,解得在即上有解,令,故,故存在直线,使得|PC|=|PD|
【副产品】是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,和点使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:解得,不满足,故不存在直线,使得|PC|=|PD|
另解:由变式拓展4的结论知:因为,所以不存在直线,使得|PC|=|PD|
【变式拓展5】是否存在定点,对任意过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C、D,使得|PC|=|PD|?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解析:和斜率有关,故不是定值,故不存在直线l,使得|PC|=|PD|
【教学反思】本题第一问是利用消元和函数思想求最值,这是通法,对于椭圆的标准方程也可用同样的方法去做,便可得到一般性的结论,完成了认识的第一个阶段:由特殊到一般;利用一般性的结论再去验证本题的答案,完成了认识的第二个阶段:由一般到特殊。变式拓展1给出了对比;拓展3至拓展5,由具体有解问题到一般有解问题,再到恒成立问题,步步为营,由浅入深,设计巧妙,符合学生的认知规律。