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摘 要：文章以游戏机产业为背景，研究了平行多重注册下的双边市场。文章建立了一个考虑纯网络效应的双寡头模型，求解出平行多重注册的市场中均衡时的注册量、价格结构和利润水平，发现当两家相互博弈的游戏机厂商纳什均衡时，各组用户的均衡价格与本组的均衡注册量成正比。此时，运输成本低、从另一组用户处获得间接网络效应大的那组用户在价格结构中被补贴。文章认为平行多重注册得以存在并维系的原因是，平台上的两组用户都面临着较大的间接网络效应，并且平台差异性对两组用户都不太大。
关键词：间接网络效应 平台 平行多重注册 游戏机
中图分类号:F062.9文献标识码:A
文章编号:1004-4914(2008)03-051-03
一、导言与文献回顾
随着学者们对间接网络外部性的研究不断深入，双边市场（two-sided market）这个新兴的领域被开拓了（Rochet & Tirole，2003和Armstrong，2004），一系列带有平台或中介性质的产品或服务得到了新的经济学解释。借助于双边市场的理论成果，本文将对又爱又恨的家用电视游戏机进行更理性的思考。并且，以家用电视游戏机产业为背景，阐述双边市场中的平行多重注册问题。
通常，双边市场指的是这么一种商业模式：其中有三个行为主体——平台（platform），以及平台面临的两组用户。平台试图通过适当地收取费用，将双方（或多方）吸引到平台上，使这些最终用户间达成相互作用（Rochet & Tirole , 2006）。这里的平台在很多文献里也被称作中介（intermediary）。只有一个垄断平台，结构最简单的双边市场模式如图1所示。双边市场的关键经济特性在于其存在双边的网络外部性：某一方用户中代理人的效用是另一方组中代理人数量的增函数(Roson，2005）。而且，双方都不能做到将这种外部性由本方内部产生（Evans，2003）。
游戏机行业正是这么一个双边市场特征明显的行业：作为平台的游戏机，及作为两组用户的玩家和第三方游戏商。游戏机厂商生产并向玩家销售其游戏机主机，以获得部分收入（平台费）；同时，也向第三方游戏商收取专利费（平台费），使游戏商能在其游戏机平台上开发并销售游戏。游戏机厂商作为双边市场中的平台精妙地控制着游戏机的售价和专利费的关系（该价格结构中，游戏机以低于成本的价格销售，而由专利费来补贴玩家），使一定的价格结构下自身的利润最大化。双边市场中的游戏机玩家希望其购买的游戏机上有足够多精彩的游戏，而第三方游戏商也希望其游戏发行的平台（游戏主机）能有足够的销量，从而卖出更多的游戏。这样，游戏越多越精彩的游戏机其销量就越好，而销量好的（或预计好的）游戏机又能吸引更多第三方游戏的加入。上述玩家与第三方游戏商的关系，便是游戏机产业中存在的双边的间接网络效应。而且，这种间接网络效应也经过了实证检验（Lee & Venkatraman，2003和Clements & Ohashi，2005）。
在上述双边市场的必要因素以外，游戏机行业还有着平行多重注册（parallel multi-homing）的特点。根据Gabszewicz & Wauthy（2004）中的定义2，如果平台面临的两组用户中，都有一部分用户多重注册，那么就构成了平行多重注册。这种情形与游戏机产业的现实十分吻合：有些游戏玩家拥有同时代的两种由不同厂商生产的游戏机（如同时拥有PS3和Wii），有些第三方游戏商则将自己的某款游戏经过移植后，可以在不同的游戏主机（甚至PC机）上运行。但是，这种平行多重注册的现象无论在理论研究还是实证研究中都鲜有提及。该市场结构下的均衡注册量、均衡价格结构、均衡利润水平如何？是什么因素造成了两边的用户都会部分地多重注册？这些问题构成了本文的研究内容，也是本文区别于其他同样运用双边市场理论解释游戏机产业的文献（Hagiu，2005）的地方。
二、模型的设定
本模型的灵感源于Armstrong & Wright（2004），但关键的（12）式构成了两者的根本不同：Armstrong & Wright（2004）中基本模型所描述的双边市场处于竞争瓶颈中，而本文则研究平行多重注册。基于研究对象的不同和游戏机行业的特点，具体而言模型有着以下方面的基本设定：
1．霍泰林模型。游戏机产业是寡头垄断特征明显的行业，通常2～3家厂商就垄断了全球的游戏机市场。因此，模型将采用霍泰林模型的形式，并经过改造使之能反映双边市场中的间接网络外部性。
模型中，游戏机主机的生产商要面对双边市场中的两组用户：游戏玩家（或称为组1用户）和第三方游戏商（或称为组2用户）。然后，假设市场上只有两个游戏机厂商Ａ和Ｂ，分别生产两种互不兼容的游戏主机A和B，这两种游戏机所提供的关于游戏的基本功能是大致相同的——插上游戏卡或光盘，连上电视机，然后拿起手柄开始游戏。但是它们也有着一些细微的横向差异，因而每个玩家或第三方游戏商对两种游戏机的偏好都是不同的。平台间的差异使得不同用户的各种偏好未必能一一满足。因此，用户在选择平台时需承担因偏好未完全满足带来的成本。就建模而言,本文使用相距为1的直线两端代表了两种极端的偏好。处于x=0处的用户，对主机A的有着最大的偏好，而处于x=1处的用户，则对主机B的有着最大的偏好。第i组用户来说，他们的偏好是均匀分布的：x～U(0，1)（i=1,2）。本文分别使用t1和t2表示玩家和第三方游戏商面临的运输成本（或者说平台的差异化程度），t1和t2都是对上述直线上的单位距离而言的。游戏玩家这组的用户总数假定为1，同时市场上也有总量为1的第三方游戏。
2．注册量。鉴于玩家和游戏商在选择游戏主机时，都存在着部分的多重注册，以往双边市场文献中的单一注册模型和竞争瓶颈下的多重注册模型都不再适用。因此，本文的模型将假设双边市场上的两组用户，都可以多重注册。定义nA1（或nB1）为购买过A型（或B型）游戏主机的玩家数，则单一注册于A型游戏机的玩家数为1-nB1，单一注册于B型机的玩家数量为1-nA1。相类似的定义也适用于第三方游戏。那么，根据多重注册的定义，可以得到多重注册于两个平台的玩家数量或第三方游戏数量：nAi+nBi-1。
3．网络效应。为了表达玩家和第三方游戏商间存在着的接网络外部性，使用α1表示玩家预期每增加一单位游戏能对其带来的间接网络效应。同样，每增加一单位拥有某种游戏主机的玩家，第三方游戏商也将预期在该主机平台上的游戏会带来净利润α2。须指出的是，虽然Shankar & Bayus（2003）等文献已经指出过，游戏玩家这组消费者内部存在着正的网络外部性，但是由于本文的研究范围所限，不将其纳入模型的设定。
4．价格。对于玩家而言，他们只有支付了游戏机j的售价Pj1后，才能进行游戏。因此，游戏机的售价相当于向游戏玩家收取的平台成员资格费。这里可以合理地假定，游戏机售价Pj1为非负。对于第三方游戏商而言，他们每发行一个基于j主机的游戏，游戏机厂商j对每个游戏收取价格为Pj2的固定的专利费（royalty）作为平台收取的成员资格费。
5．固定效用。还要假定的是，在玩家购得一款或两款游戏机后，都会获得某一固定的效用V1，比如说游戏机厂商附赠的游戏，或是游戏机除游戏功能以外的功能。同游戏玩家一样，只要第三方游戏商在任一平台（或两者）上发行过某款软件，就能从中获得固定效用V2。继续假定，无论V1是还是V2，都是足够大的，这样模型中就不用考虑有可能不购买游戏机的玩家或不发行游戏的第三方游戏商。
三、模型的推导及结论
为了得到市场均衡时游戏机的产量和价格、第三方游戏商的游戏供给量以及游戏机厂商向每部第三方游戏收取的平台费，本文遵循如下的推导思路：从玩家或者第三方游戏商的效用函数出发，得到逆需求函数，最后解出纳什均衡时的古诺解。详见命题１的证明。
命题1：平行多重注册的双边市场中，假定满足αi＞2ti＞0且Vi都足够大，那么就存在着惟一的稳定均衡。均衡时各平台上的注册量和价格都相等：
首先，根据既有的设定，考虑偏好为x的某游戏玩家的效用U1。购买游戏机A后，该玩家能获得正效用包括：游戏机能给玩家带来的固定效用V1和游戏机带来的间接网络效应α1nA2。如果该玩家同时购买了两种游戏机，则间接网络效应为α1。该玩家为了得到此游戏机A，需要付出的代价则包括了游戏机的售价PA1和运输成本t1x。当然，如果购买的是游戏机B，则运输成本则为t1(1-x)，而多重注册的玩家要承担两种游戏机的售价和运输成本。这样，对于各种情况，处于x处的游戏玩家在购买游戏机后的效用U1为：
这样，根据自身的不同偏好，或者说所能承受的不同运输成本，不同的游戏玩家会做出各自的理性选择。偏好位于x1左边的玩家将只选择购买游戏机A，偏好位于x2右边的玩家将只购买游戏机B，而介于这两个临界值之间的用户，选择同时购买两个游戏机可以使他们的效用比单一购买任何一种游戏机时大（见图2）。
值得提醒的是，相同模式的效用函数对第三方游戏商也存在，仅需将各变量的下标做相应调整。不过，对于第三方游戏商来说，这样的效用函数不考虑游戏软件多重注册时的移植成本，把现实中也不算大的移植成本假定为0。
从逆需求函数中可以看出，由于间接网络外部性的作用，平行多重注册时，对某一组用户的定价，将不可避免地考虑该组用户在本平台上的注册数和另一组用户在对手平台上的注册数。虽然逆需求函数的外观比一般的逆需求函数复杂，而且由两个等式构成，但并不妨碍对其求解。现实中，游戏机厂商通常是以销售量作为行为变量来争取最大利润的，故此处也采用求解古诺均衡的办法。这里，需要假定两家游戏机厂商都是理性的，他们能完全清楚地意识到模型中的各个外生参数的大小。所以，他们也能够准确预测对方的游戏机的销量和第三方软件数量，并据此同时得出使各自利润最大化的注册量水平。同时，游戏玩家和第三方游戏商也根据此注册量水平及相应的价格理性地做出自己的决策。最后，两个理性的游戏机厂商将达成的是一种博弈完美纳什均衡。
开始求解前，还需先定义游戏厂商的利润函数，利润为向游戏玩家销售游戏机获得的收入加上根据接入游戏的数量向第三方游戏商收取的专利费。对于游戏机厂商A和B，他们的利润函数为：
由于均衡时的游戏机产量和第三方游戏数量不受游戏机厂商自身因素的影响，故均衡时两家游戏机厂商的客户数量都是一样的。以游戏玩家为例，考察外生参数对均衡注册量的影响，可以发现nj1与平台差异化程度t1和网络效应α2成正比，但与网络效应α1和平台差异化程度t2成反比。
在得出均衡注册量后，根据逆需求函数（5.1）和（5.2），将均衡注册量（8）代入后就可以得到纳什均衡时的各游戏机厂商为各组用户制定的价格：
很明显，均衡时的价格与平台注册量存在着关系：Pj*i=tinj*i。由于间接网络效应的作用，在两组用户都多重注册的双边市场上，均衡时出现了最优价格与最优注册量成正比的情形。这似乎出乎常理，但是也可以被解释。一是因为注册量越大的平台，对用户的价值也越大；二是因为在霍泰林模型中，单个消费者的需求缺乏弹性。也就是说无论用户有着何种偏好，都必须至少注册于一个平台。
得到了均衡价格后，可以考察均衡时的价格结构，以在A型游戏机上的价格为例：
在该价格结构中，运输成本越高、或间接网络效应越低的那组用户，将处于劣势的地位。也就是说，如果第三方游戏商相对于玩家更挑剔游戏机平台，或者每增加一单位玩家给游戏商带来的潜在收入比每增加一个游戏给玩家带来的潜在效用小，那么就会发生交叉补贴——游戏玩家以低于游戏机成本的价格购买游戏机，由第三方游戏商对此进行补贴。
接着，将均衡时的价铬和注册量带入利润函数（6），可以得到均衡时的利润（11）：
在平行多重注册的均衡注册量、均衡价格和均衡利润都被得出后，最后一个需要留意的问题便是，这样的均衡是否存在、存在的条件又是什么。由平行多重注册的定义，我们可以知道，对于每一个平台的每一组用户，总有一部分用户同时注册于两个平台，但又不是所有用户都注册于两个平台（全面多重注册）。所以，nj*i必须介于0.5～1之间。结合游戏机产业中运输成本和网络效应非负的设定，就得到使得游戏机产业中平行多重注册得以维系的条件：
化简之，即：αi＞2ti＞0（12）
该条件明确地指出了，使得平行多重注册得以存在的原因是平台的两组用户都有着较大的间接网络效应（αi），并且平台差异性对两组用户来说都不够大（ti不大，至少小于αi的一半）。当然平台的差异性也不能过小，因为Armstrong & Wright（2004）已经证明，若平台的第i组用户的ti为0并满足其他若干条件，那么市场的均衡将是竞争瓶颈。
四、结论与展望
本文站在双边市场的视角，建立了一个反映纯网络效应的双寡头模型，对游戏机行业进行了理论研究。本文所建立的基本模型借鉴了Armstrong & Wright（2004）中的竞争瓶颈模型，但是改变了网络效应和运输成本的取值范围，从而将两个相互竞争的游戏机厂商置于平行多重注册的市场结构下进行研究。研究发现，当平台上的两组用户的间接网络效应大于平台差异性的两倍、且平台差异性也不是很小时，均衡的市场是平行多重注册的。也就是说，游戏机市场中平行多重注册的出现，是因为游戏机玩家和第三方游戏商都有着较大的间接网络效应和较小的运输成本。研究还得出了双边市场处于平行多重注册时均衡价格、均衡注册量和均衡利润的对称解。当两家相互博弈的游戏机厂商达成纳什均衡时，各组的均衡价格与该组的均衡注册量成正比。根据均衡时的价格，本文还考察了竞争均衡时的价格结构，发现对于同一平台的两组用户而言，哪组用户面临的运输成本低，或从另一组获得的间接网络效应高，则该组用户将在此平台的均衡价格结构中处于有利地位，享受另一组用户的补贴。这就解释了为什么游戏机厂商总是以低于成本的售价把主机卖给玩家，而向第三方游戏商收取高昂的专利费。
回顾全文，有关于平行多重注册下的游戏机产业的理论研究，仍有几方面的问题值得进一步探索。首先是关于成本。本文中的基本模型中仅考虑了纯网络效应的问题，但现实中平台的成本因素也是十分重要的。至少就游戏机行业而言，成本因素有时可以决定一台主机的命运。第二，如果平行多重注册下的均衡不是如本文那样瞬间决定的，而是平台间的动态博弈过程，竞争达到的均衡是什么样的？对游戏机行业而言，新一代游戏机主机发布的时机将如何影响主机的竞争（先行者是否存在优势）、渗透定价的策略是否奏效，都需要理论上的解释。最后，也是一个困扰双边市场研究的共性问题：是什么因素使得有些双边市场中呈现平行多重注册，而有些是单一注册，有些则是竞争瓶颈？或者说，除了网络效应和平台差异性这两个常见的解释以外，是否还存在其它因素，能影响或决定双边市场的市场结构。
(作者单位：上海大学国际工商与管理学院经济学系 上海 200444)（责编：贾伟）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：间接网络效应 平台 平行多重注册 游戏机
中图分类号:F062.9文献标识码:A
文章编号:1004-4914(2008)03-051-03
一、导言与文献回顾
随着学者们对间接网络外部性的研究不断深入，双边市场（two-sided market）这个新兴的领域被开拓了（Rochet & Tirole，2003和Armstrong，2004），一系列带有平台或中介性质的产品或服务得到了新的经济学解释。借助于双边市场的理论成果，本文将对又爱又恨的家用电视游戏机进行更理性的思考。并且，以家用电视游戏机产业为背景，阐述双边市场中的平行多重注册问题。
通常，双边市场指的是这么一种商业模式：其中有三个行为主体——平台（platform），以及平台面临的两组用户。平台试图通过适当地收取费用，将双方（或多方）吸引到平台上，使这些最终用户间达成相互作用（Rochet & Tirole , 2006）。这里的平台在很多文献里也被称作中介（intermediary）。只有一个垄断平台，结构最简单的双边市场模式如图1所示。双边市场的关键经济特性在于其存在双边的网络外部性：某一方用户中代理人的效用是另一方组中代理人数量的增函数(Roson，2005）。而且，双方都不能做到将这种外部性由本方内部产生（Evans，2003）。
游戏机行业正是这么一个双边市场特征明显的行业：作为平台的游戏机，及作为两组用户的玩家和第三方游戏商。游戏机厂商生产并向玩家销售其游戏机主机，以获得部分收入（平台费）；同时，也向第三方游戏商收取专利费（平台费），使游戏商能在其游戏机平台上开发并销售游戏。游戏机厂商作为双边市场中的平台精妙地控制着游戏机的售价和专利费的关系（该价格结构中，游戏机以低于成本的价格销售，而由专利费来补贴玩家），使一定的价格结构下自身的利润最大化。双边市场中的游戏机玩家希望其购买的游戏机上有足够多精彩的游戏，而第三方游戏商也希望其游戏发行的平台（游戏主机）能有足够的销量，从而卖出更多的游戏。这样，游戏越多越精彩的游戏机其销量就越好，而销量好的（或预计好的）游戏机又能吸引更多第三方游戏的加入。上述玩家与第三方游戏商的关系，便是游戏机产业中存在的双边的间接网络效应。而且，这种间接网络效应也经过了实证检验（Lee & Venkatraman，2003和Clements & Ohashi，2005）。
在上述双边市场的必要因素以外，游戏机行业还有着平行多重注册（parallel multi-homing）的特点。根据Gabszewicz & Wauthy（2004）中的定义2，如果平台面临的两组用户中，都有一部分用户多重注册，那么就构成了平行多重注册。这种情形与游戏机产业的现实十分吻合：有些游戏玩家拥有同时代的两种由不同厂商生产的游戏机（如同时拥有PS3和Wii），有些第三方游戏商则将自己的某款游戏经过移植后，可以在不同的游戏主机（甚至PC机）上运行。但是，这种平行多重注册的现象无论在理论研究还是实证研究中都鲜有提及。该市场结构下的均衡注册量、均衡价格结构、均衡利润水平如何？是什么因素造成了两边的用户都会部分地多重注册？这些问题构成了本文的研究内容，也是本文区别于其他同样运用双边市场理论解释游戏机产业的文献（Hagiu，2005）的地方。
二、模型的设定
本模型的灵感源于Armstrong & Wright（2004），但关键的（12）式构成了两者的根本不同：Armstrong & Wright（2004）中基本模型所描述的双边市场处于竞争瓶颈中，而本文则研究平行多重注册。基于研究对象的不同和游戏机行业的特点，具体而言模型有着以下方面的基本设定：
1．霍泰林模型。游戏机产业是寡头垄断特征明显的行业，通常2～3家厂商就垄断了全球的游戏机市场。因此，模型将采用霍泰林模型的形式，并经过改造使之能反映双边市场中的间接网络外部性。
模型中，游戏机主机的生产商要面对双边市场中的两组用户：游戏玩家（或称为组1用户）和第三方游戏商（或称为组2用户）。然后，假设市场上只有两个游戏机厂商Ａ和Ｂ，分别生产两种互不兼容的游戏主机A和B，这两种游戏机所提供的关于游戏的基本功能是大致相同的——插上游戏卡或光盘，连上电视机，然后拿起手柄开始游戏。但是它们也有着一些细微的横向差异，因而每个玩家或第三方游戏商对两种游戏机的偏好都是不同的。平台间的差异使得不同用户的各种偏好未必能一一满足。因此，用户在选择平台时需承担因偏好未完全满足带来的成本。就建模而言,本文使用相距为1的直线两端代表了两种极端的偏好。处于x=0处的用户，对主机A的有着最大的偏好，而处于x=1处的用户，则对主机B的有着最大的偏好。第i组用户来说，他们的偏好是均匀分布的：x～U(0，1)（i=1,2）。本文分别使用t1和t2表示玩家和第三方游戏商面临的运输成本（或者说平台的差异化程度），t1和t2都是对上述直线上的单位距离而言的。游戏玩家这组的用户总数假定为1，同时市场上也有总量为1的第三方游戏。
2．注册量。鉴于玩家和游戏商在选择游戏主机时，都存在着部分的多重注册，以往双边市场文献中的单一注册模型和竞争瓶颈下的多重注册模型都不再适用。因此，本文的模型将假设双边市场上的两组用户，都可以多重注册。定义nA1（或nB1）为购买过A型（或B型）游戏主机的玩家数，则单一注册于A型游戏机的玩家数为1-nB1，单一注册于B型机的玩家数量为1-nA1。相类似的定义也适用于第三方游戏。那么，根据多重注册的定义，可以得到多重注册于两个平台的玩家数量或第三方游戏数量：nAi+nBi-1。
3．网络效应。为了表达玩家和第三方游戏商间存在着的接网络外部性，使用α1表示玩家预期每增加一单位游戏能对其带来的间接网络效应。同样，每增加一单位拥有某种游戏主机的玩家，第三方游戏商也将预期在该主机平台上的游戏会带来净利润α2。须指出的是，虽然Shankar & Bayus（2003）等文献已经指出过，游戏玩家这组消费者内部存在着正的网络外部性，但是由于本文的研究范围所限，不将其纳入模型的设定。
4．价格。对于玩家而言，他们只有支付了游戏机j的售价Pj1后，才能进行游戏。因此，游戏机的售价相当于向游戏玩家收取的平台成员资格费。这里可以合理地假定，游戏机售价Pj1为非负。对于第三方游戏商而言，他们每发行一个基于j主机的游戏，游戏机厂商j对每个游戏收取价格为Pj2的固定的专利费（royalty）作为平台收取的成员资格费。
5．固定效用。还要假定的是，在玩家购得一款或两款游戏机后，都会获得某一固定的效用V1，比如说游戏机厂商附赠的游戏，或是游戏机除游戏功能以外的功能。同游戏玩家一样，只要第三方游戏商在任一平台（或两者）上发行过某款软件，就能从中获得固定效用V2。继续假定，无论V1是还是V2，都是足够大的，这样模型中就不用考虑有可能不购买游戏机的玩家或不发行游戏的第三方游戏商。
三、模型的推导及结论
为了得到市场均衡时游戏机的产量和价格、第三方游戏商的游戏供给量以及游戏机厂商向每部第三方游戏收取的平台费，本文遵循如下的推导思路：从玩家或者第三方游戏商的效用函数出发，得到逆需求函数，最后解出纳什均衡时的古诺解。详见命题１的证明。
命题1：平行多重注册的双边市场中，假定满足αi＞2ti＞0且Vi都足够大，那么就存在着惟一的稳定均衡。均衡时各平台上的注册量和价格都相等：
首先，根据既有的设定，考虑偏好为x的某游戏玩家的效用U1。购买游戏机A后，该玩家能获得正效用包括：游戏机能给玩家带来的固定效用V1和游戏机带来的间接网络效应α1nA2。如果该玩家同时购买了两种游戏机，则间接网络效应为α1。该玩家为了得到此游戏机A，需要付出的代价则包括了游戏机的售价PA1和运输成本t1x。当然，如果购买的是游戏机B，则运输成本则为t1(1-x)，而多重注册的玩家要承担两种游戏机的售价和运输成本。这样，对于各种情况，处于x处的游戏玩家在购买游戏机后的效用U1为：
这样，根据自身的不同偏好，或者说所能承受的不同运输成本，不同的游戏玩家会做出各自的理性选择。偏好位于x1左边的玩家将只选择购买游戏机A，偏好位于x2右边的玩家将只购买游戏机B，而介于这两个临界值之间的用户，选择同时购买两个游戏机可以使他们的效用比单一购买任何一种游戏机时大（见图2）。
值得提醒的是，相同模式的效用函数对第三方游戏商也存在，仅需将各变量的下标做相应调整。不过，对于第三方游戏商来说，这样的效用函数不考虑游戏软件多重注册时的移植成本，把现实中也不算大的移植成本假定为0。
从逆需求函数中可以看出，由于间接网络外部性的作用，平行多重注册时，对某一组用户的定价，将不可避免地考虑该组用户在本平台上的注册数和另一组用户在对手平台上的注册数。虽然逆需求函数的外观比一般的逆需求函数复杂，而且由两个等式构成，但并不妨碍对其求解。现实中，游戏机厂商通常是以销售量作为行为变量来争取最大利润的，故此处也采用求解古诺均衡的办法。这里，需要假定两家游戏机厂商都是理性的，他们能完全清楚地意识到模型中的各个外生参数的大小。所以，他们也能够准确预测对方的游戏机的销量和第三方软件数量，并据此同时得出使各自利润最大化的注册量水平。同时，游戏玩家和第三方游戏商也根据此注册量水平及相应的价格理性地做出自己的决策。最后，两个理性的游戏机厂商将达成的是一种博弈完美纳什均衡。
开始求解前，还需先定义游戏厂商的利润函数，利润为向游戏玩家销售游戏机获得的收入加上根据接入游戏的数量向第三方游戏商收取的专利费。对于游戏机厂商A和B，他们的利润函数为：
由于均衡时的游戏机产量和第三方游戏数量不受游戏机厂商自身因素的影响，故均衡时两家游戏机厂商的客户数量都是一样的。以游戏玩家为例，考察外生参数对均衡注册量的影响，可以发现nj1与平台差异化程度t1和网络效应α2成正比，但与网络效应α1和平台差异化程度t2成反比。
在得出均衡注册量后，根据逆需求函数（5.1）和（5.2），将均衡注册量（8）代入后就可以得到纳什均衡时的各游戏机厂商为各组用户制定的价格：
很明显，均衡时的价格与平台注册量存在着关系：Pj*i=tinj*i。由于间接网络效应的作用，在两组用户都多重注册的双边市场上，均衡时出现了最优价格与最优注册量成正比的情形。这似乎出乎常理，但是也可以被解释。一是因为注册量越大的平台，对用户的价值也越大；二是因为在霍泰林模型中，单个消费者的需求缺乏弹性。也就是说无论用户有着何种偏好，都必须至少注册于一个平台。
得到了均衡价格后，可以考察均衡时的价格结构，以在A型游戏机上的价格为例：
在该价格结构中，运输成本越高、或间接网络效应越低的那组用户，将处于劣势的地位。也就是说，如果第三方游戏商相对于玩家更挑剔游戏机平台，或者每增加一单位玩家给游戏商带来的潜在收入比每增加一个游戏给玩家带来的潜在效用小，那么就会发生交叉补贴——游戏玩家以低于游戏机成本的价格购买游戏机，由第三方游戏商对此进行补贴。
接着，将均衡时的价铬和注册量带入利润函数（6），可以得到均衡时的利润（11）：
在平行多重注册的均衡注册量、均衡价格和均衡利润都被得出后，最后一个需要留意的问题便是，这样的均衡是否存在、存在的条件又是什么。由平行多重注册的定义，我们可以知道，对于每一个平台的每一组用户，总有一部分用户同时注册于两个平台，但又不是所有用户都注册于两个平台（全面多重注册）。所以，nj*i必须介于0.5～1之间。结合游戏机产业中运输成本和网络效应非负的设定，就得到使得游戏机产业中平行多重注册得以维系的条件：
化简之，即：αi＞2ti＞0（12）
该条件明确地指出了，使得平行多重注册得以存在的原因是平台的两组用户都有着较大的间接网络效应（αi），并且平台差异性对两组用户来说都不够大（ti不大，至少小于αi的一半）。当然平台的差异性也不能过小，因为Armstrong & Wright（2004）已经证明，若平台的第i组用户的ti为0并满足其他若干条件，那么市场的均衡将是竞争瓶颈。
四、结论与展望
本文站在双边市场的视角，建立了一个反映纯网络效应的双寡头模型，对游戏机行业进行了理论研究。本文所建立的基本模型借鉴了Armstrong & Wright（2004）中的竞争瓶颈模型，但是改变了网络效应和运输成本的取值范围，从而将两个相互竞争的游戏机厂商置于平行多重注册的市场结构下进行研究。研究发现，当平台上的两组用户的间接网络效应大于平台差异性的两倍、且平台差异性也不是很小时，均衡的市场是平行多重注册的。也就是说，游戏机市场中平行多重注册的出现，是因为游戏机玩家和第三方游戏商都有着较大的间接网络效应和较小的运输成本。研究还得出了双边市场处于平行多重注册时均衡价格、均衡注册量和均衡利润的对称解。当两家相互博弈的游戏机厂商达成纳什均衡时，各组的均衡价格与该组的均衡注册量成正比。根据均衡时的价格，本文还考察了竞争均衡时的价格结构，发现对于同一平台的两组用户而言，哪组用户面临的运输成本低，或从另一组获得的间接网络效应高，则该组用户将在此平台的均衡价格结构中处于有利地位，享受另一组用户的补贴。这就解释了为什么游戏机厂商总是以低于成本的售价把主机卖给玩家，而向第三方游戏商收取高昂的专利费。
回顾全文，有关于平行多重注册下的游戏机产业的理论研究，仍有几方面的问题值得进一步探索。首先是关于成本。本文中的基本模型中仅考虑了纯网络效应的问题，但现实中平台的成本因素也是十分重要的。至少就游戏机行业而言，成本因素有时可以决定一台主机的命运。第二，如果平行多重注册下的均衡不是如本文那样瞬间决定的，而是平台间的动态博弈过程，竞争达到的均衡是什么样的？对游戏机行业而言，新一代游戏机主机发布的时机将如何影响主机的竞争（先行者是否存在优势）、渗透定价的策略是否奏效，都需要理论上的解释。最后，也是一个困扰双边市场研究的共性问题：是什么因素使得有些双边市场中呈现平行多重注册，而有些是单一注册，有些则是竞争瓶颈？或者说，除了网络效应和平台差异性这两个常见的解释以外，是否还存在其它因素，能影响或决定双边市场的市场结构。
(作者单位：上海大学国际工商与管理学院经济学系 上海 200444)（责编：贾伟）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”