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摘要：在进行GPS水准高程测量时，水准联测点对高程拟合有较大的影响，本文首先对水准联合测点的优化选择问题进行了分析，并对拟合误差最小目标函数水准联测点的优化措施进行了研究，提出了GPS水准联测点的两种方法，最后经过计算证明，使用这两种方法可得到相同的GPS水准点，并得到了最小拟合误差。
关键词：GPS;水准拟合;优化
GPS水准拟合的应用很广，大到似大地水准面的精化，小到一个工程网中用来代替三、四等水准测量。而GPS水准拟合的模型也因区域大小而异，如全国或省市级似大地水准面精化时可用多面函数、样条函数或调和函数等;在小范围工程测量中可用多面函数和多项式等;当高程控制网布设成线状或带状时（如道路等），也可采用曲线形式来拟合;在测区面积较大，高程异常变化复杂的区域内，可采用分区拟合的方法。
1 GPS水准拟合的原理
GPS测量得到的大地高是相对于WGS-84椭球的，而正常高是以似大地水准面为高程起算面的，二者的其转换关系为：Hr=H+ξ（1）式中Hr为正常高;H为大地高;ξ为高程异常。由上式可知，由大地高转化得到高精度的正常高的关键是求定高精度的高程异常，GPS水准拟合是常用的方法之一。GPS水准拟合就是通过GPS与水准点的重合求出重合点的高程异常，运用重合点的高程异常拟合出某一区域的似大地水准面，经过坐标内插得到该区域任意点的高程异常，从而得到其他GPS点的正常高。对于似大地水准面的拟合，为了不失一般性，也顾及下面的实例，这里仅采用二次曲面函数作为拟合函数。
2 GPS水准拟合模型
2.1曲线拟合法
当GPS点呈线状布设（未构成网状，如铁路、公路的初测导线等），在认定沿线似大地水準面为一条连续而光滑的曲线的前提下，可应用线性拟合法，求待定点的正常高。其原理是：根据高程控制点的平面坐标及其高程异常值，通过构造一个插值函数来拟合测线方向上的似大地水准面曲线，然后据此内插其它点的高程异常。以下是本文研究的几种典型的曲线拟合法。
2.2逐点剔除法
这里介绍沈云中教授提出的逐点剔除法，逐点剔除法是与全组合方法相对而提出的，因为在GPS水准优化中关于最佳重合点数及其分布的确定是要在某一准则的基础上进行逐一比较才能确定的。假设某一GPS网中联测了n个GPS水准点，现选取m个点参与拟合计算，客观上存在一组m个点的组合使最终拟合计算的结果最优，在此我们称这m个GPS水准点为最佳拟合方案。全组合法就是将每组拟合方案的拟合结果都算出来，精度最高的一组即为最优方案，实际上这种算法往往是不可能实现的，而逐点剔除法的基本思想是从n个重合点中逐点剔除对拟合精度贡献最小的点，最后剩下的m个重合点就是GPS水准拟合计算的最优拟合方案。从n个点中剔除一点，共有n种剔除方案，若其中某种方案求得的拟合结果精度最高，则采用该方案，剔除该方案所剔除的点，使得总点数降为n-1。依此类推，直到剩下m个点，即为最优的GPS水准点。该算法总共需要计算n+（n-1）+Λ+（m+1）种方案，这是普通计算机可以胜任的。接下来的问题就是如何确定重合点数m，只需将逐点剔除法略加拓展，因为当给定某一拟合函数后，为能采用参数平差法进行求解，最少的重合点数是已经确定的，如本文采用二次曲面函数，最少重合点数为6，因此只需采用逐点剔除法将重合总点数n逐点剔除直至为6，然后比较重合点为6～n中精度最高的即为最佳重合点数，相应点的分布即为最佳分布。
2.3三次样条曲线拟合法
当测线长，己知点ζi多变化较大时，为避免高次插值的振荡现象，同时又保证分段低次插值连接点上的光滑性，为此，通常采取分段计算，以三次样条函数作为拟合模型。
2.4多项式曲面拟合
多项式曲面拟合法是GPS水准中最常用的几何方法之一。多项式曲面拟合法是认为高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常（或高程异常差）近似地看作是一定范围内各点坐标的曲面函数，用这一拟合函数来计算其它GPS点的高程异常和正常高。
2.5解析法
在对测区中大地水准面进行拟合时，解析法主要是使用数学模型来进行拟合的，当待测点的大地坐标是已知的，通过使用数学模型就可将高程异常精度计算出来。其中精度主要是由测区大地水准面和数学模型的拟合度来决定的。
3案例分析
3.1控制网和观测
某地形平缓区域GPS控制网的平均变长为1km，见图1。选用ASHTECHZ12GPS定位仪对各个控制点进行观测，观测时间持续90min，每间隔20s进行一次采样，图形强度因子GDOP<4。在进行研究时，采用Ⅱ级标准对控制点进行测量，使用精密星历对GPS网单独水平差进行测量，平面中最弱点的平面点位误差要控制在3mm以内，经过计算证明，差异的最大值为2.5mm以内，GPS定位精确度比较高。
3.2分析拟合模型
分别建模对差值模型和二次模型进行计算后证明，受粗差的影响，拟合误差在23.71mm内，模型精度较小。进行粗差剔除，并检测其显著性后，只需要7个点就可建立差值模型，模型拟合误差在0.55mm内，测量准确度显著提升。利用此模型可将各点高程推求出来，相较于Ⅱ等水准高程，中误差为1.26mm，达到了Ⅱ等水准的基本要求。
4结束语
从理论分析及实例计算可以看出，逐点剔除法在GPS水准拟合中重合点数及其分布的确定方面是一种行之有效的办法，可以改变传统上凭经验选取重合点的盲目性。当然，GPS水准拟合的优化还需兼顾模型选取以及评定标准的合理判定等因素，另外应对采取逐点剔除法所得到的最优重合点进行进一步分析，看是否与地形的特征点相一致，这样使得GPS水准优化不仅具有数学意义，而且兼顾物理特征，更具实际指导价值。
参考文献：
[1]李明峰，冯宝红，刘三枝.GPS定位技术及其应用[M].北京：国防工业出版社，2006.
[2]简程航.GPS高程拟合方法研究及其工程应用[D].北京：中国地质大学，2014.
（作者单位：河北省水利水电勘测设计研究院）
关键词：GPS;水准拟合;优化
GPS水准拟合的应用很广，大到似大地水准面的精化，小到一个工程网中用来代替三、四等水准测量。而GPS水准拟合的模型也因区域大小而异，如全国或省市级似大地水准面精化时可用多面函数、样条函数或调和函数等;在小范围工程测量中可用多面函数和多项式等;当高程控制网布设成线状或带状时（如道路等），也可采用曲线形式来拟合;在测区面积较大，高程异常变化复杂的区域内，可采用分区拟合的方法。
1 GPS水准拟合的原理
GPS测量得到的大地高是相对于WGS-84椭球的，而正常高是以似大地水准面为高程起算面的，二者的其转换关系为：Hr=H+ξ（1）式中Hr为正常高;H为大地高;ξ为高程异常。由上式可知，由大地高转化得到高精度的正常高的关键是求定高精度的高程异常，GPS水准拟合是常用的方法之一。GPS水准拟合就是通过GPS与水准点的重合求出重合点的高程异常，运用重合点的高程异常拟合出某一区域的似大地水准面，经过坐标内插得到该区域任意点的高程异常，从而得到其他GPS点的正常高。对于似大地水准面的拟合，为了不失一般性，也顾及下面的实例，这里仅采用二次曲面函数作为拟合函数。
2 GPS水准拟合模型
2.1曲线拟合法
当GPS点呈线状布设（未构成网状，如铁路、公路的初测导线等），在认定沿线似大地水準面为一条连续而光滑的曲线的前提下，可应用线性拟合法，求待定点的正常高。其原理是：根据高程控制点的平面坐标及其高程异常值，通过构造一个插值函数来拟合测线方向上的似大地水准面曲线，然后据此内插其它点的高程异常。以下是本文研究的几种典型的曲线拟合法。
2.2逐点剔除法
这里介绍沈云中教授提出的逐点剔除法，逐点剔除法是与全组合方法相对而提出的，因为在GPS水准优化中关于最佳重合点数及其分布的确定是要在某一准则的基础上进行逐一比较才能确定的。假设某一GPS网中联测了n个GPS水准点，现选取m个点参与拟合计算，客观上存在一组m个点的组合使最终拟合计算的结果最优，在此我们称这m个GPS水准点为最佳拟合方案。全组合法就是将每组拟合方案的拟合结果都算出来，精度最高的一组即为最优方案，实际上这种算法往往是不可能实现的，而逐点剔除法的基本思想是从n个重合点中逐点剔除对拟合精度贡献最小的点，最后剩下的m个重合点就是GPS水准拟合计算的最优拟合方案。从n个点中剔除一点，共有n种剔除方案，若其中某种方案求得的拟合结果精度最高，则采用该方案，剔除该方案所剔除的点，使得总点数降为n-1。依此类推，直到剩下m个点，即为最优的GPS水准点。该算法总共需要计算n+（n-1）+Λ+（m+1）种方案，这是普通计算机可以胜任的。接下来的问题就是如何确定重合点数m，只需将逐点剔除法略加拓展，因为当给定某一拟合函数后，为能采用参数平差法进行求解，最少的重合点数是已经确定的，如本文采用二次曲面函数，最少重合点数为6，因此只需采用逐点剔除法将重合总点数n逐点剔除直至为6，然后比较重合点为6～n中精度最高的即为最佳重合点数，相应点的分布即为最佳分布。
2.3三次样条曲线拟合法
当测线长，己知点ζi多变化较大时，为避免高次插值的振荡现象，同时又保证分段低次插值连接点上的光滑性，为此，通常采取分段计算，以三次样条函数作为拟合模型。
2.4多项式曲面拟合
多项式曲面拟合法是GPS水准中最常用的几何方法之一。多项式曲面拟合法是认为高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常（或高程异常差）近似地看作是一定范围内各点坐标的曲面函数，用这一拟合函数来计算其它GPS点的高程异常和正常高。
2.5解析法
在对测区中大地水准面进行拟合时，解析法主要是使用数学模型来进行拟合的，当待测点的大地坐标是已知的，通过使用数学模型就可将高程异常精度计算出来。其中精度主要是由测区大地水准面和数学模型的拟合度来决定的。
3案例分析
3.1控制网和观测
某地形平缓区域GPS控制网的平均变长为1km，见图1。选用ASHTECHZ12GPS定位仪对各个控制点进行观测，观测时间持续90min，每间隔20s进行一次采样，图形强度因子GDOP<4。在进行研究时，采用Ⅱ级标准对控制点进行测量，使用精密星历对GPS网单独水平差进行测量，平面中最弱点的平面点位误差要控制在3mm以内，经过计算证明，差异的最大值为2.5mm以内，GPS定位精确度比较高。
3.2分析拟合模型
分别建模对差值模型和二次模型进行计算后证明，受粗差的影响，拟合误差在23.71mm内，模型精度较小。进行粗差剔除，并检测其显著性后，只需要7个点就可建立差值模型，模型拟合误差在0.55mm内，测量准确度显著提升。利用此模型可将各点高程推求出来，相较于Ⅱ等水准高程，中误差为1.26mm，达到了Ⅱ等水准的基本要求。
4结束语
从理论分析及实例计算可以看出，逐点剔除法在GPS水准拟合中重合点数及其分布的确定方面是一种行之有效的办法，可以改变传统上凭经验选取重合点的盲目性。当然，GPS水准拟合的优化还需兼顾模型选取以及评定标准的合理判定等因素，另外应对采取逐点剔除法所得到的最优重合点进行进一步分析，看是否与地形的特征点相一致，这样使得GPS水准优化不仅具有数学意义，而且兼顾物理特征，更具实际指导价值。
参考文献：
[1]李明峰，冯宝红，刘三枝.GPS定位技术及其应用[M].北京：国防工业出版社，2006.
[2]简程航.GPS高程拟合方法研究及其工程应用[D].北京：中国地质大学，2014.
（作者单位：河北省水利水电勘测设计研究院）