圆锥曲线是平面解析几何的重要曲线，其性质是历年高考考查的重点，尤其是它的焦点弦不仅优美而且和谐.
　　性质1 AB和CD是过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，c2=a2-b2，c>0）右焦点F2（c，0）的两条弦，以弦AB和CD为直径的圆的公共弦为EF，
　　则直线EF过定点1+b22a2·c，0
　　证明：设LAB∶x-my+c与椭圆方程联立x=my+cx2a2+y2b2=1
　　可得（a2+b2m2）y2+2b2cmy-b4=0，根据韦达定理
　　yA+yB=-2b2cma2+b2m2，yAyB=-b4a2+b2m2=
　　xA+xB=m（yA+yB）+2c=2a2ca2+b2m2，
　　xAxB=（myA+c）（myB+c）=m2yAyB+cm（yA+yB）+c2
　　=a2c2-a2b2m2a2+b2m2，
　　设LCD∶x=ny+c，同理可得
　　yC+yD=-2b2cna2+b2n2，yCyD=-b4a2+b2n2，
　　xC+xD=n（yC+yD）+2c=2a2ca2+b2n2，
　　xCxD=n（yC+c）（nyD+c）=n2yCyD+cn（yC+yD）+c2
　　=a2c2-a2b2n2a2+b2n2，
　　以AB为直径的圆的方程：
　　（x-xA）（x-xB）+（y-yA）（y-yB）=0 （1）
　　以CD为直径的圆的方程：
　　（x-xC）（x-xD）+（y-yC）（y-yD）=0 （2）
　　（1）-（2）可得两圆公共弦EF的方程为：
　　x[（xC+xD）-（xA+xB）]+y[（yC+yD）-（yA+yB）]+xAxB+yAyB-xCxD-yCyD=0
　　x2a2ca2+b2n2-2a2ca2+b2m2+
　　y-2b2cma2+b2n2+2a2cma2+b2m2+
　　a2c2-a2b2m2a2+b2m2+-b4a2+b2m2-a2c2-a2b2n2a2+b2n2--b4a2+b2n2=0
　　x2a2ca2+b2n2-2a2ca2+b2m2+y[-2b2cna2+b2n2+2a2cma2+b2m2]
　　a2c2-a2b2m2-b4a2+b2m2+b4+a2b2n2-a2c2a2+b2n2=0
　　令 y=0
　　2a2b2cx（m2-n2）+（a2+b2n2）（a2c2-a2b2m2-b4）
　　+（a2+b2m2）（b4+a2b2n2-a2c2）=0
　　2a2b2cx（m2-n2）+a4c2-a4b2m2-a2b4+a2b2c2n2-a2b4m2n2-b6n2
　　+a2b4+a4b2n2-a4c2+b6m2+a2b4m2n2-a2b2c2m2=0
　　化简得
　　2a2b2cx（m2-n2）-a2b2m2+a2b2c2n2-b6n2+b6m2+a4b2n2-a2b2c2m2=0
　　2a2b2cx（m2-n2）+（n2-m2）（a2b2c2+a4b2-b6）=0
　　因为 m2≠n2
　　所以 x=a2c2+c2（a2+b2）2a2c=1+b22a2·c
　　既公共弦所在的直线EF始终过定点1+b22a2·c，0
　　同样可以证明：当弦过AB和CD过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）左焦点
　　F1（-c，0）时，直线EF始终过定点-1+b22a2·c，0
　　性质2 AB和CD是过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，c2=a2-b2，c>0）右焦点
　　F2（c，0）且互相垂直的两条弦，E、F分别是弦AB和CD的中点，
　　则直线EF过定点a2ca2+b2，0
　　证明：当m≠0时
　　根据性质（1）的证明过程知
　　xE=xA+xB2=a2Ca2+b2m2，yE=yA+yB2=-b2cma2+b2m2，
　　所以E点的坐标为a2ca2+b2m2，-b2cma2+b2m2
　　同理F的坐标为a2ca2+b2n2，-b2cna2+b2n2
　　直线EF所在的方程是：y--b2cma2+b2m2=
　　-b2cma2+b2m2--b2cna2+b2n2a2ca2+b2m2-a2ca2+b2n2x-a2ca2+b2m2
　　y--b2cma2+b2m2=
　　（m-n）（a2-mnb2）a2（m2-n2）x-a2ca2+b2m2
　　令y=0，根据mn=-1
　　x=a2b2c（m2-1）（a2+b2m2）（a2+b2）+a2ca2+b2m2=a2b2cm2-a2b2c+a4c+a2b2c（a2+b2m2）（a2+b2）
　　=a2c（b2m2+a2）（a2+b2m2）（a2+b2）=a2ca2+b2
　　所以直线EF过定点a2ca2+b2，0
　　当mn=0时，其中一条弦为椭圆的长轴，另一条弦和x轴垂直，它们中点的连线为x轴，显然过定点a2ca2+b2，0
　　综上直线EF恒过定点a2ca2+b2，0
　　同样可以证明，当AB和CD是过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）左焦点
　　F1（-c，0）且互相垂直的两条弦，E、F分别是弦AB和CD的中点，
　　则直线EF过定点-a2ca2+b2，0
　　性质3 过抛物线y2=2px，（p>0）的焦点F作两条弦AB和CD， 以弦AB和CD为直径的圆的公共弦为EF，则直线EF过定点（0，0）
　　性质4 过抛物线y2=2px，（p>0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB和CD， 弦AB和CD的中点分别为P、Q，则直线PQ过定点3p2，0
　　以上两个性质读者自己完成.
　　性质5 AB为过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，c2=a2-b2，c>0）右焦点F的弦（不与对称轴垂直），弦AB的垂直平分线L与x轴交于G，垂足为E点，
　　则|AB||GF|=2e是定值（e为椭圆的离心率）
　　证明 设|AF|=m，|BF|=n，（m>n），由于点E是AB的中点，所以|FE|=m-n2
　　过A、B两点分别作椭圆右准线的垂线，垂足为 C、D，则|AC|=me，|bd|=ne，过B点做BH⊥AC，垂足为H，|AH|=m-ne
　　Rt△ABH∽Rt△GEF |AB||GF|=|AH||FE|=m-nem-n2=2e
　　由以上证明过程可以得到：
　　过圆锥曲线的焦点F任作一条与对称轴不垂直的弦，交圆锥曲线于A、B两点，弦AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于G点，则|AB||GF|=2e（e为圆锥曲线的离心率）