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摘 要：一次八年级反比例函数试卷讲评课上，笔者做出了一次错误的“即兴变式”，而学生能质疑、思考，从问题的本质上释错．由这个“意外”，笔者反思了教学行为，并对如何培养学生“批判性思维品质”做一些思考，主要包括以下内容：确立为学生终身发展服务的理念；努力营造和谐师生关系；如何引导学生在数学学习上发展“批判性”思维品质．
关键词：即兴变式；教学行为；批判性思维；质疑听课法
源起
谁要想把所有的失误都关在门外，谁也就会把真善美也关在了门外．
下面是在一次八年级反比例函数试卷讲评课上，笔者的一次“即兴变式”引来的尴尬：
例1 如图1，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B，点P（m，n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图象上的点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面积为S.
（1）求点B坐标与k的值；
（2）当S=时，求P点坐标．
图1
第（1）问正确率很高，
答案：B（3，3），k=9.
第（2）问很多学生都只考虑了一种情况，即图形在阴影面积上，从而求出点P的一个坐标6，． 全班没有一个学生注意到问题的分类讨论，即当点P运动到点B左侧时，可求得P，6.
为了讲评效果好些，笔者将问题做了即兴变式：
变式1：若矩形OEPF和正方形OABC重合部分面积为S2，试写出S2与m的函数关系式，并写出m的取值范围.
学生们很快画出草图，写出了表达式S2=3m （03）.
下课铃响了，笔者很得意地又给出一个变式，让学生作为当天的课堂作业.
变式2：当S2=27时，试求出点P的坐标．
很多学生指着黑板上S2的表达式，意会只要代入即可求出m的两个值，点P的坐标也随之获得，笔者点头默认，满意地回到办公室．
接下来一节课是体育课，班上一个比较优秀的学生常某一下体育课，便气喘吁吁来到办公室，说：“老师，上节课最后加的一问“S2=27”不可能. 因为根据反比例函数中k的几何意义，矩形OEPF只能是9，它与正方形重合的部分是不可能达到27的.” 他疑惑地看着笔者.
笔者一愣，仔细一想，都是“即兴变式”惹的祸. 多亏学生常某的提醒，原来笔者随意改编问题，出现了科学性错误！笔者感到这是很好的发现，为了纠正这个错误，笔者让常某再进一步做思考：“你能进一步从图象上做出解释吗？中午自习时，你在班上给同学们讲一讲你的发现！”
看着他高兴的离办公室而去，笔者也为常某的“吾爱吾师，吾更爱真理”的质疑精神而高兴．
中午值班时，笔者来到教室，首先向全体学生“承认错误”：
“同学们，上午数学课我最后给出的变式2，给了一个27的数据. 常某同学在课间已跟我交流，证实了27是个错误数据，现在请他为我们讲一讲.” 笔者带头鼓掌为常某同学的质疑精神而高兴！同学们也兴奋地鼓起掌来．
常某学生的讲解也获得了满堂喝彩.
他说：“上午老师给出的27这个数据是错误的. 我是根据反比例函数中k的几何意义，矩形OEPF只能是9，它与正方形重合的部分是不可能达到27的. 为更明了地说明问题，我们把S2与m的函数图象画出来，大家就清楚了！”他在黑板上作出草图如下：
图2
“从图象上，可以发现，S的最大值只能是9，所以27这个数据是错误的．”
学生们会意地点点头. 笔者知道，这道题的讲评在变式、“意外生成”中，已达到很好的效果． 笔者让常某同学把这道题的求解、变式、错误发现、讲解整理成小论文，并帮助他录成word文档给杂志社投稿.三个月后，《数学周报》人教八下第42期刊登了常某的小论文《面积为什么不能为27》，常某还得到了35元的稿费．
思考
亚里士多德打17岁起就跟随其师柏拉图学习，时间长达20年之久． 对亚里士多德来说，柏拉图既是他非常崇敬的恩师还是他的挚友，正所谓：“良师益友”．他曾作诗这样赞美过柏拉图：“在众人之中，他也是唯一的，也是最初的……这样的人啊，如今已无处寻觅！” 然而，在探究真理的道路上，亚里士多德表现出极大的勇气：他不畏权威、不畏传统． 他毫不掩饰他在哲学思想的内容和方法上与恩师存在严重的分歧，毫不留情地批评恩师的错误．这很自然引来一些人的指责：亚氏是背叛恩师的忘恩负义之徒． 亚里士多德对此回敬了响彻历史长河的一句名言：“吾爱吾师．吾更爱真理！”
据郑毓信教授的论述，国际上，从20世纪80年代开始，教师开始得到越来越多的关注，研究者们多聚焦于教师的教学行为． 从而得出了“数学教学改革运动使教师在教育转变中的关键作用更为突出．” 作为一线教师的我们，教学行为该如何改进？当然很多，很复杂，非一两句话所能回答.
但从这次“即兴变式”产生的尴尬，笔者心生一得：重视学生“批判性”思维品质的培养是非常重要的． 如何培养这种品质呢？笔者做了以下几点思考.
思考1 确立为学生终身发展服务的理念
史宁中教授在“数学课程标准修订工作介绍”上提到：“你想一想小学数学那些内容，长大了到初中半年就教会了． 小学为什么用六年来教？事实上在教学过程中，要培养学生很好的学习习惯、思维习惯，养成良好的身心素质．” 可见，我们的教学行为首先应该服务于学生的终身发展，而通过数学学科的教学，加强“批判性”思维品质的培养，是对学生今后成长有益的．
思考2 努力营造“半肯”的教学文化
成尚荣先生认为，“当下教学改革的关键是营造‘半肯’的教学文化．” 这是很有见地的． 何谓“半肯”？笔者的理解是，教师不要全部呈现待教知识、方法，学生也不能完全迷信教师．给认知留下通道，给思维腾出空间，而且对任何知识、思想方法，以至参考答案、同学的解答、教师的点评等只能是半肯． 这样批判性的接受学习，一定能获得学习的“智慧”．
思考3 如何引导学生发展“批判性”思维品质
思维的批判性品质是思维过程中自我意识作用的结果． 数学学习中，学生思维批判性表现为善于在自我意识作用下对数学思维过程进行主动监控，即善于对自己的数学学习方案进行检验，善于对自己的数学思维过程进行随时监控和调节，善于对自己的数学思维活动成分（如观察、分析、归纳、概括、推理等）进行反思和检验，善于对思维结论进行检验和反思，善于发现和纠正自己的错误，从中吸取经验教训并重新设计解决问题的方案．
如何引导学生质疑呢？下面是笔者的一些思考.
（1）课堂上认真倾听，倡导“质疑听课法”
数学学习首先是课堂上要保证参与度. 通常情况下，数学课上师生单向互动交流的情况较多，生生互动往往在小组交流中有所体现. 根据教学经验，很多学生在教师提问一个学生时，如果该问题恰好理解、会做，他就容易无所事事，不愿意倾听.对一些学习有困难的学生的概念表达、问题求解思路、语句结构、愚拙解法，他不是站在思辨的角度进行理解，提出优化回答，而是置之不理或嘲笑心态.这些都是不可取的，需要教师引导．
（2）课后作业，善于回头看，在质疑中“反思”
很多学生满足于课后作业的做了，而不是把问题做好. 所谓做好，是指在形成解法、做出答案之后，要有一个反思问题深层结构、本质解法、优化思维的过程，否则很多典型问题的求解只能是“进宝山而空返”．
（3）试卷订正时，重视解法的改进、问题的变式递进
?摇试卷订正是中学数学很重要的一个学习活动. 多年教学经验告诉我们，很多学生只看错题，对于没有扣分的试题都不看一眼，对教师的讲解也不听．这是一个很糟糕的习惯． 笔者改善这种现象的做法是，试题讲评课上，需要讲评的试题都会安排做对的学生上去展示思路.试题中经常会有一些学生出现出愚拙解法、错误解法，而这些学生若不是安排他们去讲解，他们几乎不看这些“正确”的考题． 可见试题订正时，引导学生关注典型问题，做好解法优化、问题变式演进，对其他学生展示的解法展开质疑、思辨，对于提高解题能力也是大有裨益的．
关键词：即兴变式；教学行为；批判性思维；质疑听课法
源起
谁要想把所有的失误都关在门外，谁也就会把真善美也关在了门外．
下面是在一次八年级反比例函数试卷讲评课上，笔者的一次“即兴变式”引来的尴尬：
例1 如图1，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B，点P（m，n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图象上的点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面积为S.
（1）求点B坐标与k的值；
（2）当S=时，求P点坐标．
图1
第（1）问正确率很高，
答案：B（3，3），k=9.
第（2）问很多学生都只考虑了一种情况，即图形在阴影面积上，从而求出点P的一个坐标6，． 全班没有一个学生注意到问题的分类讨论，即当点P运动到点B左侧时，可求得P，6.
为了讲评效果好些，笔者将问题做了即兴变式：
变式1：若矩形OEPF和正方形OABC重合部分面积为S2，试写出S2与m的函数关系式，并写出m的取值范围.
学生们很快画出草图，写出了表达式S2=3m （0
下课铃响了，笔者很得意地又给出一个变式，让学生作为当天的课堂作业.
变式2：当S2=27时，试求出点P的坐标．
很多学生指着黑板上S2的表达式，意会只要代入即可求出m的两个值，点P的坐标也随之获得，笔者点头默认，满意地回到办公室．
接下来一节课是体育课，班上一个比较优秀的学生常某一下体育课，便气喘吁吁来到办公室，说：“老师，上节课最后加的一问“S2=27”不可能. 因为根据反比例函数中k的几何意义，矩形OEPF只能是9，它与正方形重合的部分是不可能达到27的.” 他疑惑地看着笔者.
笔者一愣，仔细一想，都是“即兴变式”惹的祸. 多亏学生常某的提醒，原来笔者随意改编问题，出现了科学性错误！笔者感到这是很好的发现，为了纠正这个错误，笔者让常某再进一步做思考：“你能进一步从图象上做出解释吗？中午自习时，你在班上给同学们讲一讲你的发现！”
看着他高兴的离办公室而去，笔者也为常某的“吾爱吾师，吾更爱真理”的质疑精神而高兴．
中午值班时，笔者来到教室，首先向全体学生“承认错误”：
“同学们，上午数学课我最后给出的变式2，给了一个27的数据. 常某同学在课间已跟我交流，证实了27是个错误数据，现在请他为我们讲一讲.” 笔者带头鼓掌为常某同学的质疑精神而高兴！同学们也兴奋地鼓起掌来．
常某学生的讲解也获得了满堂喝彩.
他说：“上午老师给出的27这个数据是错误的. 我是根据反比例函数中k的几何意义，矩形OEPF只能是9，它与正方形重合的部分是不可能达到27的. 为更明了地说明问题，我们把S2与m的函数图象画出来，大家就清楚了！”他在黑板上作出草图如下：
图2
“从图象上，可以发现，S的最大值只能是9，所以27这个数据是错误的．”
学生们会意地点点头. 笔者知道，这道题的讲评在变式、“意外生成”中，已达到很好的效果． 笔者让常某同学把这道题的求解、变式、错误发现、讲解整理成小论文，并帮助他录成word文档给杂志社投稿.三个月后，《数学周报》人教八下第42期刊登了常某的小论文《面积为什么不能为27》，常某还得到了35元的稿费．
思考
亚里士多德打17岁起就跟随其师柏拉图学习，时间长达20年之久． 对亚里士多德来说，柏拉图既是他非常崇敬的恩师还是他的挚友，正所谓：“良师益友”．他曾作诗这样赞美过柏拉图：“在众人之中，他也是唯一的，也是最初的……这样的人啊，如今已无处寻觅！” 然而，在探究真理的道路上，亚里士多德表现出极大的勇气：他不畏权威、不畏传统． 他毫不掩饰他在哲学思想的内容和方法上与恩师存在严重的分歧，毫不留情地批评恩师的错误．这很自然引来一些人的指责：亚氏是背叛恩师的忘恩负义之徒． 亚里士多德对此回敬了响彻历史长河的一句名言：“吾爱吾师．吾更爱真理！”
据郑毓信教授的论述，国际上，从20世纪80年代开始，教师开始得到越来越多的关注，研究者们多聚焦于教师的教学行为． 从而得出了“数学教学改革运动使教师在教育转变中的关键作用更为突出．” 作为一线教师的我们，教学行为该如何改进？当然很多，很复杂，非一两句话所能回答.
但从这次“即兴变式”产生的尴尬，笔者心生一得：重视学生“批判性”思维品质的培养是非常重要的． 如何培养这种品质呢？笔者做了以下几点思考.
思考1 确立为学生终身发展服务的理念
史宁中教授在“数学课程标准修订工作介绍”上提到：“你想一想小学数学那些内容，长大了到初中半年就教会了． 小学为什么用六年来教？事实上在教学过程中，要培养学生很好的学习习惯、思维习惯，养成良好的身心素质．” 可见，我们的教学行为首先应该服务于学生的终身发展，而通过数学学科的教学，加强“批判性”思维品质的培养，是对学生今后成长有益的．
思考2 努力营造“半肯”的教学文化
成尚荣先生认为，“当下教学改革的关键是营造‘半肯’的教学文化．” 这是很有见地的． 何谓“半肯”？笔者的理解是，教师不要全部呈现待教知识、方法，学生也不能完全迷信教师．给认知留下通道，给思维腾出空间，而且对任何知识、思想方法，以至参考答案、同学的解答、教师的点评等只能是半肯． 这样批判性的接受学习，一定能获得学习的“智慧”．
思考3 如何引导学生发展“批判性”思维品质
思维的批判性品质是思维过程中自我意识作用的结果． 数学学习中，学生思维批判性表现为善于在自我意识作用下对数学思维过程进行主动监控，即善于对自己的数学学习方案进行检验，善于对自己的数学思维过程进行随时监控和调节，善于对自己的数学思维活动成分（如观察、分析、归纳、概括、推理等）进行反思和检验，善于对思维结论进行检验和反思，善于发现和纠正自己的错误，从中吸取经验教训并重新设计解决问题的方案．
如何引导学生质疑呢？下面是笔者的一些思考.
（1）课堂上认真倾听，倡导“质疑听课法”
数学学习首先是课堂上要保证参与度. 通常情况下，数学课上师生单向互动交流的情况较多，生生互动往往在小组交流中有所体现. 根据教学经验，很多学生在教师提问一个学生时，如果该问题恰好理解、会做，他就容易无所事事，不愿意倾听.对一些学习有困难的学生的概念表达、问题求解思路、语句结构、愚拙解法，他不是站在思辨的角度进行理解，提出优化回答，而是置之不理或嘲笑心态.这些都是不可取的，需要教师引导．
（2）课后作业，善于回头看，在质疑中“反思”
很多学生满足于课后作业的做了，而不是把问题做好. 所谓做好，是指在形成解法、做出答案之后，要有一个反思问题深层结构、本质解法、优化思维的过程，否则很多典型问题的求解只能是“进宝山而空返”．
（3）试卷订正时，重视解法的改进、问题的变式递进
?摇试卷订正是中学数学很重要的一个学习活动. 多年教学经验告诉我们，很多学生只看错题，对于没有扣分的试题都不看一眼，对教师的讲解也不听．这是一个很糟糕的习惯． 笔者改善这种现象的做法是，试题讲评课上，需要讲评的试题都会安排做对的学生上去展示思路.试题中经常会有一些学生出现出愚拙解法、错误解法，而这些学生若不是安排他们去讲解，他们几乎不看这些“正确”的考题． 可见试题订正时，引导学生关注典型问题，做好解法优化、问题变式演进，对其他学生展示的解法展开质疑、思辨，对于提高解题能力也是大有裨益的．