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函数是初中数学的重要内容，而它与几何图形的面积有机地结合在一起，也是近几年中考的热门试题之一，同学们往往感到束手无策．事实上，只要能围绕图形的结构特征，抓住数量关系，运用数形结合的方法，问题便迎刃而解．下面以2009年中考题为例加以说明．图1
1 已知函数关系求图形面积
例1 （2009年深圳中考题）如图1 ，反比例函数y=-4x的图象与直线y=-13x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）．
A．8B．6C．4D．2
解 由题意得y=-4xy=-13x，解得x1=23y1=-233,x2=-23y2=233.
所以AC=y2-y1=233-(-233)=433，BC=x1-x2=23-(23)=43,
△ABC的面积为：12AC×BC=12×433×43=8，故选A．
评析 求解此类问题的关键是确定三角形或梯形的底和高，对于不规则的图形面积，通常是转化为边在坐标轴上（或与坐标轴平行）的三角形或梯形来解决．
2 已知图形面积求函数关系式图2
例2 （2009年泰安市中考题）如图2，双曲线y=kx(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D. 若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）．
A.y=1x B.y=2x C.y=3x D.y=6x
解 设B点坐标为(a,b)，则E点坐标为(a,b2)由题意得a×b2=k，即ab=2k，又b=kxD ，所以xD=kb，BD=a-xD=a-kb，所以12(a-kb+a)b=3,2ab-k=6，4k-k=6，k=2，则双曲线的解析式为y=2x，故选B．
评析 求解此类问题通常是利用已知图形面积列出相等关系，再运用待定系数法即可求出函数解析式．
3 已知图形面积关系既求函数关系式又求图形面积
例3 （2009年益阳市中考题）阅读材料：
如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图3图4
解答下列问题：
如图4，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
解 (1)设抛物线的解析式为：y1=a(x-1)2+4, 把A（3,0）代入解析式求得a=-1,所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,
设直线AB的解析式为：y2=kx+b,
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3),把A(3,0)，B(0,3)代入y2=kx+b中,
解得：k=-1，b=3,所以y2=-x+3.
(2)因为C点坐标为(1，4)，所以当x=1时，y1=4，y2=2，
所以CD=4-2=2，S△CAB=12×3×2=3(平方单位).
评析 求解此类问题是利用待定系数法求出函数解析式，从而求得有关点的坐标，进一步求出图形面积．注意阅读材料在本题中的作用．
4 已知用图形中的线段、面积作为变量求函数关系式
图5
例4 （2009年泰安市中考题）如图5所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为.
解 作MN⊥BC交BC于点N，易求BD=62+82=10，BM=10-x，MN=BM×sin∠MBN=(10-x)×610=6-35x.
则y=12×x×(6-35x)=-310x2+3x，其中0 评析 求解此类问题通常两个给定变量中结合图形的特点，如正方形、等腰直角三角形、矩形等寻求等量，进而写出对应的函数关系式．这类试题关键要善于利用相似三角形、图形面积、圆的性质等列出有关变量的等式，借助这个方程作为桥梁，从而求出函数关系式．注意实际问题的自变量的取值范围．
5 已知函数关系式，求满足图形面积存在的点的坐标
例5 （2009年黔东南州中考题）已知二次函数y=x2+ax+a-2.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式.
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为3132，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.
解 （1）因为Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a,x1•x2=a-2，因两交点的距离是13，所以|x1-x2|=(x1-x2)2=13.
即：(x1-x2)2=13，变形为：(x1+x2)2-4x1•x2=13,
所以(-a)2-4(a-2)=13，整理得：(a-5)(a+1)=0，解方程得：a=5或-1,
又因为a<0，所以a=-1，所以此二次函数的解析式为y=x2-x-3.
（3）设点P的坐标为(x0,y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于13，所以AB=13，所以S△PAB=12AB•|y0|=132,
所以13|y0|2=132，即：|y0|=3，则y0=±3,
当y0=3时，x20-x0-3=3，即(x0-3)(x0+2)=0，解此方程得：x0=-2或3.
当y0=-3时，x20-x0-3=-3，即x0(x0-1)=0，解此方程得：x0=0或1,
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(-2,3), (3,3), (0,-3)或(1,-3)．
评析 求解此类问题的关键是假定的题设条件存在，来求得点的坐标，在检验求得坐标是否满足条件．在解题时，应根据条件多角度，全方位进行分析，构筑思维的桥梁，联想有关性质，从而确定符合条件的结论．
6 已知图形结构特征，利用函数关系式求面积的最值
例6 （2009年济南市中考题）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是，点C的坐标是；
(2) 当t=秒或秒时，MN=12AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
图6图7
解 (1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6；
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得OMOA=ONOC，所以ON=34t，S=38t2．
当4 由△DAM∽△AOC，可得AM=34(t-4)，所以BM=6-34t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=43BM=8-t，所以CN=t-4．
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-32(t-4)-12(8-t)(6-34t)-32(t-4)=-38t2+3t．
(4) 有最大值．当0 因为抛物线S=38t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，所以当t=4时，S可取到最大值38×42=6；
当4 综上，当t=4时，S有最大值6．
评析 解决此类问题的必须依照图形的结构特征，变静为动，动中有静，发挥数形结合之长，善于将实际问题转化为数学问题，抽象成数学模型，结合实际中函数自变量的意义，最终求出最值．作者简介 朱广科，男，江苏徐州丰县人，1972年出生，中学高级级教师. 徐州市骨干教师. 发表论文多篇.
1 已知函数关系求图形面积
例1 （2009年深圳中考题）如图1 ，反比例函数y=-4x的图象与直线y=-13x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）．
A．8B．6C．4D．2
解 由题意得y=-4xy=-13x，解得x1=23y1=-233,x2=-23y2=233.
所以AC=y2-y1=233-(-233)=433，BC=x1-x2=23-(23)=43,
△ABC的面积为：12AC×BC=12×433×43=8，故选A．
评析 求解此类问题的关键是确定三角形或梯形的底和高，对于不规则的图形面积，通常是转化为边在坐标轴上（或与坐标轴平行）的三角形或梯形来解决．
2 已知图形面积求函数关系式图2
例2 （2009年泰安市中考题）如图2，双曲线y=kx(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D. 若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）．
A.y=1x B.y=2x C.y=3x D.y=6x
解 设B点坐标为(a,b)，则E点坐标为(a,b2)由题意得a×b2=k，即ab=2k，又b=kxD ，所以xD=kb，BD=a-xD=a-kb，所以12(a-kb+a)b=3,2ab-k=6，4k-k=6，k=2，则双曲线的解析式为y=2x，故选B．
评析 求解此类问题通常是利用已知图形面积列出相等关系，再运用待定系数法即可求出函数解析式．
3 已知图形面积关系既求函数关系式又求图形面积
例3 （2009年益阳市中考题）阅读材料：
如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图3图4
解答下列问题：
如图4，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
解 (1)设抛物线的解析式为：y1=a(x-1)2+4, 把A（3,0）代入解析式求得a=-1,所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,
设直线AB的解析式为：y2=kx+b,
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3),把A(3,0)，B(0,3)代入y2=kx+b中,
解得：k=-1，b=3,所以y2=-x+3.
(2)因为C点坐标为(1，4)，所以当x=1时，y1=4，y2=2，
所以CD=4-2=2，S△CAB=12×3×2=3(平方单位).
评析 求解此类问题是利用待定系数法求出函数解析式，从而求得有关点的坐标，进一步求出图形面积．注意阅读材料在本题中的作用．
4 已知用图形中的线段、面积作为变量求函数关系式
图5
例4 （2009年泰安市中考题）如图5所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为.
解 作MN⊥BC交BC于点N，易求BD=62+82=10，BM=10-x，MN=BM×sin∠MBN=(10-x)×610=6-35x.
则y=12×x×(6-35x)=-310x2+3x，其中0
5 已知函数关系式，求满足图形面积存在的点的坐标
例5 （2009年黔东南州中考题）已知二次函数y=x2+ax+a-2.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式.
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为3132，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.
解 （1）因为Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a,x1•x2=a-2，因两交点的距离是13，所以|x1-x2|=(x1-x2)2=13.
即：(x1-x2)2=13，变形为：(x1+x2)2-4x1•x2=13,
所以(-a)2-4(a-2)=13，整理得：(a-5)(a+1)=0，解方程得：a=5或-1,
又因为a<0，所以a=-1，所以此二次函数的解析式为y=x2-x-3.
（3）设点P的坐标为(x0,y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于13，所以AB=13，所以S△PAB=12AB•|y0|=132,
所以13|y0|2=132，即：|y0|=3，则y0=±3,
当y0=3时，x20-x0-3=3，即(x0-3)(x0+2)=0，解此方程得：x0=-2或3.
当y0=-3时，x20-x0-3=-3，即x0(x0-1)=0，解此方程得：x0=0或1,
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(-2,3), (3,3), (0,-3)或(1,-3)．
评析 求解此类问题的关键是假定的题设条件存在，来求得点的坐标，在检验求得坐标是否满足条件．在解题时，应根据条件多角度，全方位进行分析，构筑思维的桥梁，联想有关性质，从而确定符合条件的结论．
6 已知图形结构特征，利用函数关系式求面积的最值
例6 （2009年济南市中考题）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是，点C的坐标是；
(2) 当t=秒或秒时，MN=12AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
图6图7
解 (1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6；
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得OMOA=ONOC，所以ON=34t，S=38t2．
当4
由△BMN∽△BAC，可得BN=43BM=8-t，所以CN=t-4．
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-32(t-4)-12(8-t)(6-34t)-32(t-4)=-38t2+3t．
(4) 有最大值．当0
当4
评析 解决此类问题的必须依照图形的结构特征，变静为动，动中有静，发挥数形结合之长，善于将实际问题转化为数学问题，抽象成数学模型，结合实际中函数自变量的意义，最终求出最值．作者简介 朱广科，男，江苏徐州丰县人，1972年出生，中学高级级教师. 徐州市骨干教师. 发表论文多篇.